江西省2022年中考数学总复习课后强化训练-第五章第二节　矩形、菱形、正方形

[基础过关]1．如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A．30° B．25°C．20° D．15°解析：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1.∴∠BAD＋∠D＝180°.∴∠BAD＝180°－150°＝30°.∴∠1＝15°.答案：D2．下列说法中不正确的是()A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等解析：A.四边相等的四边形是菱形，正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形，正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等，不正确；D．菱形的邻边相等，正确．答案：C3．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A．内角和为360° B．对角线互相平分C．对角线相等 D．对角线互相垂直解析：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等．答案：C4．如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是()A．OM＝eq\f(1,2)AC B．MB＝MOC．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵对角线BD上的两点M，N满足BM＝DN，∴OB－BM＝OD－DN.即OM＝ON.∴四边形AMCN是平行四边形．∵OM＝eq\f(1,2)AC，∴MN＝AC.∴四边形AMCN是矩形．答案：A5．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是()A.eq\f(\r(3)＋1,4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)－1 D.eq\f(2,3)解析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1.在Rt△ABE和Rt△ADF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,AB＝AD，))∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．∴∠BAE＝∠DAF.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠DAF＝30°.∴∠DAF＝15°.在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：∴AG＝FG，∠DGF＝30°.∴DF＝eq\f(1,2)FG＝eq\f(1,2)AG，DG＝eq\r(3)DF.设DF＝x，则DG＝eq\r(3)x，AG＝FG＝2x，∵AG＋DG＝AD，∴2x＋eq\r(3)x＝1.解得x＝2－eq\r(3)，∴DF＝2－eq\r(3).∴CF＝CD－DF＝1－(2－eq\r(3))＝eq\r(3)－1.答案：C6．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是()A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BCC．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC解析：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，∴EN，NF，FM，ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线．∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝eq\f(1,2)AB＝FM，ME＝eq\f(1,2)CD＝NF.∴四边形EMFN为平行四边形．当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF，∴平行四边形EMFN是菱形；当AB⊥CD时，EN⊥ME，则∠MEN＝90°，∴菱形EMFN是正方形．答案：A7．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为()A．8B．12C．16D．32解析：如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝eq\f(1,2)AC，DO＝BO＝eq\f(1,2)BD，AC⊥BD.∵面积为28，∴eq\f(1,2)AC·BD＝2AO·OD＝28，①∵菱形的边长为6，∴OD2＋OA2＝36.②由①②两式，可得(OD＋AO)2＝OD2＋OA2＋2OD·AO＝36＋28＝64.∴OD＋AO＝8.∴2(OD＋AO)＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16.答案：C8．(2021·江西模拟)在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠ECA＝20°，则∠BDC＝________°.解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BDC＝∠DBC.∵EF垂直平分BC，∴∠ECF＝∠DBC.∵∠ECA＝20°，∴∠BDC＝∠DBC＝eq\f(90°－∠ECA,2)＝eq\f(90°－20°,2)＝35°.故答案为35.答案：359．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连接ED，则∠ADE的度数为________．解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AE，∠DAE＝90°.∴∠BAM＝180°－90°－30°＝60°，AD＝AB.当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意，得，点E与点B重合，∴∠ADE＝45°.当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意，得，E′A＝E′M，∴△AE′M为等边三角形．∴∠E′AM＝60°.∴∠DAE′＝360°－120°－90°＝150°.∵AD＝AE′，∴∠ADE′＝15°.故答案为15°或45°.答案：15°或45°10．(2021·南昌模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．证明：(1)∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB＝DE.∴∠B＝∠EDC.又∵AB＝AC，∴AC＝DE，∠B＝∠ACB.∴∠EDC＝∠ACD.∵在△ADC和△ECD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AC＝ED，,∠ACD＝∠EDC，,DC＝CD，))∴△ADC≌△ECD(SAS)；(2)∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD＝AE.∴AE∥CD.又∵BD＝CD，∴AE＝CD.∴四边形ADCE是平行四边形．在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∴▱ADCE是矩形．11．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAE＝∠BCF.∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE.∴∠AED＝∠CFB.在△ADE和△CBF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠BCF，,∠AED＝∠CFB，,AD＝CB，))∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴AE＝CF；(2)由(1)知△ADE≌△CBF，则DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．[能力提升]12．(2021·江西一模)如图，在矩形ABCD中，P是BC上一点，E是AB上一点，PD平分∠APC，PE⊥PD，连接DE交AP于F，在以下判断中，不正确的是()A．当P为BC中点时，△APD是等边三角形B．当△ADE∽△BPE时，P为BC中点C．当AE＝2BE时，AP⊥DED．当△APD是等边三角形时，BE＋CD＝DE解析：A.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.∵点P是BC的中点，∴PB＝PC.在△APB和△DPC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,∠ABP＝∠DCP，,PB＝PC，))∴△APB≌△DPC(SAS)．∴PA＝PD，∠APB＝∠DPC.∵PD平分∠APC，∴∠APD＝∠CPD.∴∠APB＝∠APD＝∠CPD.∵∠APB＋∠APD＋∠CPD＝180°，∴∠APD＝60°.∵PA＝PD，∴△APD是等边三角形，∴A正确，故A不符合题意；C．∵PD⊥PE，∴∠BPE＋∠DPC＝90°，∠APE＋∠APD＝90°.∵∠APD＝∠CPD，∴∠APE＝∠BPE.如图，过点B作BG∥AP交PE的延长线于G，∴∠G＝∠APE＝∠BPE.∴BG＝BP.∵BG∥AP，∴△BEG∽△AEP.∴eq\f(BG,AP)＝eq\f(BE,AE).∴eq\f(BP,AP)＝eq\f(BE,AE).∵AE＝2BE，∴eq\f(BP,AP)＝eq\f(1,2).在Rt△ABP中，sin∠BAP＝eq\f(BP,AP)＝eq\f(1,2)，∴∠BAP＝30°.∴∠APB＝60°.∴∠BPE＝∠APE＝30°＝∠BAP.∴AE＝PE.∵EA⊥AD，EP⊥PD，∴∠DAE＝∠DPE＝90°.在Rt△ADE和Rt△PDE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DE＝DE，,AE＝PE，))∴Rt△ADE≌Rt△PDE(HL)．∴∠AED＝∠PED.∵AE＝PE，∴DE⊥AP.∴C正确，故C不符合题意；D．∵△APD是等边三角形，∴AP＝DP，∠APD＝60°.∴∠CPD＝60°＝∠APB＝60°.∴∠BPE＝∠APE＝∠PAB＝30°，∴AE＝PE.设BE＝a，在Rt△PBE中，BP＝eq\r(3)BE＝eq\r(3)a，PE＝2a，∴AE＝2a.∴CD＝AB＝BE＋AE＝3a.易证△APB≌△DPC，∴PB＝PC.∴AD＝BC＝2BP＝2eq\r(3)a.在Rt△ADE中，根据勾股定理，得DE＝eq\r(AE2＋AD2)＝4a，∵BE＋CD＝a＋3a＝4a＝DE，∴D正确，故D不符合题意．∴符合题意的只有B.答案：B13．(2021·乐平一模)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC剪开，再把△ADC沿AB方向平移，得到图2，其中A′D交AC于E，A′C′交BC于F.(1)在图2中，除△ABC与△C′DA′外，指出还有哪几对全等三角形(不能添加辅助线和字母)，并选择一对加以证明；(2)设AA′＝x.①当x为何值时，四边形A′ECF是菱形？②设四边形A′ECF的面积为y，求y的最大值．解：(1)△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，证明：由题意，得，四边形A′DCB是矩形，∴A′B＝DC，∴AA′＝CC′，∵AB∥CD，∴∠BA′F＝∠C′.由题意，得∠BA′F＝∠A，∴∠A＝∠C′.在△AA′E和△C′CF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C′，,AA′＝C′C，,∠AA′E＝∠C′CF，))∴△AA′E≌△C′CF(ASA)；(2)①设A′E＝a，A′F＝b，∵A′F∥AC，∴eq\f(A′F,AC)＝eq\f(BA′,BA)，即eq\f(b,5)＝eq\f(4－x,4).解得b＝eq\f(20－5x,4)，同理eq\f(a,3)＝eq\f(x,4)，解得a＝eq\f(3,4)x，当A′E＝A′F时，四边形A′ECF是菱形，∴eq\f(20－5x,4)＝eq\f(3,4)x.解得x＝eq\f(5,2).∴当x＝eq\f(5,2)时，四边形A′ECF是菱形；②由①得，四边形A′ECF的面积为y＝3×(4－x)－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,4)x))×(4－x)×2＝－eq\f(3,4)x2＋3x＝－eq\f(3,4)(x－2)2＋3，∴当x＝2时，y的最大值为3.14．已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.(1)如图1，求证：AE＝CF；(2)如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF，CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的eq\f(1,8).解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC.∴∠ABE＝∠CDF.∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠CDF，,∠AEB＝∠CFD，,AB＝CD，))∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴AE＝CF；(2)△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝矩形ABCD面积的eq\f(1,8).理由如下：∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝30°.∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝60°.∵AE⊥BD，∴∠BAE＝30°.∴BE＝eq\f(1,2)AB，AE＝eq\f(1,2)AD.∴△ABE的面积＝eq\f(1,2)BE×AE＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB×eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,8)AB×AD＝eq\f(1,8)矩形ABCD的面积．∵△ABE≌△CDF，∴△CDF的面积＝eq\f(1,8)矩形ABCD的面积．作EG⊥BC于G，如图所示．∵∠CBD＝30°，∴EG＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,4)AB.∴△BCE的面积＝eq\f(1,2)BC×EG＝eq\f(1,2)BC×eq\f(1,4)AB＝eq\f(1,8)BC×AB＝eq\f(1,8)矩形ABCD的面积．同理，△ADF的面积＝eq\f(1,8)矩形ABCD的面积．15．(2021·南昌一模)已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，点D为BC边上一动点，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE.(1)当AD平分∠BAC时，如图1，四边形ADCE是________形；(2)过E作EF⊥AC于F，如图2，求证：F为AC的中点；(3)若AB＝2，①当D为BC的中点时，过点E作EG⊥BC于G，如图3，求EG的长；②点D从B点运动到C点，则点E所经过路径长为________．(直接写出结果)解：(1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝30°.∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.∴∠EAC＝30°.∴∠EAC＝∠ACB，∠DAC＝∠ACB.∴AE∥DC，AD＝DC.∵AE＝AD，∴AE＝CD.∴四边形ADCE为平行四边形．∵AD＝AE，∴平行四边形ADCE为菱形．故