粘弹性饱和土体中深埋圆形隧道衬砌-土相互作用分析

粘弹性饱和土体中深埋圆形隧道衬砌-土相互作用分析

在饱和粘土层中挖掘隧道引起了人们的注意[1.4]。隧道开挖后地层中初始应力场释放,应力重新分布形成二次应力场,从而引起隧道的变形。为了确保隧道开挖后的稳定性,工程中常用衬砌材料进行支护。最初人们根据围岩(土)压力理论来计算衬砌结构上的荷载,并以此进行设计,这样设计出的衬砌厚而不经济。实际上围岩(土)压力不是无条件的全部由衬砌结构来承担,而是通过相互作用由衬砌和围岩(土)共同承担的。另一方面,衬砌材料(砼或配筋砼)具有徐变特性。因此,考虑地层和衬砌材料的流变性态进行地下结构衬砌计算,能更好的反映衬砌-土相互作用过程中随时间变化的受力特征。文献考虑衬砌和围岩的徐变特性进行了圆形隧道的粘弹性应力分析。然而,将衬砌材料和围岩(土)视为多孔介质更为合理。Biot最早建立了饱和多孔介质的力学计算理论。基于Biot理论,Carter研究了饱和土体的圆形隧道的固结问题。Li假设衬砌材料完全柔性且为多孔弹性介质,得到了半封闭条件下饱和土体中圆形隧道的固结解答,但未考虑材料的流变。文献考虑了土体的流变性态,分析了饱和土体中深埋圆形隧道的应力和位移,但未考虑衬砌刚度的影响。综合以上,可见目前尚无既考虑材料流变又考虑土体固结情况下深埋圆形隧道衬砌-土相互作用问题的解答。本文考虑衬砌和土体的流变性态,其中衬砌的流变性态采用Venderporl模型(也称K-H模型)描述,研究分析粘弹性饱和土体中深埋圆形隧道衬砌-土相互作用,根据薄壁圆柱壳理论分析了衬砌的内力和变形,利用献的结果在Laplace变换域中得到了隧道衬砌与土体接触面上的应力和变形及衬砌内的薄膜力和弯矩解答。并利用DurbinLaplace数值逆变换公式得到时间域中的结果,分析讨论了衬砌和土体的相对刚度、阻尼比、衬砌的相对厚度对隧道衬砌-土相互作用的影响。1衬砌结构模型在饱和土体中开挖深埋圆形隧道模型如图1所示,其中r0和r2分别为衬砌的中曲面半径和外半径,El、µl和Es、µs分别为衬砌材料和饱和土体的弹性模量和泊松比。隧道开挖后,土体中的初始应力场释放,在隧道边界上(r=2r)形成的应力边界条件为:式中,σh和σv分别为水平方向和竖直方向的初始应力,两者之间的关系为或用有效应力表示式中N0、K0为侧压力系数,如果地下水位位于地表,则N0=K0+γw1(-K0)/γs,其中γw、γs分别为孔隙流体和土体的重度。隧道开挖后需要进行衬砌支护。由于衬砌与土体相互作用,衬砌结构只承担隧道边界上的部分初始应力。本文假定衬砌安装时初始应力尚未释放,计算模型(图1)适用于顶管法隧道开挖,同时也可以近似模拟盾构法隧道开挖。隧道边界上的初始应力一部分由衬砌结构承担,一部由土体自身承担,可以表示为:式中p(θ,t)、τ(θ,t)为衬砌承担的初始应力;σrs、τrsθ为隧道边界上土体承担的初始应力。为了便于分析,将隧道边界上的初始应力表达式(1),分解为三种基本荷载形式,并与渗流边界条件共同构成以下三类边界:第一类边界,隧道边界上均布御载:第二类边界,隧道边界上初始孔压释放:第三类边界,隧道边界上非均布御载:式中p为超孔隙水压力;k为无量纲参数,表示隧道边界的渗透特性,,kl为墙体的渗透系数,kr为土体的渗透系数,1r为衬砌的内半径(r1=2r0-r2),p0为初始孔隙水压力。当k→0时隧道衬砌不透水,而当k→∞时衬砌完全透水。第二类边界仅为一种理想情况,在实际问题中隧道边界上作用的应力比较复杂,往往是以上几种应力的组合,在复杂应力边界条件下的解答可以通过以上几种简单条件下的解叠加得到。2衬砌无限长的理论模型由于圆形隧道衬砌的厚度远小于其中曲面半径,且假定衬砌无限长,则可以按薄壁圆柱壳的弯矩理论进行计算,其计算模型如图2所示。在衬砌的中曲面上作用单位长度上的薄膜力N、弯矩M、剪力Q。2.1道边界初始应力假设隧道衬砌的外边界上(r=2r)作用径向均布荷载p(θ,t)和剪切荷载τ(θ,t),由于圆形隧道边界上的初始应力的表达式为富立叶分量形式,则衬砌上的荷载:式中P(t)、T(t)分别为径向和剪切荷载系数;σrl为荷载系数的值。n取0、2,第一类边界条件下n=0,第三类边界条件下n=2。根据薄壁圆柱壳计算理论,中曲面(r=0r)上的荷载p0(θ,t)和τ0(θ,t)可由外边界上的荷载得到:2.2衬砌基本方程根据薄壁圆柱壳计算理论,无限长圆形隧道衬砌计算的基本方程可以简化为:(1)平衡方程(2)几何方程式中ϕ为转角;ρ为曲率半径。(3)物理方程式中url,uθl为衬砌的径向和切向位移;h为衬砌的厚度,。2.3衬砌有限元模型文献根据薄壁圆柱壳理论将隧道衬砌视为圆形曲杆,并将衬砌表面荷载展开为富立叶级数形式,得到了衬砌内力和变形的级数解。如果衬砌表面仅作用径向均布荷载p(θ,t),即τ(θ,t)=0,n=0。则根据薄壁圆柱壳计算理论,衬砌内url,uθl,N,M,Q均与θ值无关,故衬砌内力和变形可由方程(9)、(11)简化得到(或直接利用文献的结果):式(12)表明在衬砌上仅作用有均布荷载时,衬砌内产生径向变形和轴力,无弯矩和切向变形。由于砼衬砌具有徐变特性,根据粘弹性力学的对应性原理,只要将线弹性解答中的弹性模量El经Laplace变换后用粘弹性介质的蠕变度函数sJ(s)代换即可得到粘弹性条件下的解答。本文假定衬砌材料符合Venderporl模型,则蠕变度函数可表示为:,El1、El2为模型的弹性常数,ηl为模型的粘滞系数。在径向均布荷载条件下,考虑衬砌流变性态条件下的解可以得到:式中。2.4由9、11式如果衬砌表面作用轴对称荷载p(θ,t)和τ(θ,t),即n=2。根据薄壁圆柱壳计算理论,在Laplace变换域中,由(9)、(11)式可得:式中。文献已给出了衬砌上作用径向和切向均布荷载条件下,衬砌内力和变形方程(11)、(14)和(15)式的级数解,取n=2,同时将与荷载系数无关的衬砌的刚体位移忽略,即可得到衬砌的内力和变形:将(16a)和(16b)式表示为以下形式:则有式中;由(18)式可以得到衬砌上荷载系数和变形系数的关系式:3土体的内力和变形以上已得到了衬砌在轴向均布荷载和切向荷载下的变形和内力,而土体的内力和变形可由文献给出的解获得。由于隧道衬砌和土体接触面上的变形和内力是隧道设计的关键所在,因此,在此仅给出粘弹性饱和土体中深埋圆形隧道衬砌和土体接触面上的变形和内力解答。3.1弹性饱和土体土体中深埋圆形隧道应力和位移解的确定隧道边界上土体承担一部分荷载σrs,在拉普拉斯变换域中:在此类边界条件下,文献已给出了粘弹性饱和土体中深埋圆形隧道的应力和位移解,在此直接引用即得衬砌和土体接触面上(r=2r)应力和变形的关系式:式中。第一类边界条件下,隧道衬砌-土体接触面上的初始应力由衬砌结构和土体共同承担,衬砌-土体接触面上的应力和变形协调,则有将(13)和(21)式代入(22)得到:3.2初始孔压释放边界条件在第二类边界条件下,隧道边界径向应力和剪应力为零为一理想条件,不能独立存在。初始孔压释放边界条件仅对土体起作用,对衬砌没有影响,即不产生变形、轴力和弯矩。因此,文献中的结果对第二类边界条件下的隧道衬砌-土体相互作用仍适用。3.3衬砌-土体接触面上应力和位移的应用隧道边界上土体承担一部分荷载σrs(θ,t),在拉普拉斯变换域中:式中为土体中的径向应力和剪应力系数。利用文献给出了粘弹性饱和土体中深埋圆形隧道的应力和位移解可得:式中:第三类边界条件下,在隧道衬砌-土体接触面上的应力和变形协调,则有:对(8)式进行Laplace变换,和(24)代入(26)式得到:将(19)和(25)式代入上式,得到衬砌和土体接触面上的变形系数:式中:在求得衬砌和土体接触面上的变形系数后,即可得到衬砌和体分别承担初始应力值,再代入文献中的结果即可得到衬砌和土体接触面上的应力和孔隙水压力。代入(21)、(18b)和(18c)式得到衬砌内的轴力和弯矩,从而可以进行衬砌的设计。4衬砌为复合材料的接触面,形态参数选取?前文考虑衬砌和土体相互作用,在Laplace变换域中分别得到了三类边界条件下,衬砌和土体接触面上的应力、位移以及衬砌内薄膜力(轴力)和弯矩解答,结果表明隧道开挖后的初始应力场由衬砌和土体共同承担,如果不考虑衬砌和土体的相互作用而按传统的围岩(土)压力理论来进行隧道衬砌的计算和设计,其结果势必偏大。时间域中的解可以采用近似的Laplace数值逆变换得到。本文采用Durbin拉普拉斯数值逆变换公式进行计算,以分析反映衬砌和土体的相对刚度、阻尼比以及衬砌厚度与衬砌中曲面半径的比值(相对厚度)对隧道衬砌-土相互作用的影响,部分计算结果如图3～图9。在隧道衬砌上仅作用轴向均布荷载条件下(第一类边界),衬砌和土体接触面上仅有径向位移,衬砌内也仅有轴力,不产生弯矩。衬砌和土体接触面上(r=2r)的位移及衬砌内的轴力在不同相对刚度和相对厚度条件下的历时曲线如图3、4。基本计算参数取值:衬砌的弹性常数El1=El2(用El表示),土体的弹性常数,ηs=10MPa⋅d,ηl=1MPa⋅d。图3中可以看出:衬砌和土体的相对刚度(El/Es)越大,隧道产生向着隧道中心的径向位移越小。衬砌和土体的相对厚度(h/r0)越大,径向位移也越小。由于衬砌材料和土体的流变性态以及土体中超孔隙水压力的消散,径向位移随时间的增加而增大,并趋于稳定。在轴向均布荷载条件下,衬砌内的轴力(图4)随相对刚度和相对厚度的增大而增大,并随时间的增加趋于一稳定值。第三类边界条件下,衬砌和土体相对刚度、阻尼比以及衬砌相对厚度对接触面上的径向位移(变形)的影响如图5～7。图5反映的衬砌和土体的相对刚度对径向位移的影响与在第一类条件下具有相同的规律性,且从图中可以看出:相对刚度值越大,径向位移趋于稳定的历时越短。土体与衬砌的阻尼比对径向位移的影响如图6所示,文献认为土体的粘滞阻尼在0～100000范围内对土体中应力和位移场产生影响,因此,我们选取ηs/ηl=1,100,10000三个值来分析土体的粘弹性和衬砌的徐变特性,可以看出随着阻尼比的增大,径向位移呈减小趋势,且其影响没有相对刚度的影响大。图7为t*=1时(t*=ct/r22),在圆形隧道上半部分(接触面上)的径向位移随相对厚度的变化规律,同样可见径向位移随相对厚度的增加而减小。此外隧道的起拱线处(θ=,0180)产生远离隧道中心的最大位移,而拱部(θ=90)则产生向着隧道中心的最大位移。图8、9为第三类边界条件下,在t*=1时刻,相对刚度对圆形隧道的上半部分衬砌内的轴力和弯矩的影响曲线。轴力(图8)随相对刚度的增大而增大,在衬砌的拱部(θ=90)出现负的最大值(受拉),而在衬砌的起拱线(θ=,0180)受压且有最大值。衬砌内的弯矩随相对刚度的增大而增大(图9),弯矩的分布规律和轴力相似。5衬砌材料的结构及厚度对隧道衬砌-土相互作用的影响在Laplace变换域中,本文研究了粘弹性饱和土体中深埋圆形隧道衬砌-土相互作用问题,得到隧道衬砌-土体接触面