几种常用对流格式的数值计算

几种常用对流格式的数值计算

1.数值计算中的流场离散格式实际工程中经常存在许多问题，如液体流动、传热、传质等。这些问题通常是由于边界条件的不规则或边界条件的复杂性，因此无法获得这些问题的分析解。数值计算器的逐步成熟和高性能计算机的快速发展，为在工程领域中计算数值计算提供了有利条件。数值计算在技术领域得到了广泛应用和发展。然而,任何数值计算的离散格式总会引起误差.本文针对工程领域的计算大多都是对流传热传质问题进行讨论.对流项常用的离散格式有中心差分、一阶迎风、二阶迎风、三阶迎风(等高阶迎风)、指数格式、乘方格式以及QUICK格式.不同的离散格式会在对流流场的计算中表现出不同的性能,进而对流场产生重要的影响.离散格式选取不当甚至对流场求解产生错误的结论.因而针对不同的流型选择不同的离散格式显得相当重要,而在选择之前,首要的是要搞清楚各种离散格式的特性及其在流场计算中所表现出的性能.2.不同流场的稳态对流与扩散控制方程采用有限体积法离散控制方程而得到的代数方程具有守恒性,且二维、三维坐标下的结果可以根据一维结果很方便地写出.为了简化过程,以一维稳态对流扩散为例,给出了求解区域的均分网格和不同流场布置(图1).一维稳态对流与扩散控制方程为:在图1所示的整个控制容积内对(2.1)式进行积分可得:为了后面书写格式更紧凑,定义:在对流项离散格式中,中心差分格式、迎风格式、指数格式和QUICK格式在扩散项离散处理上都采用的是具有二阶截差的中心差分格式,而上述格式本质区别在于处理控制容积界面取值方式不一样,也即为对(2.2)式中在各界面的计算处理不同.下面分别对几种格式予以介绍.2.1.两节点对流扩散中心差分离散方程中心差分格式对待控制容积界面取值时采用相邻两节点的线性插值,在均分网格下有将(2.4)式代入(2.2)式联合(2.3)式可获得对流扩散中心差分离散方程:式中2.2.风压方程的系数迎风格式又叫上风格式,它与中心差分不同之处在于,中心差分在两节点间的界面处取值采用两节点的线性插值,而迎风方案在该界面直接取来流方向上距界面最近的节点值,即:将(2.6)式联立(2.2)式和(2.3)式,并考虑到速度的方向,其对流扩散一阶迎风差分离散格式依然可化为同(2.5)式,只是系数改变为:2.3.控制容积界面插值二阶迎风格式在一阶迎风格式上考虑了上游两点的信息,利用迎着来流的最近两个节点值来对控制容积界面进行线性插值,显然其精度高于一阶迎风格式.很容易计算出其界面插值结果为:其离散方程同样也能化为同(2.5)式的形式2.4.界面插值对比三阶迎风及其其他的高阶迎风格式,是考虑了来流的更多信息,同时也使界面上的取值更加准确.其在界面上的取值利用来流方向上距界面最近的多个节点进行插值,插值结果在此也易于推导,故在此略去.对于一些计算要求非常准确的场合,如飞行器绕流、激波捕捉等,往往要用到三阶甚至高阶迎风.2.5...优化模型的离散方程指数格式在界面上的取值是利用(2.1)式的精确解来获得的.故其在应用于一维的稳态问题时,可以保证对任何的贝克列数以及任意数量的网格点均可以得到精确解.其离散方程依然可以化为式(2.5)的形式,只是系数为:2.6.时代电所专业设备虽然指数格式如此极为理想,但因其存在两点主要不足使得其未能得到广泛应用:(1)指数运算是费时的;(2)对于二维或三维问题,以及源项不为零的情况,这种方案是不准确的.为了保持指数格式计算的准确性和克服其不足,由此出现了乘方格式.乘方格式究其本质是对指数格式的分段拟合,文献对其作了具体的描述.关于指数格式的离散格式文献有详细的推导,在此不再赘述.2.7.种流速界面构建所谓QUICK格式是英国学者Leonard于1979年提出的用于计算控制容积界面的二次上风插值计算格式.其是“对流项的二次迎风插值”的英文缩写(QuadraticUpwindInterpolationofConvectiveKinematics).QUICK格式是利用控制容积界面两侧的3个节点值进行抛物插值,其中两个节点位于界面的紧邻两侧,另一个节点位于上风侧的次远邻点.其在界面上的插值结果为:将(2.10)式联立(2.2)式(2.3)式求解,并将求解结果按照形如(2.5)式表示,则对流扩散方程的QUICK离散格式为:式中:在(2.11b)～(2.11f)式中,当Fw>0时,αw=1;当Fe>0时,αe=1;当Fw<0时,αw=0;当Fe<0时,αe=0;3.不同离散格式的流场模拟前面回顾了常用的离散格式,并可以看出各种离散格式其本质区别在于对控制容积界面不同的取值.但这样的不同处理方式却给我们数值计算带来了一些重要的影响.从数值解的物理特性方面来说,这包括迁移性、守恒性、假扩散等.数值计算方法的发展,使得前两者得到了很好的保证.但在计算对流流场中,不同的离散格式造成的假扩散(又叫人工粘性、数值粘性)现象曾受到传热学界广泛的研究,研究结果在一定程度上减轻了假扩散现象,但目前尚未从根本上解决这一问题.为了说明这一点,给出了一个非常简单的流场,利用上述格式进行计算,研究不同离散格式所产生不同程度的假扩散现象.要在计算的流场中观察到流体的不同程度假扩散,最好的方法是让流体的扩散系数为零,这样可以避免流体本身由于扩散而影响对流场扩散的观察.于是,在(2.1)式中令流体的扩散系数Γ=0,这样流体就变成纯对流流动.图2给出了要计算的二维流场.计算区域为1m×1m的矩形,采用50×50的均分网格进行区域离散.两种情况下流体以0.01m/s的速度做层流运动,热、冷流体温度分别为350K和300K,计算流体区域的温度场.计算中设定流体的导热系数为零(即设定扩散系数Γ=0),用有限体积法离散控制方程,利用SIMPLE算法求解流场,计算了采用一阶迎风、二阶迎风、三阶迎风、乘方格式以及QUICK格式5种不同对流项离散格式下的温度场,求解结果如图3所示.4.流场与网格的交叉扩散显然,由于计算中设定流体的导热系数为零,那么预期的结果是:两种情况下热流体和冷流体之间虽然接触,但绝不会有热交换的存在.然而,上述不同的对流项离散格式却给出了差异较大的结果.在流场与网格平行时,各种离散格式能给出一致正确的结果,而当流场与网格交错时,计算结果表明流体发生了“热交换”,也即出现了假扩散现象.假扩散一般分为流向扩散(streamwise)和交叉扩散(cross-diffusion).对于前者,采用一阶迎风时,由于对流扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断误差小于二阶而引起较大数值计算误差而产生假扩散(也叫数值粘性,人工粘性),此时,若采用高阶格式可以克服流向扩散.交叉扩散在本例计算结果中得到体现,在这个计算实例中,由于设定了扩散系数(导热系数)Γ=0,这也就相当于网格雷诺数Peclet→∞,此时流向扩散不存在(倘若Γ为一有限值,那么采用低阶格式时就会产生流向扩散).在流场与网格平行时,各种格式能给出正确结果易于理解,如按一阶迎风差分定义,此时aN=aS=aE=0,aP=aW,即,故上游温度可以一直保持到下游(如图4(a)所示).当流场与网格交叉时,各种格式都产生了一定程度的垂直于流动方向上的交叉扩散.且一阶迎风格式和乘方格式下交叉扩散现象非常强烈,二阶、三阶迎风格式下假扩散现象明显减弱,QUICK格式给出了相对最好的结果,但也存在一定的假扩散.究其根源,产生假扩散的根本原因是由于数值计算中把流过每一个控制容积面的流动处理成局部一维流动,以一阶迎风为例来说明这种交叉扩散产生的过程.如图4(b)所示,来流与x轴呈45°角时,知u=v,又Γ=0,由对称性得aW=aS,由于N,E位于P的下游,故aE=aN=0.于是aP=aW+aS=2aW,即φP=0.5(φW+φS).由此可根据来流温度逐一计算出其他节点的温度,计算值标于图4(b)中.由图可见,此时两股冷热流体中的温度分布被逐渐抹平,出现了垂直于主流方向的假扩散现象.而对于二阶迎风、三阶迎风、QUICK格式,它们的控制容积界面上携带了控制容积附近流体微团的更多信息,也即离散格式用到周围更多的节点,而流场计算的过程是一致的,故其在流场与网格交错时也存在一定的假扩散,但其截差和精度要高于一阶迎风,故其假扩散相比一阶迎风明显减弱.而乘方格式是在指数格式基础上拟合得到的,其性能与指数格式相近.而指数格式是应用一维稳态对流扩散方程的精确解在界面上插值的,对于一维稳态问题在任何时候能给出精确解,但对于二维、三维问题以及源项不为零的情况,这样方案是不准确的,故乘方格式出现如此大的假扩散也就自然而然了.5.克服或减少虚假扩散(1)流场与网格交错时造成假扩散前面分析已经说明,当流场与网格平行时,绝对不会产生交错假扩散;而当流场与网格交错时,虽然不同的离散格式所发生的假扩散程度有所不同,但都或多或少存在一定的假扩散.所以当在进行流场计算时,应尽量让流场与网格平行,这样可以有效地减轻假扩散.(2)网格加密和假扩散的比较正是由于在流场与网格交错时速度沿坐标轴分解,这样信息被不断地通过节点与界面带向下游,在这个过程中原始的信息逐渐衰减.那么在可能的情况下进行网格加密也就使被携带的信息能快速地被整个流场“淹没”,这样也就从一定程度上减轻了假扩散现象.网格加密往往受到计算机硬件条件的限制,在计算允许的情况下,网格加密也不失为一种好的方法.(3)高截差等级形式前面结果和分析告诉表明,携带控制容积附近流体微团信息