2022届北京市二十高考数学四模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列与Q耳JT的终边相同的角的表达式中正确的是()

4

9

A.2*n+45°(*GZ)B.A・3600+O(A£Z)

4

5n

C・*-360°-315°(*GZ)D.kn+—(AWZ)

4

2.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在

后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个

数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为()

5.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、8、。三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区

至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去3社区，则不同的安排方法种数为（）

A.8B.7C.6D.5

6.甲、乙、丙、丁四人通过抓阉的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阉后，甲说：“我没抓到.”乙

说：“丙抓到了丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到.”已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定

值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7.已知复数z满足z«l+2i）=5（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.在区间［-3,3］上随机取一个数x,使得=20成立的概率为等差数列｛”“｝的公差，且/+4=7,若％〉0,

则”的最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

9.若数列｛4｝满足弓=15且3ae=34-2,则使的人的值为（）

A.21B.22C.23D.24

10.已知命题.J与〉2,只一8〉0,那么一为（）

33

A.3x0>2,x0-8<0B.Vx>2,x-8<0

33

C.3XO<2,XO-8<OD.VX<2,X-8<0

11.下列函数中，图象关于）'轴对称的为（）

x____

A.fM-CT—j-B./(%)=x/7+2x+V7-2x,xe[-l,2]

C./(x)=sin8xD./(x)=,+：一.

X

12.一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为。的正方形及正方形内一段圆弧组成,

则这个几何体的表面积是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数〃x）=ain（2x）_e§有且只有一个零点，则实数。的取值范围为.

14.若随机变量J的分布列如表所示，则E（J）=，。（纥-1）=

4-101

J_

Paa2

4

15.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧

起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，贝！11分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有

个.

16.已知函数/（x）=-x3+x+a,xe[J_,e]与g（x）=3/nx-x-l的图象上存在关于x轴对称的点，则”的取值范围为

e

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知公差不为零的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，4=4,%是生与%的等比中项.

（1）求s“；

(2)设数列也｝满足4=。2，%=4+3x2%,求数列｛敦｝的通项公式.

2

18.(12分)设函数/(x)=|x-a|+|r+-|(a>0).

a

2

(1)若不等式/(x)-|x+—的解集为｛x降1｝,求实数a的值：

a

(2)证明：/(x)>2^.

19.(12分)在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行

合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：

试销价格

456789

X(元)

产品销量y

898382797467

(件)

已知变量国)’且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲亍=4x+53；乙

]=-4x+105；丙]=-4.6x+104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

(1)试判断谁的计算结果正确？

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中

随机抽取3个，求“理想数据”的个数为2的概率.

,,1

20.(12分)已知各项均为正数的数列｛4｝的前〃项和为S“，且S”是a,与一的等差中项.

⑴证明：代｝为等差数列，并求s.；

(2)设——数列抄“｝的前〃项和为7；,求满足1,25的最小正整数”的值.

21.(12分)如图，在四棱锥P-A3CD中，底面ABC。为菱形，如J_底面NR4O=60。，AB=PA=49E是

出的中点，AC,BD交于点0.

B

(1)求证：0E〃平面P8C：

(2)求三棱锥E-尸8。的体积.

22.(10分)如图，在直三棱柱ABC—AMG中，C4=CB,点尸，。分别为人与，CC的中点.求证:

(1)「。//平面48。；

(2)PQL平面

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.

【详解】

与空的终边相同的角可以写成2妹+等(Jtez),但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.

44

故答案为C

【点睛】

(1)本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与a终边相同的角

夕=H360°+a其中左ez.

2.C

【解析】

先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，

由此可求解出对应的概率.

【详解】

所有的情况数有：C：)=120种，

3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：

(1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),(7,8,9),(1,4,7),(3,6,9),(1,3,5),(3,5,7),(5,7,9),(1,5,9),共1()种，

所以目标事件的概率P=g=《.

12012

故选：C.

【点睛】

本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行

分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.

3.A

【解析】

根据/。)>0排除C,D,利用极限思想进行排除即可.

【详解】

解：函数的定义域为“1x7。｝,/(x)>0恒成立，排除C,D,

2x

Xe

当x〉0时，当x-»0，/(x)-0,排除8,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题.

4.A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

2+i(2+i)(l+i)2+3i+/l+3i_13.

1^7-(l-z)(l+z)-2~2~221

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

5.B

【解析】

根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（T）;A（甲，乙）B（T）C（丙）；A（甲，丙）B（T）C（乙）；

A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁,

乙）：共7种，选B.

6.A

【解析】

可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.

【详解】

由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，

T：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；

假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以断定值班人是甲.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析

判断能力，属于基础题.

7.D

【解析】

根据复数运算，求得z,再求其对应点即可判断.

【详解】

==故其对应点的坐标为。，―2）.

其位于第四象限.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.

8.D

【解析】

由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x的范围区间长度，利用几何概型公式可得概

率，即等差数列的公差，利用条件%+4=2/，求得的=-2,从而求得为=-£+],解不等式求得结果.

【详解】

由题意，本题符合几何概型，区间[-3,3]长度为6,

使得营20成立的x的范围为(1,3],区间长度为2,

3-r21

故使得—>0成立的概率为-=-=d,

x-\63

110n

又为+4=T=2%,>,.<a=-2,：.a=-2+(H-4)x—=--------F—

4lt333

令4>0,则有〃>10,故〃的最小值为11,

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式,

属于基础题目.

9.C

【解析】

222247

因为4用一%=—：，所以他“｝是等差数列，且公差4=15,贝!]a.=15—：(〃—1)=一:〃+羡，所

以由题设％•%+i<0可得(—：2〃+4?7)(—22〃+4?5)<0=与45<〃<4?7,贝!J〃=23,应选答案C.

JJJJ4乙

10.B

【解析】

利用特称命题的否定分析解答得解.

【详解】

已知命题P：玉0>2,-8>0,那么r7是Vx>2,》3一840.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

11.D

【解析】

图象关于y轴对称的函数为偶函数，用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.

【详解】

图象关于y轴对称的函数为偶函数；

4中，xeR,/(r)='d；+]=—/(x),故/。)=君工为奇函数;

B中，/(%)=j7+2x+V7-2x的定义域为[-1,2],

不关于原点对称，故为非奇非偶函数;

C中，由正弦函数性质可知，/(x)=sin8x为奇函数;

。中，xeR且/(-幻='：，=/(幻,故/(为=巴勺为偶函数.

(-X)厂

故选：D.

【点睛】

本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法：

(1)定义法：对于函数/(X)的定义域内任意一个x都有/(x)=-/(-x),则函数/(x)是奇函数；都有/(x)弓(X),

则函数J'。)是偶函数

(2)图象法：函数是奇(偶)函数O函数图象关于原点()'轴)对称.

12.C

【解析】

画出直观图，由球的表面积公式求解即可

【详解】

这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉1个球而形成的，所以它的表面积为

S=3a2+3Y-空=(6一&a2.

(4)8I4；

故选：C

【点睛】

本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（7,0）U{e}

【解析】

2x2x

当时，转化条件得q=e«有唯一实数根,令(x)=_e二,通过求导得到g(x)的单调性后数形结合即

2In(2x)-ln(2x)

可得解.

【详解】

1I1

当x=5时，/(%)=_/工0,故x=5不是函数的零点;

2x

当X#!时，/（%）=0即,

2In（2%）

2生1—

-ee-ln（2x）---ee

[in（2尤）]2[in（2”了

..当时，g'(x)<。；当时，g〈X)>0,

g(x)的单调减区间为(o,g),(g，3增区间为仁,+8

则要使a=g(x)有唯一实数根，则ae(-oo,0)U{e}.

故答案为：(-°o,0)U{e}.

【点睛】

本题考查了导数的应用，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题.

111

14.——

44

【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得。(自)的值，由方差的性质计算。(24-1)的值即可.

【详解】

131

由题意可知a+—+k=1,解得a=一一(舍去)或。=一.

422

则E⑷=_lxg+0x；+lx；=_；,

2\2

贝！JOq)=[-1+；、1111

xl+14X—=—>

724；44J416

由方差的计算性质得D侬—1)=4。(4)=?

【点睛】

本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计

算求解能力.

15.325

【解析】

根据数据先求出x=0.02，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可.

【详解】

解：；(0.015+x+0.035+x+0.01)-10=l,

x=0.02.

则1分钟至少能做到3()个仰卧起坐的初三女生人数为[1-(0.015+0.02)-10]-500=325.

故答案为：325.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.

16.[2,e3-2]

【解析】

两函数图象上存在关于x轴对称的点的等价命题是方程-V+x+a=-3/〃x+x+l在区间已⑷上有解，化简方程

aT=d-3历x在区间iLe］上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.

e

【详解】

解：根据题意，若函数/(xQ-V+x+adwxWe)与g(x)=31nx—x—1的图象上存在关于x轴对称的点,

e

则方程-d+l+〃=-3。氏+尤+1在区间上有解，

e

即方程a-\=x3-3lnx在区间A,e］上有解，

e

设函数g(x)=/一3M:,其导数g\x)=3/=3d),

xx

又由可得：当,<x<l时，g'(x)<O,g(x)为减函数，

ee

当14xWe时，g'(x)>0,g(x)为增函数，

故函数g(x)=V_3/〃x有最小值且⑴=1,

又由g(2)=e+3,g(e)=e3—3；比较可得：g(3<g(e),

eee

故函数8(%)=/-3历r有最大值g(e)="-3,

故函数g(x)=/-3而在区间，,e］上的值域为政-3］；

若方程a+l=d-3配t在区间七,e］上有解，

e

必有l«a-lWe3_3,贝!!有2Wa〈e3_2，

即"的取值范围是［2^3-2］；

故答案为：［243—2］；

【点睛】

本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题，函数零点问题的拓展.由于函数y=/(x)的零点就是方程

/(%)=0的根,在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点,

结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

,,+

17.(1)“-十3〃；(2)A=3X2'-9.

2

【解析】

(1)根据题意，建立首项和公差的方程组，通过基本量即可写出前“项和；

(2)由(1)中所求，结合累加法求得勿.

【详解】

4+21=4fa.+2J=4,

⑴由题意可得/己/、(、即,

(4+4d)=(4+d)(4+10d)[2d=a^d.

4=2

又因为dwO,所以<,,所以4=〃+1.

a=1

_〃(2+〃+1)_rr+3〃

==

"22

(2)由条件及(1)可得优=%=3.

由已知得心「勿=3x2"+|,々一%=3x2"(〃22)

所以2=(2一%)+(%-2.2)+…+(伪一伪)+伪

=3(2"+2'I+2"-2+L+22)+3=3x2,,+l-9(n>2).

又仇=3满足上式，

所以勿=3x2"-9

【点睛】

本题考查等差数列通项公式和前"项和的基本量的求解，涉及利用累加法求通项公式，属综合基础题.

18.(1)a=l；(2)见解析

【解析】

(1)由题意可得|x-。伫4丫，分类讨论去掉绝对值，分别求得x的范围即可求出”的值.(2)由条件利用绝对值三角不

等式，基本不等式证得/(x)>2,/2..

【详解】

2

(1)由/(x)-|x+—|>4x,可得|x-a|%x,(a>0),

a

当x加时，x-a>4x,解得工<一4，

3

这与XNQ>0矛盾，故不成立，

当xVa时，a-x>4x,解得％

又不等式的解集是{X降1},故三=1，解得。=1.

222

(2)证明：f(x)=|x-a|+|x+—|>\x-a-(x+—)|=|a+—Va>0,

aaa

2?I2-

.\la+-l=a+->2.a--=2&,当且仅当a=0时取等号，

aa\a

故f(X)>2y[2-

【点睛】

本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础

题.

9

19.(1)乙同学正确；(2)—.

20

【解析】

(1)根据变量乂)，且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点(嚏,亍)，判断出乙正确.

(2)由线性回归方程得到的估计数据，计算出误差，求得“理想数据”的个数，由此利用古典概型概率计算公式，求得

所求概率.

【详解】

(1)已知变量x，)’具有线性负相关关系，故甲不正确，

♦.•[=6.5,5=79,代入两个回归方程，验证乙同学正确，

故回归方程为：亍=-4x+105

(2)由(1)得到的回归方程，计算估计数据如下表：

X456789

y898382797467

y898581777369

021212

由上表可知，“理想数据”的个数为3.

用列举法可知，从6个不同数据里抽出3个不同数据的方法有20种.

从符合条件的3个不同数据中抽出2个，还要在不符合条件的3个不同数据中抽出1个的方法有3x3=9种.

9

故所求概率为P=二

20

【点睛】

本小题主要考查回归直线方程的判断，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于中档题.

20.(1)见解析，S“=&(2)最小正整数〃的值为35.

【解析】

(1)由等差中项可知2s当2时，得2S“=S,,_S,i+1,整理后可得从而证

a

n—1

明｛5；｝为等差数列，继而可求S“.

(2)2=耳土苏=而1一册，则可求出＜=而万—1,令丁^工1一125,即可求出〃的取值范围，进而

求出最小值.

【详解】

解析：(D由题意可得2s“=4+，,当〃=1时，2S,=«,+—,.•.如=1,q=l,

当〃22时，25,,=5„-S„_1+-整理可得火-s3=1,

.••｛S；｝是首项为1,公差为1的等差数列，.•.S；=S；+(〃—l)=〃，s“=5.

(2)由(1)可得7==y]n+\-4n,

5+1+>/〃

Tn=>/2—A/I+A/3—V2H1■y-+