新教材2023高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性分层演练新人教A版选择性必修第二册

5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性A级基础巩固1.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则导数f'(x)的图象可能是()解析:f'(x)=2x+b.因为函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,所以x=-b2>0,所以b<0.所以f'(x)的图象可能为选项A中的图象答案:A2.若函数f(x)=sinx-12x,则函数f(x)在区间(0,π)内的单调递增区间为(A.0,π6B.π3,答案:D3.若函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则()A.a≤0 B.a<1C.a<2 D.a≤1解析:由题意可知f'(x)≤0在R上恒成立,即3ax2-1≤0恒成立,显然选项B,C,D都不能使3ax2-1≤0恒成立.答案:A4.函数f(x)=xlnx的单调递减区间为0,5.函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增,则实数a的取值范围是a≥13解析:由题意,知f'(x)=3ax2-2x+1≥0在R上恒成立,所以a>0,(-26.判断函数y=ax3-1(a∈R)在R上的单调性.解:由题意,知y'=3ax2,x2≥0.当a>0时,y'≥0,函数y在R上单调递增;当a<0时,y'≤0,函数y在R上单调递减;当a=0时,y'=0,函数y在R上不具备单调性.B级拓展提高7.设函数F(x)=f(x)ex是定义在R上的函数,其中f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)<f(x)对于x∈R恒成立A.f(2)>e2f(0),f(821)>e821f(0)B.f(2)<e2f(0),f(821)>e821f(0)C.f(2)<e2f(0),f(821)<e821f(0)D.f(2)>e2f(0),f(821)<e821f(0)解析:因为F(x)=f(x)ex,f'(x所以F'(x)=f'(x)e所以F(x)是定义在R上的减函数,所以F(2)<F(0),即f(2)e2<f(0)e0同理可得f(821)<e821f(0).答案:C8.函数f(x)=2x-lnx的单调递增区间是12解析:由题意,得f'(x)=2-1x=2x-1x,f(x)=2x-lnx的定义域是{x|x>0}.令f'(x)≥0,即2x-1x≥0,解得x≥19.已知函数f(x)=lnx-14x2-12x,求f(x)解:根据题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-12x-12令f'(x)>0,即-x2-x+2令f'(x)<0,即-x2-x+2所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).10.(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=x(1-lnx).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:2<1a+1b<(1)解:由题可知函数的定义域为(0,+∞),又f'(x)=1-lnx-1=-lnx,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)证明:因为blna-alnb=a-b,所以b(lna+1)=a(lnb+1),即lna+1故f1a=f1设1a=x1,1b=x2,由f(x)的单调性可知x1,x2一定是一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞),不妨设0<x1<1,x2>因为x∈(0,1)时,f(x)=x(1-lnx)>0,x∈(e,+∞)时,f(x)=x(1-lnx)<0,所以1<x2<e.先证x1+x2>2,若x2≥2,x1+x2>2必成立.若x2<2,要证x1+x2>2,即证x1>2-x2,而0<2-x2<1,故即证f(x1)>f(2-x2),即证f(x2)>f(2-x2),其中1<x2<2.设g(x)=f(x)-f(2-x),1<x<2,则g'(x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],因为1<x<2,故0<x(2-x)<1,故-ln[x(2-x)]>0,所以g'(x)>0,故g(x)在区间(1,2)内为增函数,所以g(x)>g(1)=0,故f(x)>f(2-x),即f(x2)>f(2-x2)成立,所以x1+x2>2成立.再证x1+x2<e,设x2=tx1,则t>1,因为f1a=f1b,即f(x1)=f(x2),x1(1-lnx1)=x2(1-lnx所以1-lnx1=t(1-lnt-lnx1),故lnx1=t-要证x1+x2<e,即证(t+1)x1<e,即证ln(t+1)+lnx1<1,即证ln(t+1)+t-1即证(t-1)ln(t+1)-tlnt<0.令S(t)=(t-1)ln(t+1)-tlnt,t>1,则S'(t)=ln(t+1)+t-1t+1-1-lnt=先证明一个不等式:ln(x+1)≤x.设u(x)=ln(x+1)-x,则u'(x)=1x+1-1当-1<x<0时,u'(x)>0;当x>0时,u'(x)<0.故u(x)在区间(-1,0)内单调递增,在区间(0,+∞)上单调递减,故u(x)max=u(0)=0,故ln(x+1)≤x成立.由上述不等式可得当t>1时,ln1+1t≤1t<2t+1,故S'故S(t)在区间(1,+∞)上为减函数,故S(t)<S(1)=0,故(t-1)ln(t+1)-tlnt<0成立,即x1+x2<e成立.综上所述,2<1a+1b<C级挑战创新11.多选题若关于x的不等式x2+mx-2>0在区间[1,2]上有解,则实数m的取值可以是()A.-1B.0C.1D.2解析:因为关于x的不等式x2+mx-2>0在区间[1,2]上有解,所以mx>2-x2在区间[1,2]上有解,即m>2x-x在区间[1,2]上成立.设函数f(x)=2x-x,x∈[1,2],所以f'(x)=-2x2-1<0,所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,且f(x)的值域为[-1,1].要使m>2x-x在区间[1,2]上有解,则m>-1,即实数m的取值范围是(答案:BCD12.多选题已知定义在R上的函数f(x),其导数为f'(x),若f'(x)-f(x)<-4,f(0)=5,则下列选项中x的取值能够使不等式f(x)>ex+4成立的是()A.-1 B.0 C.-2 D.-5解析:构造函数g(x)=f(x)则g(0)=1,g'(x)=f'(x)-f(x所以g(x)在R上为减函数.因为不等式f(x)>ex+4等价于f(x)e即g(x)>g(0),所以x<0.答案:ACD13.多空题若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)内单调递增,则k的取值范围是(-∞,3];若函数f(x)在区间(-3,-1)内不单调,则k的取值范围是(3,27).解析:若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)内单调递增,则f'(x)=3x2-k≥0在区间(-3,-1)内恒成立,即k≤3x2在区间(-3,-1)内恒成立.因为3x2∈(3,2