基于相关性的随机性公积金评估方法研究

基于相关性的随机性公积金评估方法研究

保证金评估随机性方法目前，国际数学理论和实践中，准备评估的随机性方法取得了很大进展。随机性方法为确定组合营地的负荷估算的适应性、最佳预备配置和范围估算提供了重要的理论基础。关于这方面的文献可以参考Renshaw等,Taylor,Taylor等,England,England等,Schmidt。特别指出的是,Wüthrich等作为国际上第一本系统介绍准备金评估随机性方法的专著,受到著名精算专家Bühlmann的高度评价。在我国保险业,一方面为了借鉴国外最新的精算技术,另一方面为了在保险业中实施新会计准则,保监会财务会计部于2010年1月围绕非寿险保险合同准备金计量方法举办了系列培训,鼓励保险公司采用准备金评估随机性方法。之后,我国部分保险公司开始了准备金评估随机性方法的探索研究,关于这方面的研究可以参考张连增,本书是国内第一本系统介绍准备金评估随机性模型与方法的专著,基本涵盖了当前国际精算研究中未决赔款准备金评估随机性模型与方法的各个分支。在国内外的研究中,一般采用预测均方误差(MeanSquaredErrorofPrediction,MSEP)描述准备金估计的波动性。MSEP包含参数估计误差与过程方差两部分,其中过程方差的处理相对简单,比较复杂的是参数估计误差的处理。当前,统计软件的普及和计算技术的快速发展,为数值模拟准备金负债的参数估计误差提供了技术支持。一方面,在多数情况下,参数估计误差的解析计算比较复杂,不如随机模拟方法直接方便。另一方面,随机模拟结果也可以作为验证解析计算的一种途径。这里随机模拟的核心技术是Bootstrap方法,它已经成为统计学中的基本工具之一。关于Bootstrap方法的参考书见Davison等。然而,MSEP只考虑了准备金估计的一阶矩和二阶矩,对准备金的波动性度量还不是很充分,作为深入研究,张连增等针对通常使用的评估方法,在估计准备金的MSEP的基础上,进一步得到了准备金完整的预测分布,这些研究为精算人员更合理地决策提供了透明性和可操作性。在各种准备金评估方法中,准备金进展法同时考虑了已决赔款数据和已报案赔款数据,不但充分利用了保险公司历史数据中所包含的两类赔款数据信息,而且有效避免了分别采用两类赔款数据估计的最终损失(UL)之间的差异。鉴于此,本文提出了考虑相关性的随机性准备金进展法,模拟了UL、未决赔款准备金(CV)、已发生未报案未决赔款准备金(IBNR)的预测分布,并通过精算实务中的数值实例,应用R软件加以实证分析。本文的研究对我国保险公司在准备金评估中引入随机性方法,具有重要的理论意义和实践价值。准备法的不足和改进1、试验结果的转换假设事故年和进展年的年数都为n,以Pi,j表示事故年i在第j个进展年的累计已决赔款,Xip,j表示事故年i在第j个进展年的增量已决赔款,Ii,j表示事故年i在第j个进展年的累计已报案赔款,XiI,j表示事故年i在第j个进展年的增量已报案赔款,相应地可定义不同的流量三角形(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)。另外,事故年i在第j个进展年的已发生已报案未决赔款准备金记为RVi,j=Ii,j-Pi,j,也可类似定义流量三角形。准备金进展法的基本思想是考察已发生已报案未决赔款准备金的进展情况。事故年i在第j个进展年的已发生已报案未决赔款准备金RVi,j在下一进展年j+1一部分转化为下一进展年的增量已决赔款Xip,j+1,另一部分仍为下一进展年已报案未决赔款准备金RVi,j+1的一部分(1)。对于转化为已决赔款的部分,用准备金支付率(POi,j→j+1比率)表示,对于仍在已报案未决赔款准备金的部分,用准备金结转率(COi,j→j+1比率)表示。引入准备金进展率(CEDi,j→j+1比率),则有CEDi,j→j+1=COi,j→j+1+POi,j→j+1。然而,在准备金进展法中,对于所有事故年i,进展年j都选定相同的支付率、结转率,不能体现不同事故年已报案未决赔款准备金的进展情况之间的差异。针对这一不足,可以利用累计已决赔款数据和累计已报案赔款数据的相关性来调整各个进展年的支付率和结转率。其基本思路是,对于给定的累计已决赔款数据和累计已报案赔款数据,如果发现上三角的单个支付率POi,j→j+1、单个结转率COi,j→j+1与(P/I)i,j比率(2)(i≥1,j≥1,i+j≤n)之间存在某种关系(如线性关系),那么就要利用这种关系,对下三角的单个支付率、单个结转率进行调整。具体来说,以吴小平中的累计已决赔款和累计已报案赔款流量三角形数据为例,分别得到上三角数据中,支付率POi,j→j+1与(P/I)i,j比率、结转率COi,j→j+1与(P/I)i,j比率的散点图及相应的线性趋势线,如图1和图2所示。从图1和图2可以看出,精算师在使用准备金进展法评估时,如果发现累计已决赔款和累计已报案赔款数据存在一定的规律,使得支付率、结转率与P/I比率之间存在某种稳定的线性关系,那么在预测下三角数据时,可以有效利用这种相关性,进而更合理地评估准备金。2、模型设计及估计(1)利用给定的按事故年统计的累计已决赔款和累计已报案赔款流量三角形得到已发生已报案未决赔款准备金的流量三角形。即:(2)将给定的按事故年统计的累计已决赔款和累计已报案赔款流量三角形转化为增量已决赔款和增量已报案赔款流量三角形。即:(3)把事故年i在第j+1个进展年的增量已决赔款除以事故年i在第j个进展年的已发生已报案未决赔款准备金,得到准备金支付率的流量三角形。即:(4)把事故年i在第j+1个进展年的已发生已报案未决赔款准备金除以事故年i在第j个进展年的已发生已报案未决赔款准备金,得到准备金结转率的流量三角形。即:(5)定义事故年i在第j个进展年的(P/I)比率为:(6)分别建立POi,j→j+1与(P/I)i,j、COi,j→j+1与(P/I)i,j(i≥1,j≥1,i+j≤n)的一元线性回归模型。利用通常的最小二乘估计(OLS)法估计模型的回归参数,得到:其中(7)对于事故年i,利用步骤6得到的模型参数,先估计再按照准备金进展法的定义,逐步递归计算:这里,i≥2,j≥1,i+j≥n+1。最终可以得到UL、CV和IBNR的估计值:考虑到相关因素的随机性准备阶段法1、计算已关合的增长参数的确定的计算考虑相关性的准备金进展法虽然考虑了已决赔款数据和已报案赔款数据之间的关系,但它仍然是一种确定性方法,从而只能得到准备金的均值估计,而不能得到准备金的波动性度量。鉴于此,可结合两类赔款数据的相关性给出合理的分布假设,进而模拟UL、CV和IBNR的预测分布。其具体步骤为:(1)将累计已决赔款数据Pi,j和累计已报案赔款数据Ii,j转化为增量已决赔款数据XiP,j和增量已报案赔款数据XiI,j(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)。(2)构造残差。这里对上三角增量数据以列为研究对象,求每列数据的样本均值XjP和XjI、样本标准差sjP和sjI,对每列数据标准化,得到构造的残差的流量三角形分别为:(3)对两类残差进行调整(3),构造调整后残差的二元正态分布。其中,相关系数的计算公式为:这里,有上撇的残差表示调整后的残差。(4)从构造的二元正态分布中抽取随机数,得到两类调整后残差的流量三角形,其后按照式(13)进行变换,得到拟合的两类增量赔款流量三角形,进而得到拟合的两类累计赔款流量三角形。(5)按照前面介绍的考虑相关性的准备金进展法的主要步骤,得到UL、CV和IBNR的均值估计。(6)计算拟合赔款数据中,各进展年支付率、结转率的均值、标准差,其计算公式为:这里,上三角单个支付率和结转率由拟合数据流量三角形(i≥1,j≥1,i+j≤n)计算,下三角单个支付率和结转率(i≥2,j≥1,i+j≥n+1)是从步骤5的估计中得到的。(7)现在,可以从均值为标准差为sPOj→j+1的正态分布中抽取随机数,得到模拟的单个支付率的下三角(i≥2,j≥1,i+j≥n+1),从均值为标准差为sCOj→j+1的正态分布中抽取随机数,得到模拟的单个结转率的下三角,进而按照步骤5的做法,便可实现UL、CV和IBNR的预测分布的一次模拟。(8)重复步骤(4)-(7),即可以得到UL、CV和IBNR的预测分布,进而可以由该分布得到均值、标准差、分位数等相关的分布特征。2、多次模拟的过程方差MSEP包括参数估计误差和过程方差两部分。在上述考虑相关性的随机性准备金进展法模拟预测分布的过程中,同时也可以得到UL、CV和IBNR的参数估计误差。其中,CV的参数估计误差就是多次模拟的未决赔款准备金估计值的样本方差。同时,通过从下三角支付率、结转率的正态分布的假设中抽取随机数的过程已经体现了过程方差。但既然可以直接模拟出UL、CV和IBNR的预测分布,且预测分布作为完整的分布,包含了更充分的信息,使得过程方差的估计变得并不那么重要。3、基于多元正态分布的残差调整(1)残差的处理。A.对角线上端点数据的特殊处理由式(13)构造残差的定义,可以看出两类增量数据中,第n个进展年只有一个数据,其均值就是它本身,标准差为0,无法计算对应的残差,这里假设残差为0,进而计算调整后的残差。B.残差的调整在进行模拟时,是对调整以后的残差进行再抽样,而不是对Res(XiP,j)和Res(XiI,j)进行再抽样。这是因为,理论上标准化后的这两个残差的均值应为0,方差应为1。但是,我们已经证明,残差的均值为0,标准差为此值小于1,因此需要对残差进行调整。这里通过对残差乘以系数加以调整,这种调整使得在均值保持不变的情况下,方差变为1。所以,最终构造的二元正态分布的边际分布都是标准正态分布,协方差矩阵就是相关系数矩阵。(2)随机性准备金进展法涉及的相关性。本文考虑的相关性涉及以下两个方面:A.支付率、结转率与P/I比率的相关性本文考虑了不同事故年的已发生已报案未决赔款准备金的进展情况之间的差异,通过观察分析单个支付率、结转率与P/I比率的散点图,然后建立两个一元线性回归模型,来考虑它们之间存在的相关性。B.两类增量赔款数据的相关性本文研究了已决赔款和已报案赔款两类数据的相关性,在利用随机性准备金进展法模拟预测分布的过程中,提出了利用二元正态分布来处理两类赔款数据之间的相关性。从随机模拟的角度看,这是一种基于特殊多元分布的参数Bootstrap再抽样方式。另外,也可以直接通过采用成对残差样本数据的非参数Bootstrap再抽样方式考虑这种相关性,即将这两类调整后残差流量三角形的对应单元格数值绑定,组成有序数组,然后成对地抽取。(3)选择二元正态分布的原因。在本文的研究中,之所以选择二元正态分布,其原因是在多元分布的研究中,正态分布长期处于主导地位,而且易于数学处理。例如,诸如Anderson、Johnson等关于多元分析的主要参考文献,都主要关注于多元正态分布以及从正态分布推导出的多元扩展分布,即学生t分布和Fisher的F分布。多元正态分布之所以如此吸引人,其原因主要包括:一是多元正态分布的边际分布也是正态分布;二是两变量的正态分布可以通过边际分布和附加参数———相关系数来完整描述。在实证分析和研究结论1、情感因数数据在发生业务方面的应用本文实证分析中的累计已决赔款数据和累计已报案赔款数据来源于《保险公司非寿险业务准备金评估实务指南》,如表1和表2所示。这些数据在准备金评估的相关文献中被经常引用。此处引用这里的数据也是为了更好地与以往研究的结果进行比较。2、考虑相关性的金融结构估计结果的模拟结果下面以数值实例加以实证分析,按照本文第二、三部分的思路,详细给出了由准备金进展法、考虑相关性的准备金进展法的估计结果;以及两种不同抽样方式下,考虑相关性的随机性准备金进展法得到的参数估计误差、模拟的预测分布及相关的分布特征,这里采用R软件对其进行算法实现。(1)准备金进展法的估计结果为了便于比较,表3给出了准备金进展法中各进展年的准备金支付率、结转率和进展率的最终选定值(4)。基于这些选定值,表4给出了准备金进展法得到的UL、CV和IBNR的估计值,其中CV等于UL减去评估日的累计已决赔款P,IBNR等于CV减去RV。(2)考虑相关性的准备金进展法的估计结果按照第二部分给出的考虑相关性的准备金进展法,得到的一元线性回归模型的回归参数的估计值(5)分别为:进而按照步骤7进行递归计算,得到下三角中各进展年的单个支付率和结转率,如表5和表6所示。这里,为了更能体现出不同事故年进展情况的差异,表5和表6也给出了上三角中各进展年的单个支付率和结转率的计算结果。其中,表5的上三角的单个支付率是按照式(4)计算的,表6的上三角的单个结转率是按照式(5)计算的。在此基础上,表7给出了考虑相关性的准备金进展法估计的UL、CV和IBNR,其中CV等于UL减去评估日的累计已决赔款P,IBNR等于CV减去RV。(3)考虑相关性的随机性准备金进展法的估计结果按照第三部分给出的考虑相关性的随机性准备金进展法,下面给出两种不同抽样方式下估计的UL、CV和IBNR的参数估计误差,以及模拟UL、CV和IBNR的预测分布的主要过程。A.表8和表9分别给出了调整后的两类残差的流量三角形,其中调整系数为B.表10和表11分别给出了基于二元正态分布随机抽取的调整后的残差样本。其中,Res′(XiP,j)~N(0,1),Res′(XiI,j)~N(0,1),ρ=0.6687。表12和表13分别给出了基于成对抽数的非参数Bootstrap方法随机抽取的调整后的残差样本。从表12和表13不难看出,这两类调整后残差样本是成对抽取的。C.表14和表15分别给出了基于二元正态分布、成对抽数的非参数Bootstrap方法两种抽样方式下,考虑相关性的随机性准备金进展法估计的UL、CV和IBNR的参数估计误差的平方根。为了便于与以往研究的结果进行比较,表15中也给出了基于过度分散泊松分布的模型假设下,随机性准备金进展法估计的CV的参数估计误差的平方根。3、考虑相关性的随机性金融资本估计的误差从上面的数值实例可以得出以下结论:(1)估计结果的一致性。从表14和表15可以看出,在两种不同的抽样方式下,考虑相关性的随机性准备金进展法估计的UL、CV和IBNR的参数估计误差都很接近,从一定程度上体现了参数Bootstrap方法和非参数Bootstrap方法具有一致性。(2)从整体趋势上讲,表14和表15中两种抽样方式估计的参数估计误差随着事故年已知信息的减少而增加。举例来讲,从第2事故年到第7事故年,赔款样本数据依次减少,相应的UL、CV和IBNR的参数估计误差依次增大,该结论是很直观的,因为当已知信息越少时,估计的误差就越大,精度也就越低。(3)从表15可以看出,对于单个事故年i,在考虑相关性情况下,两种抽样方式得到的CV的参数估计误差都大于未考虑相关性的基于过度分散的泊松分布的结果;而考虑所有事故年的结果则小于后者。这说明,随着事故年数的增多,考虑相关性的加总结果的波动更小一些。(4)从表14和表15可以看出,对每一种抽样方式来说,UL、CV和IBNR的参数估计误差并不相同。这是因为,本文的两种抽样方式都是对两类增量赔款数据的调整后残差进行再抽样,每次拟合的上三角已决赔款和已报案赔款流量三角形都不同,使得每次得到的UL、CV和IBNR的均值估计并非相差同一常数,故相应的单个事故年i和所有事故年的参数估计误差并不相同。(5)从图3、图4和图5可以看出,对每一种抽样方式来说,考虑相关性的随机性准备金进展法模拟的预测分布的图形形状都存在差异,而并非简单的将UL的预测分布依次向左平移得到CV和IBNR的预测分布。其原因也是因为每次拟合的上三角已决赔款和已报案赔款流量三角形都不同。与模拟中保持评估日的累计已决赔款P和RV不变的假设相比,本文的处理更能体现出拟合的已决赔款和已报案赔款流量三角形同时变化的特征,更具有一般性。(6)从表16和表17可以看出,两种抽样方式得到的UL、CV和IBNR的预测分布的均值、标准差、变异系数、各个分位数等都很接近,也验证了参数Bootstrap方法和非参数Bootstrap方法在模拟预测分布中的一致性。(7)表16和表17中UL、CV和IBNR的变异系数依次增大,这是因为UL、CV和IBNR的预测分布的均值减小的幅度远远大于标准差减小的幅度。其中,IBNR的变异系数超过了1,更能说明IBNR的波动性很大,这与实务中精算人员认为IBNR很难准确评估的结论不谋而合。基于copula函数构造的二元分布模型。在理论的理论方面也有借鉴本文的创新之处和方法建议可以概括为:第一,本文创新性地研究了在准备金评估的随机性方法中,考虑已决赔款和已报案赔款两类数据相关性的处理方法。具体地讲,在利用随机性准备金进展法模拟准备金的预测分布的过程中,提出了两种处理相关性的方法,一是利用二元正态分布考虑两类赔款数据之间的相关性,这也可以看作是基于特殊多元分布的参数Bootstrap再抽样方式;二是通过成对数据的非参数Bootstrap再抽样方式考虑相关性。在此基础上,通过数值实例对两种抽样方式的结果进行了比较分析,并应用R软件对两种考虑相关性的随机性准备金进展法进行了完整的编程实现。最后指出,由于二元正态分布对应于一种特殊的Copula函数,故在实务中,精算人员也可以通过对两类赔款数据的残差进行分析,选取合适的Copula函数来构造二元分布。第二,基于Copula函数构造的多元分布作为一种度量变量间相依结构的方法,已逐渐被引入到精算学的理论研究中。在财险公司的索赔数据中,损失数据往往不服从正态分布,而且损失和费用之间也不满足独立性假设,这可以通过基于Copula函数构造的二元分布来描述这种相关性,如假设费用服从对数正态分布,索赔损失服从帕累托等厚尾分布。需要指出的是,Co