3.2.2双曲线的简单几何性质（第二课时）导学案高二上学期数学人教A版选择性

3.2.2双曲线的简单几何性质（第二课时）班级姓名【学习目标】熟练掌握双曲线的几何性质2能解决简单的直线与双曲线问题基础知识双曲线的几何性质标准方程x2y2性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥ay∈Ry≤－a或y≥ax∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：____2a____；虚轴：线段B1B2，长：____2b____；半实轴长：___a_____，半虚轴长：____b____离心率e＝ca∈(1，＋∞渐近线y＝±bay＝±ab将y＝kx＋m与x2a2−y2b2＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－aΔ的取值位置关系交点个数k＝±ba且m≠相交只有___1_____交点k≠±ba且Δ有____2____交点k≠±ba且Δ相切只有___1_____交点k≠±ba且Δ＜相离____0____公共点双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq\r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a)，(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).典型例题例1已知定点，，动点到两定点、距离之差的绝对值为．（1）求动点对应曲线的轨迹方程；（2）过点作直线与曲线交于、两点，若点恰为的中点，求直线的方程．例2已知椭圆的焦点在x轴上，满足短轴长等于焦距，且长轴两端点与上顶点构成的三角形面积为.（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）若双曲线与（1）中椭圆有相同的焦点，且过点，求双曲线的标准方程.例3已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．例4过双曲线Γ：的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.(1)若是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；(2)若存在直线l，使得，求Γ的离心率的取值范围.【课堂检验】1．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．2．已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．参考答案例1．（1）；（2）．【详解】解：（1）由题意知：，故动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且，，∴，故曲线的方程为：；（2）设，，满足，两式相减得，即，因为点为的中点，故，∴，即直线的斜率为，又过点，故直线的方程为：，即．例2（1）椭圆的标准方程为，离心率为；（2）.【详解】（1）由题意得：在椭圆中，，且.根据，解得，，所以椭圆的标准方程为.椭圆的离心率为.（2）由题意，椭圆的焦点为和.因为双曲线过点，根据双曲线的定义，得，所以，又因为，所以，所以双曲线的标准方程为.例3（1）；（2）24.【详解】因为，所以，．所以双曲线的方程为，即．因为点在双曲线上，所以，所以．所以所求双曲线的方程为．设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，由，得，所以．同理可得，，所以．设，则，所以，即当且仅当时取等号．所以当时，取得最小值24．例4(1)；(2).【详解】（1）依题意，结合双曲线的对称性得，，所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，，，b2＝c2－a2＝2，此时Γ的标准方程为.（2）依题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝my－c，联立，消去，得，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，由AF2⊥BF2得，故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，整理得，即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，则(m2＋1)b4＝4a2c2，所以，故4a2c2≥(c2－a2)2，所以c4＋a4－6a2c2≤0，两边除以，得e4－6e2＋1≤0，解得，又因为e>1，所以，故，又A，B在左支且l过F1，所以y1y2<0，即，故，所以，所以，即4a2<b2＝c2－a2，则，故e2>5，即，综上：，即.课堂检验1．B【详解】双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x，∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，∴kl，∴直线l的方程为y（