专题14圆锥曲线转韦达定理结构斜率和积夹角数量积垂直直径的圆过定点（知识梳理专题过关）（解析版）

专题14圆锥曲线转韦达定理结构：斜率和积、夹角、数量积、垂直、直径的圆过定点【知识梳理】1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点10、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．11、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．12、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．13、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．14、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．15、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．【专题过关】【考点目录】考点1：斜率和问题考点2：斜率积问题考点3：夹角问题考点4：数量积问题考点5：垂直问题考点6：直径的圆过定点问题【典型例题】考点1：斜率和问题1．（2022·四川省绵阳南山高二期中（文））已知点，直线和交于点P，且它们的斜率之积为．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点的直线与C交于A，B两点，点，求直线与的斜率之和．【解析】（1）设，依题意可得，所以，整理得，所以点的轨迹的方程为.（2）设直线l的方程为，，，联立方程，消去整理得因为直线与椭圆存在两个交点，故，根据韦达定理：则，，根据题意可知上式的分子，所以，即直线与的斜率之和为．2．（2022·江苏泰州·高二期中）已知双曲线C过点,.(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值.【解析】（1）设双曲线C的方程为,将,代入上式得:,解得,双曲线C的方程为.（2）设,,由题意易得直线l的斜率存在,设直线l的方程为,代入整理得,,,,且,则,故为定值.3．（2022·江西·赣州市第三高二期中）已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；(2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.【解析】（1）由题意得，解得.从而得到抛物线的方程为，准线方程为；（2）设，，由得，∴，，，∴

所以的值为.4．（2022·江苏·扬州市第一高二期中）如图，已知点，点分别在轴和轴上运动，并满足.(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点的直线与点的轨迹交于两点，，求直线的斜率之和.【解析】（1）设，又因为，所以为中点，所以，又因为，故，又因为，得：，故：动点的轨迹方程为（2）设过点的直线方程为，设,,则斜率，由得：所以，，所以，因为所以5．（2022·河南商丘·高二期中）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴的一个端点的坐标为．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的右焦点为，如图，过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，设直线和的斜率为，，证明：为定值，并求出该定值．【解析】（1）由题意得：设椭圆C的半焦距为c因为C的短轴的一个端点的坐标为，所以，，因为，所以．得，所以，所以椭圆C的方程为．（2）设直线MN的方程为，，，联立，消去y整理得：．则，，所以将，，代入上式分子中得：，即，所以为定值，且．6．（2022·江苏·宝应县曹甸高级高二阶段练习）已知圆过点且与圆：相切于点，直线：与圆交于不同的两点、.(1)求圆的方程；(2)若圆与轴的正半轴交于点，直线、的斜率分别为，，求证：是定值.【解析】（1）由已知，将圆的一般方程化为标准方程，∴圆的圆心，半径，∵圆与圆相切于点，∴点、、三点共线，即圆的圆心在直线上，∴直线的方程为，即，又∵点、均在圆上，∴弦的垂直平分线过圆的圆心，，设弦的垂直平分线的斜率为，则，∴，∵、中点为，∴弦的垂直平分线的方程为，即，∴，解得圆的圆心，圆的半径，∴圆的方程为.（2）由已知，求得，直线：即，消去，化简得：，∴设，，则，，∴，，∴，∴是定值.考点2：斜率积问题7．（2022·河南·郑州外国语高二期中）已知椭圆C：的下顶点为点D，右焦点为.延长交椭圆C于点E，且满足.(1)试求椭圆C的标准方程；(2)A，B分别是椭圆长轴的左右两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，AN的斜率分别是，.若直线MN过点，则是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由.【解析】（1）椭圆的下顶点为，右焦点，设点的坐标为，因为，所以，又，，所以，解得，代入可得，即，得，又，则，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意设直线，，，联立，消去，得，则，，所以．8．（2022·江苏泰州·高二期中）长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程，并说明其形状；(2)过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值．【解析】（1）∵，P为线段AB中点，∴，设，则，即.则曲线C是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；（2）根据题意，直线MP的斜率存在且不为0，MP设斜率为k，则直线方程为代入中，整理得，故，，即，因为直线，的斜率之积为，所以的斜率为，同理：.根据对称性可知，直线所过定点在轴上，不妨令，得，此时，即过，则，所以过定点.连接，在圆O中，由垂径定理可得：.当D、F不重合时，即，所以为直角三角形，取的中点，则．当D、F重合时，取的中点，则也成立．故存在定点E，使得为定值，此定值为．9．（2022·四川·树德高二期中（文））已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；(3)证明：为定值？并求的最大值．【解析】（1）由椭圆的离心率，则，又存在与两坐标轴都相切，则此时圆心，代入，解得：，则，∴椭圆方程：．（2）因为直线，与圆M相切，由直线与圆联立，可得，同理，由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，∴，因为点在椭圆C上，所以，所以．（3）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，因为，所以，因为，在椭圆C上，所以，整理得，所以，所以．当直线落在坐标轴上时，显然有，综上，，所以，所以的最大值为．10．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知平面内的两点，，，过点A的直线与过点B的直线相交于点C，若直线与直线的斜率乘积为，设点C的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)设P是E与x轴正半轴的交点，过P点作两条直线分别与E交于点M，N，若直线PM，PN斜率之积为－2，求证：直线MN恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．【解析】（1）设，由直线与直线的斜率乘积为，可得，化为，即为．（2）设直线，则，，即，设，，而，，，则由，得，，则，即，整理得，解得或（舍去），所以直线，知直线MN恒过点．11．（2022·江苏·盐城高二期中）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的方程；(2)设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线､的斜率分别为､，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】（1）（1）由题意得，解得，故椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，，，由得，∴，，由A､､三点共线可知，∴同理可得：，故，因此､为定值.12．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第高二阶段练习）已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线相交于A、B两点，求直线OA与OB的斜率之积．【解析】（1）双曲线化为标准形式：，，右顶点A,设抛物线的方程为，焦点坐标为,由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以,所以抛物线的方程；（2）联立，整理得,设,则,,考点3：夹角问题13．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知抛物线的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形．(1)求抛物线的方程；(2)若直线与交于两点，向量的夹角为（其中为坐标原点），求实数的取值范围.【解析】(1)由题意知：，由抛物线的定义知：，由，解得，所以抛物线方程为；(2)设，由，得，则，，则，，因为向量的夹角为，所以，，则，且，所以，解得，所以实数的取值范围.14．（2022·重庆市云阳江口中高二阶段练习）已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图:（1）若△POM的面积为，求向量与的夹角；（2）证明:直线PQ恒过一个定点.【解析】（1）设点，因为三点共线，所以，所以，即，所以，所以设∠POM=α，则所以，所以，所以又，所以.故向量与向量的夹角为.(2)设点，因为三点共线，，即，即，则，即，又，所以，因为，所以直线的方程是，即，即，由知，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.15．（2022·安徽·东至县第二高二阶段练习（理））已知椭圆：，点在曲线上，短轴下顶点为，且短轴长为2.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作直线与椭圆的另一交点为，且与所成的夹角为，求的面积.【解析】（Ⅰ）将点代入椭圆的方程得，由短轴长为2，知，故，则椭圆的方程为.（Ⅱ）由题意可得的斜率为，即的倾斜角为，当与直线所成夹角为时，易知直线的倾斜角为或.①当直线的倾斜角为时，，，则；②当直线的倾斜角为时，直线的方程为，即，联立方程，得，则，故.，，综上可得的面积为或.考点4：数量积问题16．（2022·浙江·高二阶段练习）已知点，直线上有两点E，F使，点P在线段的延长线上，且.（1）若，求点P的轨迹方程；（2）若在点P的轨迹上存在两点M，N，设，的夹角为.①若，求证：直线过定点，并求定点坐标；②若为锐角，求直线与x轴交点横坐标的取值范围.【解析】设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，因为点在线段的延长线上，∴，∴所以点的坐标为，∴，.，∴，∴.（1）若，则点的轨迹方程是.（2）设点的坐标为，点的坐标为，，∴，，∴∴

∴直线的方程是即令，得.……（1）①若，∴，∴.∴，∴代入（1）式得，所以直线过定点，该定点坐标是.②若为锐角，∴，∴∴，∴，∴，∴或代入（1）式得或.直线与轴交点横坐标的取值范围是或.17．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知椭圆C：过点，，直线l：与椭圆C交于，两点．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ已知点，且A、M、N三点不共线，证明：向量与的夹角为锐角．【解析】Ⅰ将点，的坐标代入椭圆C的方程得，解得，所以，椭圆C的标准方程为；Ⅱ将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x并化简得，恒成立，由韦达定理得．．．由于A、M、N三点不共线，因此，是锐角．18．（2022·全国·高二课时练习）若双曲线的一个焦点是，且离心率为2．(1)求双曲线的方程；(2)设过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线的右支相交于不同的两点时，①求实数的取值范围；②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为双曲线的一个焦点是，且离心率为2，由解得，所以双曲线的方程为.（2）①根据题意设直线，由得，由得，恒成立，设，，则，，直线与双曲线的右支相交于不同的两点即所以解得.②设存在实数，使为锐角，所以即，因为，所以，由①得即解得，与矛盾，故不存在.19．（2022·上海市奉贤区奉城高级高二阶段练习）已知经过点且以为一个方向向量的直线与双曲线相交于不同两点、.（1）求实数的取值范围；（2）若点、均在已知双曲线的右支上，且满足，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使得、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为直线经过点且以为一个方向向量，所以直线的方程为，由得，整理得，因此，解得，即或或，所以实数的取值范围是；（2）设、，因为点、均在已知双曲线的右支上，所以由（1）可得，解得；又，即，则，整理得，则，整理得，解得，因为，所以；（3）假设存在实数，使得、两点关于直线对称，则直线与垂直，所以，则，由（2）知，则，因此的中点坐标为，又，即点在直线，所以存在实数，使得、两点关于直线对称.20．（2022·上海·上外浦东附中高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知向量，且而，动点的轨迹为C.（1）求曲线C的标准方程；（2）若M，N是曲线C上关于x轴对称的任意两点，设，连接交曲线C于另一点E，求证：直线过定点B，并求出点B的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B的直线交曲线C于S，T两点，求的取值范围.【解析】（1）设，则|，故点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，∴，即曲线C的标准方程为；（2）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，由，得，设，则，∴，，则直线的方程，整理可得，∴直线过定点；（3）当直线的斜率不存在时，其方程为，此时，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，设，则.∴，综上所述，的取值范围是.21．（2022·上海市向明高二阶段练习）已知等轴双曲线：的右焦点为，为坐标原点，过作一条渐近线的垂线且垂足为，.（1）求等轴双曲线的方程；（2）若过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；（3）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：在轴上是否存在定点，使得为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，试说明理由.【解析】（1）双曲线焦点到渐近线的距离为，所以，所以等轴双曲线的方程为.且.（2）由于直线的方向行向量为，所以直线的斜率为，而，所以：，与联立方程并化简得，可得，，即.（3）设点.依题意可知直线与不平行，设直线，与联立方程有，可得，，∴，，，要为定值，需满足，∴，即定点.22．（2022·上海市杨浦高级高二期末）已知椭圆：的左右焦点分别为、，上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．求椭圆的方程；设，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值；【解析】椭圆：的，向量与的夹角为，可得，即，则椭圆方程为；设，可得，即，，由可得时，上式取得最小值；时，取得最大值6，则的范围是；23．（2022·湖北孝感·高二期末（理））已知向量，，且满足.(1)求点的轨迹方程所代表的曲线；(2)若点，，是曲线上的动点，点在直线上，且满足，，当点在上运动时，求点的轨迹方程.【解析】（1）因为，，所以，，又，∴.即，即，即为所求的点的轨迹方程.所代表的曲线为以为圆心，为半径的圆（2）因为曲线是以为圆心，半径的圆.∴即为圆的圆心，又，，∴，点是的中点，即是的中垂线，连接，则，∴又，根据双曲线的定义，点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，由，，所以，因此点的轨迹方程为.24．（2022·福建省永春第一高二阶段练习）已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线C的方程；(2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；(3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.【解析】(1)因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，则设双曲线C的方程为：，于是得双曲线C的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线的一个方向向量是，则有，所以双曲线C的方程为.(2)依题意，设点，则，即，，当时，，此时，点M到直线DP：的距离为，而，如图，四边形ODMP的面积，所以四边形ODMP的面积为.(3)显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程：，由消去x得：，当时，恒成立，设，则有，，因此，，所以为定值0.25．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，点是的焦点，为坐标原点，过点的直线与相交于两点.（1）求向量与的数量积；（2）设，若，求在轴上截距的取值范围.【解析】（1）设A，B坐标为，由题知直线倾斜角不可能为0，设直线方程为：.联立得，，由韦达定理得..向量的数量积为.（2）由（1）知，代入得.在为增函数在y轴上截距的取值范围为考点5：垂直问题26．（2022·黑龙江·高二期中）已知分别是椭圆

的左、右焦点，P是C上的动点，C的离心率是，且△的面积的最大值是.(1)求C的方程；(2)过作两条相互垂直的直线，，直线交C于A，B两点，直线交C于D，E两点，求证：为定值.【解析】（1）设椭圆C的焦距为，根据题意，有解得，，．所以C的方程是．（2）证明：当直线，的斜率存在且都不为0时，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，．联立得：．因为在椭圆C的内部，所以恒成立，所以，，所以，同理，将k换成，得，所以．当直线，中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，不妨设直线的斜率为0，则，，此时．综上所示，为定值．27．（2022·山东德州·高二期中）已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．【解析】（1）已知双曲线C：经过点，则，右顶点为，不妨取渐近线为，即，则，从而可解得，所以双曲线C的方程为；（2）设，联立，消得，则，则，，，因为，则，即，即，即，整理得，所以.28．（2022·四川省绵阳南山高二期中（理））已知抛物线的焦点为F，A为E上一点，的最小值为1．(1)求抛物线E的标准方程；(2)过焦点F作互相垂直的两条直线与抛物线E相交于P，Q两点，与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段的中点，求的最小值．【解析】（1）由已知可得，解得，所以抛物线E的标准方程为（2）由（1）得，点，显然直线的斜率都存在且不为0，设直线斜率为k，则的斜率为，直线的方程为，由消去y并整理得，，设，则，所以线段中点，，同理，所以，令，当且仅当，即时等号成立．所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为1629．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆．(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值；(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．【解析】（1）证明：不妨弦、过椭圆的左焦点，其中，，.当、中有一条为长轴时，另一条为过焦点且平行于短轴的弦，联立可得，故该过焦点且平行于短轴的弦长为，则；当、中没有一条为长轴时，设，，联立直线与椭圆方程得，，由韦达定理可得，，根据弦长公式有．用替换上式中的即得．因此．综上，．（2）证明：分以下两种情况讨论：当直线的斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，联立，则，则．用替换上式中的即得．因此．当、中有一条斜率不存在时，另一条斜率为，此时，因此.综上所述，.30．（2022·江苏省邗江高二期中）设分别是圆的左､右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为(1)求椭圆C的离心率.(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.【解析】（1）由题意知，点在第一象限.是上一点且与轴垂直，的横坐标为.当时，，即.又直线的斜率为，所以，即，即，则，解得或（舍去），即.（2）已知是椭圆的上顶点，则，椭圆的方程为，易得直线AB的斜率必然存在，设直线的方程为，由可得所以，又，.，化简整理有，得或.当时，直线经过点，不满足题意；当时满足方程中，故直线经过轴上定点.又为过点作线段的垂线的垂足，故在以为直径的圆上，取的中点为，则为定值，且31．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及、．(1)求椭圆的方程；(2)求证：为定值；(3)求的最小值．【解析】（1）由，得，，．①，由椭圆过点知，②．联立①②式解得，．故椭圆的方程是．（2）为定值．证明：椭圆的右焦点为，分两种情况．不妨设当的斜率不存在时，，则．此时，，；当直线的斜率存在时，设，则．又设点，，，．联立方程组，消去并化简得，，，，由题知，直线的斜率为，同理可得所以为定值．（3）由（2）知，，当且仅当，即，即，时取等号，的最小值为．32．（2022·云南昆明·高二期中）已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．【解析】(1)由对称性可知等边三角形的顶点在上，代入得：，解得：，所以抛物线方程为：；(2)由题意知和斜率均存在，，设直线方程为，则直线方程为，由联立得：，设，则，故，同理得故直线MN方程为整理得：，故直线MN过定点33．（2022·江苏·高二阶段练习）已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．【解析】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，由点到焦点的距离等于圆的半径，而可化为，即该圆的半径为，所以，解得，所以抛物线的标准方程为；（2）由题意可知，直线与直线的斜率都存在，且焦点坐标为，因为，不妨设直线的方程为，直线的方程为，联立，得，恒成立．设，，则，，所以，同理，得，所以四边形的面积，（当且仅当时等号成立）所以四边形的面积的最小值是．34．（2022·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．(1)求椭圆C的方程；(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设点，则，当时，OP取得最小值为，

．，则当时，FP取得最大值﹐解得，则椭圆方程为．（2）设点当或时，易得过点Q作椭圆的两条切线并不垂直，故可设过点Q的椭圆的切线方程为，联立方程组，消元可得由可得，又直线过点，则﹐于是化简可得，由两条切线互相垂直可知，该方程的两根之积

则，即点Q在圆上，

由解得，故存在点满足题意，35．（2022·江西景德镇·高二期末（文））已知抛物线C：的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，的周长为．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）由题意，在中代入，得，解得，所以．由勾股定理得|，则的周长为，解得，故抛物线C的方程为．（2）由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为0．设直线AB的方程为，，．联立消去x，得，，则，从而．因为P是弦AB的中点，所以，同理可得．当，即时，直线PQ的斜率，则直线PQ的方程为，即．故直线PQ过定点；当，即时，直线PQ的方程为，也过点．综上所述，直线PQ过定点．考点6：直径的圆过定点问题36．（2022·江苏·宿迁高二期中）已知椭圆的离心率，短轴的两个端点分别为，.(1)求椭圆的方程；(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意可设椭圆为由题意可得，，可得，所以椭圆的方程为：.（2）联立，整理可得：，由题意可得，可得；可得，，即.联立，可得，，即，设在轴上存在.由，可得，可得，即，可得，可得，即定点.37．（2022·四川·树德高二期中（文））已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．(1)求直线PA与PB的斜率之积；(2)任意过且与x轴不重合的直线交椭圆E于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过点A．【解析】（1）由椭圆，可得，则，．设点，则有，即，所以．（2）证明：设，，因为MN与x轴不重合，所以设直线，由，化简得；由题意可知成立，且；，将韦达定理代入上式，可得，所以，即以MN为直径的圆恒过点A．38．（2022·河南信阳·高二期中）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在椭圆C上，，.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知M是直线上的一点，是否存在这样的直线l，使得过点M的直线与椭圆C相切于点N，且以MN为直径的圆过点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由，【解析】（1）设椭圆C的方程为，由，知，代入椭圆方程，得，解得，则，解得，，所以椭圆C的标准方程为；（2）显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为，由，消去y得.由，得.①所以，.即切点N的坐标为，以为直径的圆恒过点，则.又M的坐标为，，，，，化简，得.上式满足①式任意的k，m成立，则.故存在直线满足题意.39．（2022·内蒙古·包头高二期中（理））已知，椭圆的两个焦点，椭圆上的任意一点P使得，且的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）依题意，，由于的最大值为，所以，所以，所以椭圆的标准方程是.（2）椭圆的右顶点为，当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由得，设，则，由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点，所以，，解得，所以直线过.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去并化简得，，即①.设，则，由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点，所以，，，，，，，整理得，或，若，代入①得，成立，若，代入①得成立，所以直线的方程为，过点；或，过点，不符合题意，舍去.综上所述，直线过定点.40．（2022·陕西·府谷县府谷高