人教A版数学必修二讲义模块复习课Word版含答案

(教师独具)一、柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式面积体积圆柱S侧＝2πrlV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱台S侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3二、空间中的线线、线面、面面关系1．空间中线线关系空间中两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情况．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．(1)证明线线平行的方法①线线平行的定义；②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b；⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b．(2)证明线线垂直的方法①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角(在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线)；②线面垂直的性质1：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；③线面垂直的性质2：a⊥α，b∥α⇒a⊥b．2．空间中线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种．(1)证明直线与平面平行的方法①线面平行的定义；②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β．(2)证明直线与平面垂直的方法①线面垂直的定义；②判定定理1：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m，n⊂α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))⇒l⊥α；③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.3．空间中面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．(1)证明面面平行的方法①面面平行的定义；②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β；③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β；④公理4的推广：α∥γ，β∥γ⇒α∥β.(2)证明面面垂直的方法①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.三、两直线的位置关系1．求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tan_α．(2)公式法：已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．2．判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2．(2)若不重合的直线l1与l2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l1∥l2.3．判断两直线垂直的方法(1)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2.(2)已知直线l1与l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1⊥l2.四、直线方程1．直线方程的五种形式名称方程常数的几何意义适用条件点斜式一般情况y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式一般情况eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1a，b分别是直线在x轴，y轴上的两个非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax＋By＋C＝0A，B不同时为0A，B，C为系数任何情况2.常见的直线系方程(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.五、圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①求两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C2；②过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ为参数，λ∈R)．六、直线与圆的位置关系1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d＜r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d＞r，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ，Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ＞0⇔直线与圆相交；Δ＜0⇔直线与圆相离．2．过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k；②当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．3．圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解．(2)利用圆的弦长公式l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)(其中x1，x2为两交点的横坐标)．(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半eq\f(l,2)为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l＝2eq\r(r2－d2)．4．圆与圆的位置关系(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．(2)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交．则两圆方程相减后得到的新方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． ()[提示]×，根据棱锥定义，其余各面必须是有公共顶点的三角形．2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱． ()[提示]×，两个平行平面必须与圆柱底面平行才是圆柱．3．上、下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台． ()[提示]×，圆台的母线延长后交于一点．4．球的体积之比等于半径比的平方． ()[提示]×，由球的体积公式可知球的体积之比等于半径比的立方．5．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差． ()[提示]√，根据台体与锥体之间的关系可知正确．6．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()[提示]×，由条件可知，圆柱的底面周长为正方形的边长，设圆柱的底面半径为r，则有S＝πr2，从而圆柱侧面积为4πS.7．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． ()[提示]×，由公理3可知错误．8．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． ()[提示]√，如空间直角坐标系中三条坐标轴可以确定三个平面．9．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面． ()[提示]×，由条件知直线a与平面α相交，则平面内凡过交点的直线都与a相交．10．没有公共点的两条直线是异面直线． ()[提示]×，没有公共点的两条直线可能平行或异面.11．若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面． ()[提示]×，根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．12．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线． ()[提示]×，根据线面平行的性质定理可知，此直线与平面内的无数条直线平行而不是与任一条直线平行．13．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()[提示]×，若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a⊂α.14．若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条． ()[提示]×，直线a与点P确定一个平面β，若α∩β＝b，则a∥b.15．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()[提示]×，如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交．16．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()[提示]√，分别在两个平面内的两条直线没有公共点，则它们平行或异面.17．直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.()[提示]×，根据直线与平面垂直的定义可知此结论错误．18．直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.()[提示]×，在空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面．19．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()[提示]×，此直线不一定与平面β垂直，因此两平面不一定垂直.20．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． ()[提示]×，根据面面垂直的性质定理可知该结论错误.21．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.()[提示]√，两条平行线中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．22．确定圆的几何要素是圆心与半径． ()[提示]√，根据圆的概念可知确定圆的几何要素是圆心与半径．23．方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆． ()[提示]×，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2中当t2>0时才表示圆心为(a,b)，半径为|t|的一个圆．24．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()[提示]√，若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则必有xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0成立．25．过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.()[提示]√，过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2，这一结论需记住．26．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ()[提示]×，如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切或内切．27．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． ()[提示]×，如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交、内切或内含．28．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条． ()[提示]√，由于两圆相交，故其公切线有且仅有两条．29．两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0.()[提示]×，只有当x，y对应项系数相等时才能用公式求距离．1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2B[由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为eq\r(MS2＋SN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故选B.]①②2．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10πB[因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq\r(2)，底面圆的直径为2eq\r(2)，所以该圆柱的表面积为2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.]3．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8 B．6eq\r(2)C．8eq\r(2) D．8eq\r(3)C[连接AC1，AC，BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2eq\r(3).又B1C1＝2，所以BB1＝eq\r(（2\r(3)）2－22)＝2eq\r(2)，故该长方体的体积V＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).]4．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A[由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]5．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，则三棱锥D­ABC体积的最大值为()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)B[设等边三角形ABC的边长为x，则eq\f(1,2)x2sin60°＝9eq\r(3)，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝eq\f(6,sin60°)，解得r＝2eq\r(3)，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝eq\r(42－（2\r(3)）2)＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值Vmax＝eq\f(1,3)S△ABC×6＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).]6．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(5),2)D．eq\f(\r(7),2)C[如图，连接BE，AE.因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq\r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故选C.]7．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6] B．[4，8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝eq\r(2)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|2＋2|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3eq\r(2)，最小距离是d－r＝eq\r(2).易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以2≤S△ABP≤6.故选A.]8．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB