第07讲 有理数的混合运算(6类热点题型讲练)（解析版）

第07讲有理数的混合运算1.掌握有理数的加减乘除及其乘方的混合运算.2.灵活应用有理数的运算法则解决问题.知识点1有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得_____；（如果两个数的和为_____，那么这两个数互为相反数）（4）一个数同0相加，仍得这个数.【答案】0；0知识点2有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的_______，即.【注意】计算过程中，一定要注意符号.【答案】相反数知识点3有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.（4）有理数的乘法运算律①乘法交换律：；②乘法结合律：；③乘法分配律：．知识点4有理数的除法法则（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的_______.（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.【答案】倒数知识点5有理数的乘方（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.题型01有理数四则混合运算【典例1】（2022秋·山西太原·七年级校考阶段练习）计算(1)；(2)(3)；(4)；【答案】(1)1(2)7(3)(4)【分析】（1）先化简符号，再算加减法；（2）利用乘法分配律展开计算；（3）先算乘法，再算加减法；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减．【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解运算性质，确定运算顺序是关键．【变式1】（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先计算绝对值，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可；（2）先计算乘方与乘法运算，再计算加减运算即可．【详解】（1）解：

；（2）【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，熟记混合运算的运算顺序是解本题的关键．【变式2】（2022秋·广东广州·七年级广州市南武实验学校校考期中）计算题(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)14(2)2(3)(4)0【分析】（1）按照有理数的加减混合运算法则运算即可．（2）按照乘法对加法的分配律计算即可．（3）按照绝对值与有理数乘除运算法则进行运算即可．（4）按照乘方、有理数混合混合运算的顺序进行运算即可．【详解】（1）（2）（3）（4）【点睛】本题考查了有理数的混合运算、乘方和绝对值的运算等知识点，解题的关键是熟练运用各种运算技巧．题型02程序流程图与有理数计算【典例1】（2023秋·山西太原·七年级校考期末）下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为．【答案】0【分析】按照程序流程图，把代入求解即可．【详解】解：由题意得，，故答案为：0．【点睛】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．【变式1】（2023·江苏·七年级假期作业）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为．【答案】4【分析】根据程序流程图的流程，列出算式，进行计算即可．【详解】解：输入的值为1时，由图可得：；输入可得：；∴输出的值应为4；故答案为：4．【点睛】本题考查程序流程图．按照流程图的流程准确的列出算式，是解题的关键．【变式2】（2023·全国·七年级假期作业）按下图的程序计算，如果输入，则输出的结果为．【答案】5【分析】把x=-1代入程序中计算，判断结果大于3，输出即可．【详解】解：把代入得：，由于第一次所得结果不满足大于3的要求，所以再将输入，得：，满足大于3的要求；则输出结果是5，故答案为：5．【点睛】本题考查了程序框图和有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．题型03算“24”点【典例1】（2023春·上海·六年级专题练习）“点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等”．现在有四个有理数，，，，运用上述规则列出算式．【答案】【分析】由“24点”游戏规则，根据，，，，列出算式，利用有理数的混合运算法则计算，其结果为24，可得出此算式满足题意．【详解】解：，按上述规则写出的算式为：．故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算．【变式1】（2023春·上海·六年级专题练习）做数学“24点”游戏时，抽到的数是：，3，4，；你列出算式是：（四个数都必须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或）．【答案】【分析】利用加、减、乘、除、乘方运算得出即可．【详解】解：抽到的数是：，3，4，，列出的算式是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则．【变式2】（2023春·上海·六年级专题练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：(1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为________；(2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．这两张卡片上的数字分别是________，商为________；(3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可）【答案】(1)-5和-3，15(2)-5和+3，；(3)(答案不唯一)【分析】（1）依题意，积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可．（2）依题意，商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可．（3）把分解因数，可得到，，，然后找到合适的卡片能够通过运算得到的因数即可．【详解】（1）依题意，积为正数才有最大值，选择同号的两个数相乘则有，积最大为，选择卡片和卡片；故答案为：-5和-3，15；（2）依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值．则有，，商最小为，所选择卡片和卡片，故答案为：-5和+3，；（3）【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．题型04有理数错题复原问题【典例1】（2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？原题是：计算：这是小刚的计算过程：解：原式

第一步

第二步

第三步．

第四步观察小刚的计算过程回答下列问题：(1)小刚在进行计算第一步时运用了______律；(2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？(3)请你给出正确的解答过程．【答案】(1)乘法分配(2)二(3)见解析【分析】（1）观察运算过程可知第一步运用了乘法分配律；（2）观察运算过程可知第二步运用了除法分配律，而除法没有分配律，由此即可得到答案；（3）根据有理数四则混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：由题意得，小刚在进行计算第一步时运用了乘法分配律，故答案为：乘法分配；（2）解：由题意得，在第二步的时候，运用了除法的分配律，而除法没有分配律，从而导致运算结果错误，故答案为：二；（3）解：．【点睛】本题主要考查了有理数四则混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键，注意除法没有分配律．【变式1】（2022秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）在计算时，小明的解法如下：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）回答：(1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________；(2)请在下面给出正确的解答过程．【答案】(1)一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算(2)见解析【分析】（1）观察小明的计算过程可以发现，第一步没有按照运算顺序计算，所以错误；（2）按照有理数混合运算顺序和法则计算即可．【详解】（1）解：通过观察小明的计算过程发现，第一步在计算乘除的同级运算时，没有按照从左到右的顺序依次计算导致错误，故答案为：一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算；（2）解：．【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，掌握有理数的混合运算顺序和法则是解题的关键．．【变式2】（2022秋·河南驻马店·七年级校考期中）阅读下列解题过程：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）解答问题：(1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______．(2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议．【答案】(1)二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正(2)；建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可作答；（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】（1）根据有理数的混合运算法则可知：解答过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是同级运算应按照从左到右顺序进行；第二处是第三步，错误的原因是同号相除结果应为正，故答案为：二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正；（2），建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键．题型05含乘方的有理数混合运算【典例1】（2022秋·陕西西安·七年级西安市东方中学校考期末）计算：【答案】【分析】按照先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【变式1】（2023春·吉林松原·七年级统考期末）计算：【答案】【分析】根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．【变式2】（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：．【答案】【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可．【详解】原式．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．【变式3】（2020秋·广东深圳·七年级校考阶段练习）混合运算：(1)．(2)．【答案】(1)7(2)【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算加减；（2）先算乘方，再算除法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意乘法运算定律的应用．题型06新定义型有理数混合运算【典例1】（2022秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）计算规定，试计算：的值．【答案】5【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】解：∵，∴．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式1】（2023·河北沧州·校考二模）若，是有理数，定义一种运算“▲”：，(1)计算的值；(2)计算的值；(3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．【答案】(1)8(2)8(3)不成立，见解析【分析】（1）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；（2）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；（3）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算和，再进行比较即可．【详解】（1）解：由题意得：，（2）解：由题意得，∴；（3）解：不成立，理由如下：∵，，∴，即定义的新运算“▲”对交换律不成立．【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数四则混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则．【变式2】（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）若我们定义，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如：．依据以上内容，求下列式子的值．(1)；(2)．【答案】(1)38(2)【分析】（1）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得；（2）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得．【详解】（1）解：；（2）．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）下面各对数中，结果相等的是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根据乘方的计算法则即可得出答案．【详解】解∶∵，，∴，∴A选项不符合题意；∵，，∴，∴B选项不符合题意；∵，，∴，∴C选项符合题意；∵，，∴，∴D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查乘方的定义，解题的关键是要牢记互为相反数的两个数的平方相等．2．（2022秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）下列计算过程中，正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据各项计算过程，即可做出判断．【详解】解：A、，原计算错误，本选项不符合题意；B、，原计算错误，本选项不符合题意；C、，原计算错误，本选项不符合题意；D、，正确，本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意乘法运算定律的应用．3．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（

）甲：

乙：丙：

丁：A．甲和丙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁【答案】C【分析】据甲乙丙丁的式子计算出正确的结果，从而解答本题即可．【详解】解：，故甲的做法是错误的；，故乙的做法是错误的；，故丙的做法正确；，故丁的做法错误．故选：C．【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．4．（2023·云南昆明·统考二模）定义一种新运算：，如，则的结果为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值【详解】解：原式，故选：B．【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算．二、填空题5．（2022秋·江西宜春·七年级统考期中）计算：．【答案】10【分析】先计算乘法、乘方和绝对值，再算加减即可．【详解】解：原式．故答案为：10．【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．6．（2022秋·河北沧州·七年级统考期中）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序．【答案】8.5【分析】根据题意列出算式进行计算即可．【详解】解：根据题意得：．故答案为：8.5．【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．7．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）根据如图的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为.【答案】4【分析】把代入程序中计算，判断结果是否大于0，即可确定出y的值．【详解】解：由题意得：，∴，∴输出y的值为4．故答案为：4【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中给出的计算程序的含义．8．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）我们常用十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如表示的数为），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是．【答案】67【分析】根据七进制列式计算即可得．【详解】解：因为七进制是满七进一，所以孩子自出生后的天数是，故答案为：67．【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解七进制是解题关键．三、解答题9．（2023秋·山西太原·七年级统考期末）计算：．【答案】20【分析】先算乘方和乘除，再算加减法．【详解】解：【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则和运算顺序．10．（2023春·上海宝山·六年级统考期末）计算：．【答案】【分析】先算乘方，然后算乘除，最后算加减．【详解】解：【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．11．（2023春·上海松江·六年级统考期末）计算：【答案】【详解】原式．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．12．（2023春·上海嘉定·六年级统考期末）计算：【答案】【分析】先根据平方运算、绝对值运算、计算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、计算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．13．（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)．(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据有理数的乘法运算，加减法运算，乘法分配律即可求解；（2）根据含有乘方的有理数运算法则即可求解；（3）根据含有乘方的有理数