山东省新泰第一中学2023-2024学年高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析

山东省新泰第一中学2023-2024学年高二数学第一学期期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（）A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形2．函数单调减区间是（）A. B.C.和 D.3．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（）A. B.C. D.4．圆与圆的位置关系为（）A.内切 B.外切C.相交 D.相离5．已知，则（）A. B.C. D.6．已知，，若，则（）A.6 B.11C.12 D.227．已知，向量，，若，则x的值为（）A.-1 B.1C.-2 D.28．设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A. B.C. D.9．若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（）A.不存在过点O且与直线a，b都相交的直线B.过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交C.过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交D.过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交10．直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（）A.2 B.C. D.411．平行六面体中，若，则（）A. B.1C. D.12．气象台正南方向的一台风中心，正向北偏东30°方向移动，移动速度为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风影响持续时间大约是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．点到直线的距离为_______.14．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________15．圆心在x轴上且过点的一个圆的标准方程可以是______16．在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为等差数列，是各项均为正数的等比数列的前n项和，，，，在①；②；③．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择的第一个解答计分）（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.18．（12分）已知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上.（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线焦点的倾斜角为直线l与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长度.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知，是经过圆上一点且与相切的两条直线，斜率分别为，，直线的斜率为，求证：为定值.20．（12分）在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k份血液的检验次数共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；（2）假设有4份血液样本，现有以下两种方案：方案一：4个样本混合在一起检验；方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验若检验次数的期望值越小，则方案越优现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？21．（12分）如图，在三棱柱中，面ABC，，，D为BC的中点（1）求证：平面；（2）若F为中点，求与平面所成角的正弦值22．（10分）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若，求外接圆面积的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状【详解】由得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.故选：C2、B【解析】根据函数求导，然后由求解.【详解】因为函数，所以，由，解得，所以函数的单调递减区间是，故选：B3、C【解析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案.【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为所以球的体积为,表面积为.圆柱的体积为：,所以其体积之比为：圆柱的侧面积为：,圆柱的表面积为：所以其表面积之比为：故选：C4、B【解析】求出两圆的圆心距与半径之和、半径之差比较大小即可得出正确答案.【详解】由可得圆心为，半径，由可得圆心为，半径，所以圆心距为，所以两圆相外切，故选：B.5、B【解析】根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.【详解】.故选：B.6、C【解析】根据递推关系式计算即可求出结果.【详解】因为，，，则，，，故选：C.7、D【解析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.【详解】因向量，，，则，解得，所以x的值为2.故选：D8、B【解析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.9、D【解析】设直线与点确定平面，由题意可得直线与平面相交或平行.分两种情形，画图说明即可.【详解】点是空间中不在直线，上的任意一点，设直线与点确定平面，由题意可得，故直线与平面相交或平行.(1)若直线与平面相交（如图1），记，①若，则不存在过点且与直线，都相交的直线；②若与不平行，则直线即为过点且与直线，都相交的直线.（2）若直线与平面平行（如图2），则不存在过点且与直线，都相交的直线.综上所述，过点至多有一条直线与直线，都相交.故选：D.10、B【解析】求出两直线的交点坐标，结合两点间的距离公式得到，进而可以求出结果.【详解】因为与的交点坐标为所以，当时，，所以的最大值是，故选：B.11、D【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.【详解】在平行六面体中，有，故由题意可知：，即，所以，故选：D.12、D【解析】利用余弦定理进行求解即可.【详解】如图所示：设台风中心为，，小时后到达点处，即，当时，气象台所在地受到台风影响，由余弦定理可知：，于是有：，解得：，所以气象台所在地受到台风影响持续时间大约是，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】应用点线距离公式求点线距离.【详解】由题设，点到距离为.故答案为：14、【解析】根据焦点在轴的双曲线的标准方程的特征可得答案.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，则，解得.所以的取值范围为故答案为：15、【解析】确定x轴上一个点做圆心，求出半径，再写出圆的标准方程即可.【详解】以x轴上的点为圆心，则半径，所以圆的标准方程为：.故答案为：16、【解析】由题知，进而根据向量数量积运算的坐标表示求解即可.【详解】解：因为向量，所以，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）无论选择哪个条件答案均为；（2）.【解析】（1）先根据题设条件求解，然后根据选择的条件求解；（2）先求，然后利用分组求和的方法求解.【小问1详解】设的公差为，因为，；所以，解得，所以.选①：设的公比为，则；由题意得，因为，所以，解得或（舍）；所以.选②：由，当时，，因为，所以；当时，，整理得；即是首项和公比均为2的等比数列，所以.选③：因为，，所以，解得；所以.【小问2详解】由（1）得；所以.18、（1）（2）16【解析】（1）设抛物线的标准方程为：，再代入求解即可.（2）根据焦点弦公式求解即可.【小问1详解】由题意知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上，所以抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为：，代入点的坐标得：，解得则抛物线的标准方程为：.【小问2详解】焦点，则直线的方程是，设，，由得，，所以，则，故.19、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据双曲线的定义可得答案；（2）设，过点的的切线方程为，联立此直线与双曲线的方程消元，然后由可得，即可得到，然后可证明.【小问1详解】因为，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，所以，，所以，所以的方程为【小问2详解】设，则，设过点的切线方程为，联立可得由可得，所以所以20、（1）（2）方案一更优【解析】（1）分两类，由古典概型可得;（2）分别求出两种方案的数学期望，然后比较可知.【小问1详解】恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来分为两种情况：第一种：前两次检测中出现一次阳性一次阴性且第三次为阳性第二种：前三次检测均阴性，所以概率为【小问2详解】方案一：混在一起检验，记检验次数为X，则X的取值范围是，，，方案二：每组的两个样本混合在一起检验，若结果呈阴性，则检验次数为1，其概率为，若结果呈阳性，则检验次数为3，其概率为设检验次数为随机变量Y，则Y的取值范围是，，，，，所以，方案一更优21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，通过三角形中位线证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】解法1：如图，连接交于点O，连接OD，因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以O是的中点，因为D为BC的中点，所以在中，，因为平面，平面，所以平面平面解法2：因为在三棱柱中，面ABC，，所以BA，BC，两两垂直，故以B点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，因为，所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，所以，，，设平面的一个法