上海市上海中学东校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

上中东校2023学年第一学期高一年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．用或填空：0______．2．已知集合且，则______．若集合有且只有两个子集，则实数______．4．不等式的解集是______．5．若，则______．6．三角不等式中，等号当且仅当______成立．7．如果，那么从小到大的顺序是______．8．已知正数满足，则的最小值为______．9．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．10．定义：关于的不等式的解集叫的邻域，著的邻域为区间，则的最小值是______．11．设是非空集合，定义：且．已知，则等于______．12．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是______．二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．集合中的三个元素是的三边长，则一定不是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形14．已知，下列各不等式恒成立的是（）A． B．C． D．15．集合，若，则（）A． B． C． D．16．已知为实数，，记集合，则下列命题为真命题的是（）A．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2B．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2C．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3D．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3三．解答題17．已知集合，若，，求的值．18．集合（1）求；（2）求．19．设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工用品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？21．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．（1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由；（2）求证：集合是“和谐集”；（3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数．参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．设是非空集合，定义：且．已知，则等于______．【答案】【解析】集合,则,,12．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是______．【答案】【解析】由于

根据题意,规定集合,的子集,为的第个子集,其中则的第211个子集是

故答案为:.二、选择题13.D14.D15.C16.D15．集合，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设,,,

故选:.16．已知为实数，，记集合，则下列命题为真命题的是（）A．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2B．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2C．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3D．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3【答案】D【解析】,两边除以平方,得如果两个根不为与的根互为倒数,有一个根为,如果,一定有一个根,这两个根也是互为倒数,若有两个根,另外一个根为0,则只有一个根,故不成立,同理不成立,若有三个根,其中一个根为,则不等于有2个与不同的根,其中都不为0,否则得到,显然不成立,那么这三个根的倒数必然存在,且不相等,故也有三个不同的根,所以成立,反之,根据以上分析,不一定成立,故选:.三．解答题17.-1418.（1）（2）19.20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工用品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）时每吨平均成本最低,且最低成本为32万元.（2）当年产量为210吨时,最大年利润1660万元.【解析】(1)设每吨的平均成本为万元,则

当且仅当时每吨平均成本最低,且最低成本为32万元.

（2）设年利润为(万元)，则

所以当年产量为210吨时,最大年利润1660万元.21．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．（1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由；（2）求证：集合是“和谐集”；（3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数．【答案】（1）不是“和谐集”.（2）见解析（3）见解析【解析】(1)对于集合,当去掉元素2时,剩余的所有元素之和为13,

不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，

所以集合不是“和谐集”.

(2)证明:设，

当去掉元素1时,有;

当去掉元素3时,有;

当去掉元素5时,有;

当去掉元素7时,有;

当去掉元素9时,有;

当去掉元素11时,有;

当去掉元素13时,有.

所以集合是“和谐集”.

(3)证明:设“和谐集”所有元素之和为.

由题可知,均为偶数,因此的奇偶