人教A版高中数学(选择性必修第三册)同步讲义第21讲 拓展二：离散型随机变量的分布列与数字特征11种常见考法归类含解析

拓展二：离散型随机变量的分布列与数字特征11种常见考法归类考点一求离散型随机变量的分布列考点二离散型随机变量分布列的性质及其应用考点三求离散型随机变量的均值考点四由离散型随机变量的均值求参数考点五求离散型随机变量的方差考点六由离散型随机变量的方差求参数考点七两个相关离散型随机变量（一）两个相关离散型随机变量的分布列（二）两个相关离散型随机变量的均值（三）两个相关离散型随机变量的方差考点八离散型随机变量均值与方差在实际问题中的应用考点九离散型随机变量均值与方差在决策中的应用考点十离散型随机变量的综合应用1、求离散型随机变量的分布列关键有三点(1)随机变量的取值．(2)每一个取值所对应的概率．(3)用所有概率之和是否为1来检验．2、写离散型随机变量的分布列的步骤(1)找：理解并确定SKIPIF1<0的意义，找出随机变量X的所有可能的取值SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)注意应用计数原理、古典概型等知识(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.注意：写出分布列时要注意将SKIPIF1<0化为最简分式形式，但是在利用SKIPIF1<0检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果.3、分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．4、求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．(3)写出X的分布列．(4)利用均值的定义求E(X)．5、求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．6、求离散型随机变量方差的步骤①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；②求出X取每个值的概率；③写出X的分布列；④计算E(X)；⑤计算D(X)．7、离散型随机变量方差的性质(1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)D(c)＝0(其中c为常数)．注：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；考点一求离散型随机变量的分布列1．（2023·全国·高二专题练习）一种新型节能灯使用寿命低于1000h的概率为0.1，定义随机变量SKIPIF1<0，试写出随机变量X的概率分布列．【答案】分布列见解析【分析】根据已知条件求得SKIPIF1<0的概率分布列.【详解】依题意可知，SKIPIF1<0的概率分布列为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02．（2023·全国·高二专题练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．【答案】答案见解析．【分析】根据已知数据列表格．【详解】用SKIPIF1<0表示获利，则SKIPIF1<0的取值分别是1000，500，－500，分布列如下表：SKIPIF1<01000500－500SKIPIF1<00.40.20.43．（2023·全国·高二专题练习）甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每局甲校获胜的概率为SKIPIF1<0，乙校获胜的概率为SKIPIF1<0，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为SKIPIF1<0，乙校获胜的概率为SKIPIF1<0.每局比赛结果相互独立.（1）求甲校以3：1获胜的概率；（2）记比赛结束时女生比赛的局数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的概率分布.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）分布列答案见解析.【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求概率.（2）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求分布列.【详解】（1）甲校以3：1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0的所有可能取值为1，2，3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的概率分布为：SKIPIF1<0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<04．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手5名，其中男生2名：高二年级的参赛选手5名，其中男生3名.从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率；(2)设SKIPIF1<0为选出的4人中男生的人数，求随机变量SKIPIF1<0的分布列.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求得答案；（2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列.【详解】（1）由题意可知，从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛共有SKIPIF1<0种选法，事件A的选法共有SKIPIF1<0种，故SKIPIF1<0.（2）由题意知X的取值可能为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故X的分布列为：X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<05．（安徽省2023届高三A10联盟二模数学试卷）近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销．短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程．企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间．某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货．(1)已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6，0.4，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7．求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；(2)三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0.5，三人是否抢购成功互不影响．若X为三人下单成功的总人数，且SKIPIF1<0，求p的值及X的分布列．【答案】(1)0.64(2)0.4；分布列见解析【分析】（1）利用全概率公式即可求解；（2）先求出X的可能取值，然后求出每一值对应的概率，根据均值求出概率SKIPIF1<0，再列出分布列即可求解.【详解】（1）设SKIPIF1<0“第一天选择‘抖音’平台”，SKIPIF1<0“第一天选择‘快手’平台”，SKIPIF1<0“第二天选择‘抖音’平台”，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（2）由题意得，X的取值为0，1，2，3，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．

故X的分布列为X0123P0.060.340.440.16考点二离散型随机变量分布列的性质及其应用6．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）随机变量SKIPIF1<0的分布列如下表所示：SKIPIF1<01234SKIPIF1<00.1SKIPIF1<00.3SKIPIF1<0则SKIPIF1<0_____【答案】0.3/SKIPIF1<0【分析】根据给定的数表，利用分布列的性质求出m，再利用互斥事件的概率公式计算作答.【详解】由分布列的性质得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：0.37．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）已知随机变量SKIPIF1<0的分布列满足：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为常数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据分布列的性质计算可得SKIPIF1<0的值，再算SKIPIF1<0即可【详解】由分布列性质可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0故选：B8．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）已知随机变量SKIPIF1<0的分布列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据离散型随机变量及其分布列的性质，计算即可.【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：A.9．（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）随机变量X的概率分布为SKIPIF1<0，其中a是常数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由分布列的性质求出SKIPIF1<0，再由均值的公式即可求出答案.【详解】SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：B10．（2023·上海杨浦·统考二模）已知一个随机变量SKIPIF1<0的分布为：SKIPIF1<0.(1)已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值；(2)记事件SKIPIF1<0：SKIPIF1<0为偶数；事件SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并判断SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是否相互独立？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相互独立.【分析】（1）根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；（2）由SKIPIF1<0及分布列的性质求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，进一步求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用两个事件相互独立的定义判断即可.【详解】（1）由随机变量的分布的性质有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由题意，SKIPIF1<0，又事件SKIPIF1<0：SKIPIF1<0为偶数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由随机变量的分布的性质有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又事件SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相互独立.11．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，随机变量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据随机变量分布列的性质可得SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0与公差SKIPIF1<0的关系，再根据SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】由题意可知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综合可得，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012．（2023·上海·统考模拟预测）随机变量SKIPIF1<0的分布列如下列表格所示，其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的数学期望，则SKIPIF1<0__________.SKIPIF1<012345SKIPIF1<00.1SKIPIF1<00.20.30.1【答案】0【分析】根据离散型随机变量的分布列的数学期望公式求解即可.【详解】根据概率的性质可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为:0.考点三求离散型随机变量的均值13．（2023·河南新乡·统考二模）已知随机变量X的分布列为X024PSKIPIF1<0mSKIPIF1<0则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据分布列的性质及期望公式即得.【详解】由题可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：D.14．（2023春·辽宁锦州·高二校考阶段练习）随机变量SKIPIF1<0的分布列如下表，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据分布列的性质及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列,SKIPIF1<0列方程组求出SKIPIF1<0,再求数学期望即可.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选:A.15．（浙江省宁波三锋教研联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设SKIPIF1<0为恰好取到自己祝福信的人数，则SKIPIF1<0__________．【答案】1【分析】先求SKIPIF1<0的概率分布列，再根据公式求期望.【详解】有题意可知，SKIPIF1<0的可能取值为0，1，2，3，5对应概率依次为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：1.16．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）红旗中学某班级元旦节举行娱乐小游戏.游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质量均匀的骰子一次，若骰子向上的面是1或6时，则得SKIPIF1<0分（SKIPIF1<0为3人的顺序编号，SKIPIF1<0，2，3，若得分为负值时即为扣分），否则，得SKIPIF1<0分，各人掷骰子的结果相互独立”.记游戏小组SKIPIF1<0一局游戏所得分数之和为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的分布列和数学期望；(2)若游戏小组SKIPIF1<0进行两局游戏，各局相互独立，求至少一局得分SKIPIF1<0的概率.【答案】(1)分布列见解析，数学期望为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）分析骰子向上的面是1或6的各种情况，列出SKIPIF1<0的可能取值及其对应概率即可作出分布列，再按照数学期望的方法计算即可.（2）由（1）知游戏小组SKIPIF1<0一局游戏得分SKIPIF1<0的概率，继而可得符合情况的概率.【详解】（1）由条件可知：当一组中三人都掷出1或6面向上时SKIPIF1<0的取值为SKIPIF1<0当一组中两人掷出1或6面向上时SKIPIF1<0的取值为SKIPIF1<0当一组中一人掷出1或6面向上时SKIPIF1<0的取值为SKIPIF1<0当一组中都没有掷出1或6面向上时SKIPIF1<0的取值为SKIPIF1<0掷一次骰子，向上的面是1或6的概率为SKIPIF1<0，向上的面不是1或6的概率为SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0SKIPIF1<003060SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的数学期望为SKIPIF1<0.（2）由（1）可知，游戏小组SKIPIF1<0一局游戏SKIPIF1<0.记“游戏小组SKIPIF1<0两局游戏，至少一局游戏得分SKIPIF1<0”为事件SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<017．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）为调查SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物SKIPIF1<0和只服用药物SKIPIF1<0的患者的康复时间，经整理得到如下数据：康复时间只服用药物SKIPIF1<0只服用药物SKIPIF1<07天内康复360人160人8至14天康复228人200人14天内未康复12人40人假设用频率估计概率，且只服用药物SKIPIF1<0和只服用药物SKIPIF1<0的患者是否康复相互独立．(1)若一名患者只服用药物SKIPIF1<0治疗，估计此人能在14天内康复的概率；(2)从样本中只服用药物SKIPIF1<0和只服用药物SKIPIF1<0的患者中各随机抽取1人，以SKIPIF1<0表示这2人中能在7天内康复的人数，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望：【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，1【分析】（1）利用古典概型的计算公式即可求解；（2）利用古典概型的概率的计算公式，写出随机变量的可能取值，求出对应的概率，进而得出随机变量的分布列，结合期望公式即可求解.【详解】（1）只服用药物A的人数为数为360+228+12=600人，且能在14天内康复的人数360+228=588人，故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为：SKIPIF1<0；（2）只服用药物A的患者7天内康复的概率为SKIPIF1<0．只服用药物B的患者7天内康复的概率为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0的可的取值为0，1，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.18．（浙江省衢温51联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）在2023年3月10日，十四届全国人大一次会议在北京召开.中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在十四届全国人大一次会议闭幕会上发表重要讲话.出席全国两会的代表委员和全国各地干部群众纷纷表示，这一重要讲话坚定历史自信、饱含人民情怀、彰显使命担当、指引前进方向，必将激励我们在新征程上团结奋斗，开拓创新，坚定信心，勇毅前行，作出无负时代、无负历史、无负人民的业绩，为推进强国建设、民族复兴作出应有贡献.某社区为调查社区居民对这次会议的关注度，随机抽取了60名年龄在SKIPIF1<0的社区居民，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求选取的社区居民平均年龄及选取的社区居民年龄的中位数；(2)现若样本中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0年龄段的所有居民都观看了会议讲话，社区计划从样本里这两个年龄段的居民中抽取3人分享此次观看会议的感受，设SKIPIF1<0表示年龄段在SKIPIF1<0的人数，求SKIPIF1<0的分布列及期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，期望为1【分析】（1）根据频率分布直方图，结合平均数和中位数的公式，计算求值；（2）利用超几何分布求概率，再根据分布列求期望.【详解】（1）选取的社区居民平均年龄SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以中位数落于区间SKIPIF1<0之间，中位数为SKIPIF1<0；（2）因为社区居民年龄在SKIPIF1<0）内的人数为SKIPIF1<0人，在SKIPIF1<0内的人数为6人，所以SKIPIF1<0的可能取值为0,1,2,3,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0期望为SKIPIF1<0.19．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）现在世界正处于百年未见之大变局，我国面临着新的考验，为增强学生的爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加深对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治时事的了解．组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛得分规则为：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为SKIPIF1<0，乙回答正确的概率为SKIPIF1<0，两名选手回答每道试题是否正确相互独立．2道试题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总得分．(1)求乙总得分为10分的概率；(2)记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，SKIPIF1<0【分析】（1）由互斥事件、独立事件的概率公式计算可得；（2）分X可能取值为0，5，10，15，20，结合互斥事件、独立事件的概率公式求得概率得分布列，然后由期望公式计算出期望．【详解】（1）由题意，乙得10分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误或没有回答}、{甲，乙各抢到一题都回答正确}、｛甲抢到两题都回答错误或没有回答｝所以乙总得分为10分的概率SKIPIF1<0．（2）由题意得，甲的总得分X可能取值为0，5，10，15，20SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．分布列如下：X05101520PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．20．（2023春·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：SKIPIF1<0，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPISKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，数学期望为SKIPIF1<0【分析】（1）由古典概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值即其对应的概率，即可求出X的分布列，再由数学期望公式求出SKIPIF1<0.【详解】（1）由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为SKIPIF1<0．（2）由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以X的分布列为：X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0数学期望SKIPIF1<0．考点四由离散型随机变量的均值求参数21．（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量SKIPIF1<0的分布列如表，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）SKIPIF1<03SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．4 C．6 D．12【答案】C【分析】结合分布列的性质，以及期望公式，即可求解.【详解】由分布列的性质可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.22．（2023·高二课时练习）已知随机变量SKIPIF1<0的分布为SKIPIF1<00123SKIPIF1<00.1ab0.1若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】0【分析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由此可解得SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的值.【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②，由①②可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：023．（2023·上海奉贤·统考二模）已知随机变量SKIPIF1<0的分布为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】由期望性质可得答案.【详解】因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.24．（2023·高二单元测试）某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，10名人员均为阴性的概率为（

）A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2【答案】C【分析】依据题意写出随机变量SKIPIF1<0的的分布列，利用期望的公式即可求解.【详解】设10人全部为阴性的概率为SKIPIF1<0，混有阳性的概率为SKIPIF1<0，若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，则随机变量SKIPIF1<0的分布列SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：C.25．（2023春·高二课时练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为SKIPIF1<0，实验次数为随机变量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的数学期望SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可.【详解】X的所有可能取值为1,2,3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.考点五求离散型随机变量的方差26．【多选】（2023秋·辽宁·高二校联考期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，则（

）X1234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根据分布列中概率的性质、数学期望、方差等知识确定正确答案.【详解】由题意可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，A不正确，B正确.SKIPIF1<0，C正确．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．D正确．故选：BCD27．（2021·北京·高三校考强基计划）已知随机变量X的分布列如下表所示，X012Pabc若SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】C【分析】根据分布列的性质和方差的公式结合基本不等式可求方差的最大值.【详解】根据题意，有SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，等号当SKIPIF1<0时取得，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故选：C.28．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知某离散型随机变量X的分布列如下：xSKIPIF1<0012PabcSKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】运用离散型随机变量的分布列、期望与方差计算即可.【详解】由题意，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入①②解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．故选:C.29．（2023·全国·高二专题练习）随机变量SKIPIF1<0的分布为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据数学期望的性质可求得SKIPIF1<0，并结合概率和为SKIPIF1<0构造方程组求得SKIPIF1<0，利用方差计算公式可求得结果.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.30．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X的分布列如下所示．X123Pa2ba则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据分布列得出SKIPIF1<0，即可代入计算出SKIPIF1<0，即可根据方差的运算率得出SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求导得出SKIPIF1<0，即可得出答案.【详解】由题可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：D.31．（2023·全国·高二专题练习）设SKIPIF1<0，随机变量SKIPIF1<0的分布如下：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上增大时，以下说法中正确的是（

）．A．SKIPIF1<0增大 B．SKIPIF1<0减小C．SKIPIF1<0先增大后减小 D．SKIPIF1<0先减小后增大【答案】D【分析】根据随机变量SKIPIF1<0的分布列求得数学期望SKIPIF1<0，从而可求得SKIPIF1<0，结合二次函数的单调性即可判断SKIPIF1<0的增减性.【详解】解：随机变量SKIPIF1<0的分布如下：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上增大时，SKIPIF1<0先减小后增大.故选：D.32．【多选】（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）随机变量SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0012PaSKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0随b的增大而减小 D．SKIPIF1<0有最大值【答案】ABD【分析】利用分布列的性质及期望与方差的公式，列出表达式，逐项判定，即可得出答案．【详解】根据分布列的性质得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正确；根据期望公式得SKIPIF1<0，故B正确；根据方差公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0随b的增大而增大；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0随b的增大而减小，故C错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，故D正确，故选：ABD．33．（2023春·高二课时练习）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从本市某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．(1)求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；(2)设SKIPIF1<0表示选出的3人中语文教师的人数，求SKIPIF1<0的均值和方差．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【分析】（1）设事件SKIPIF1<0表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，SKIPIF1<0表示“恰好选出1名语文教师和2名英语老师”，SKIPIF1<0表示“恰好选出2名语文教师”，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0彼此互斥，且SKIPIF1<0，由此能求出选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率．（2）由于从6名教师中任选3人的结果为SKIPIF1<0，从6名教师中任取3人，其中恰有SKIPIF1<0名语文教师的结果为SKIPIF1<0，由此能求出选出的3人中，语文教师人数SKIPIF1<0的分布列和数学期望与方差．【详解】（1）解：某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，基本事件总数SKIPIF1<0，这6名教师中，语文教师2人，数学教师2人，英语教师2人，设事件SKIPIF1<0表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，SKIPIF1<0表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”，SKIPIF1<0表示“恰好选出2名语文教师”，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0彼此互斥，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率SKIPIF1<0．（2）解：由于从6名教师中任选3人的结果为SKIPIF1<0，从6名教师中任取3人，其中恰有SKIPIF1<0名语文教师的结果为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，2，那么从6名教师中任选3人，恰有SKIPIF1<0名语文教师的概率SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．34．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）某花店每天以每枝5元的价格从农场进购若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．(1)若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，SKIPIF1<0）的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n16171819202122频数10201616151310①若花店一天购进18枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进18枝或19枝玫瑰花，你认为应购进18枝还是19枝？请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①数学期望86；方差SKIPIF1<0；②花店一天应购进19枝玫瑰花【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝赔本5元，即可建立分段函数；（2）①分别求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的取值，对应表中频率得出对应的概率，得出分布列代入期望与方差公式即可求解；②同理求出一天购进19枝玫瑰花的利润的期望，两者比较即可.【详解】（1）当天需求量SKIPIF1<0时，利润SKIPIF1<0，当天需求量SKIPIF1<0时，利润SKIPIF1<0，所以当天的利润y关于当天需求量n（单位：枝，SKIPIF1<0）的函数解析式为：SKIPIF1<0.（2）①SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以X的分布列为：SKIPIF1<0708090SKIPIF1<00.10.20.7所以期望SKIPIF1<0，所以方差；SKIPIF1<0②由①知当一天购进18枝玫瑰花时，当天的利润的数学期望为SKIPIF1<0，设当一天购进19枝玫瑰花时，SKIPIF1<0表示当天的利润，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以花店一天应购进19枝玫瑰花.【点睛】关键点点睛：离散型随机变量的分布列，数学期望与方差的求法，古典概型等基础知识点，需要考生有较强的分析转化与运算的求解能力.35．（2023春·高二课时练习）本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图．(1)若数据分布均匀，记随机变量X为各区间中点所代表的身高，写出X的分布列及期望；(2)已知本市身高在区间SKIPIF1<0的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%．现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间SKIPIF1<0，试估计此人是高中生的概率；(3)现从身高在区间SKIPIF1<0的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本．若身高在区间SKIPIF1<0中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间SKIPIF1<0中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人的方差．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为171.7；(2)0.0312；(3)27.25【分析】（1）依据分布列和期望的定义即可求得X的分布列及期望；（2）利用条件概率去求此人是高中生的概率；（3）依据方差的定义去求这80人的方差．【详解】（1）由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的分布列为X155165175185195205P0.220.270.250.150.10.01SKIPIF1<0（2）设事件A为任取一名本市市民的身高位于区间SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0为任取一名本市市民为高中生，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．于是，此人是高中生的概率为0.0312．（3）由于身高在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的人数之比为5：3，所以分层抽样抽取80人，区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0内抽取的人数分别为50人与30人．在区间SKIPIF1<0中抽取的50个样本记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0其均值为176，方差为10，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在区间SKIPIF1<0中抽取的30个样本记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0．其均值为184，方差为16，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以这80人身高的均值为SKIPIF1<0．从而这80人身高的方差为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，这80人身高的方差为27.25．考点六方差的期望表示36．（2021·高二课时练习）随机变量X的概率分布为SKIPIF1<0．试求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【分析】由期望方差的计算公式与性质求解即可【详解】因为随机变量X的概率分布为SKIPIF1<0，由公式有SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．37．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X，Y的分布列如下：X10Y2SKIPIF1<0P0.50.5P0.50.5则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】计算出SKIPIF1<0，然后可得答案.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.38．（2022秋·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）设SKIPIF1<0，随