专题12.1 证明【十大题型】（举一反三）（苏科版）（原卷版）

专题12.1证明【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1命题的概念】 1【题型2判断命题的真假】 2【题型3互逆命题】 2【题型4三角形内角和的运用】 3【题型5三角形外角的运用】 4【题型6直角三角形性质的运用】 5【题型7平行线性质的运用】 7【题型8平行线判定的运用】 8【题型9平行公理的运用】 9【题型10推理与论证】 10【题型1命题的概念】【例1】（2022秋·湖南娄底·八年级统考期中）下列语句是命题的是（）（1）两点之间，线段最短；（2）如果x2＞0，那么x＞0（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余；（4）过直线外一点作已知直线的垂线．A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（4）【变式1-1】（2022秋·浙江杭州·八年级期末）下列句子中，属于命题的是（

）A．直线AB和CD垂直吗？ B．过线段AB的中点C作AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行 D．已知a2=1，求【变式1-2】（2022春·宁夏固原·七年级校考阶段练习）下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是____________．【变式1-3】（2022春·七年级课时练习）判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论．(1)内错角相等；(2)对顶角相等；(3)画一个60°的角．【题型2判断命题的真假】【例2】（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）下列命题中：其中是假命题的个数共有（

）①如果a+b=0，那么a=b=0；②如果a=3，那么③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；④如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角；⑤三角形的内角和等于180°；⑥两个锐角的和是钝角．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2-1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列命题中，是真命题的为（

）A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等C．同位角相等 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【变式2-2】（2022春·河北保定·七年级统考阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成________________，该命题是_________（填“真命题”或“假命题”）．【变式2-3】（2022春·山西·七年级统考阶段练习）判断下列命题的真假，如果是假命题，请举一个反例，真命题不需要举例．（1）钝角的补角是锐角；（2）一个角的余角小于这个角；（3）如果a=b，那么【题型3互逆命题】【例3】（2022秋·四川乐山·八年级统考期末）命题“实数a、b，若a=b，则a2=b2”的逆命题是_________________________，请你举出一个反例【变式3-1】（2022春·全国·八年级专题练习）命题“若-3a>-3b，则a<b”的逆命题是________．【变式3-2】（2022春·江苏·七年级专题练习）下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．【变式3-3】（2022春·江苏·七年级专题练习）已知命题“如果a=b，那么a=b(1)写出此命题的条件和结论；(2)写出此命题的逆命题；(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．【题型4三角形内角和的运用】【例4】（2022秋·山西运城·八年级统考期末）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（

）A．延长BC至D过C作CE∥AB B．过A作DE∥BCC．过D作DE∥BC D．过P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC【变式4-1】（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小虎给出了下列证法．证明：在△ABC中，作CD⊥AB（如图），∵CD⊥AB（已知）∴∠ADC=∠BDC=90°（直角定义）∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°（等式的性质）∴∠A+∠B+∠ACB=180°．请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法．【变式4-2】（2022春·山东潍坊·七年级统考期末）如图，直线a∥b，直线AB与直线a，b分别相交于点A、B，AC交直线b于点C．（1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度数：（2）请说明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180º．【变式4-3】（2022秋·重庆合川·八年级统考期末）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点F．(1)若∠A=54°，∠ABC=50°，求∠CFD的度数；(2)求证：2∠BFC=∠A+180°．【题型5三角形外角的运用】【例5】（2022秋·山东滨州·八年级统考期末）如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（

）A．110° B．120° C．130° D．160°【变式5-1】（2022秋·海南海口·七年级校联考期末）将一块等腰直角三角板和一块含30°角的直角三角板按图所示方式叠放，则∠DOC等于（

）A．45° B．60° C．75° D．105°【变式5-2】（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC边上（点B，C除外），点E在AC边上，且∠ADE=∠AED．(1)若∠B=∠C=45°，∠BAD=60°，求∠CDE的度数；(2)求证：∠BAD=2∠CDE．【变式5-3】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC边上（点B、C除外）点E在AC边上，且∠4=∠AED．(1)如图1，若∠B=∠C=45°．①当∠1=60°时，求∠2的度数；②试推导∠1与∠2的数量关系．(2)深入探究：如图2，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠1与∠2的数量关系，要求有简单的推理过程．【题型6直角三角形性质的运用】【例6】（2022秋·山东济南·八年级统考期末）两个直角三角板如图摆放，其中∠ABC=∠BCD=90°，∠A=30°，∠D=45°，AC与BD交于点P，则∠BPC的大小为（

A．30° B．45° C．60° D．75°【变式6-1】（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，将其折叠使点A落在BC边上的A'处，折痕为CD，则∠【变式6-2】（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线．∠B>∠C．(1)若∠B=60°，∠C=36°，则∠DAE=______°．(2)若∠B=α，∠C=β，探究∠DAE与α、β的数量关系？【变式6-3】（2022秋·河南驻马店·七年级校考期末）如图1，将两块直角三角板的直角顶点A叠放在一起．(1)若∠PAQ=45°，则∠CAB=；若∠CAB=130°，则∠PAQ=；(2)猜想∠CAB与∠PAQ的大小有何关系，并说明理由；(3)如图2，若是两个同样的直角三角尺45°锐角的顶点A重合在一起，猜想∠PAB与∠CAQ的大小又有何关系，并说明理由．【题型7平行线性质的运用】【例7】（2022秋·四川成都·八年级统考期末）已知AB∥CD，现将一个含30°角的直角三角尺EFG按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，若∠EHB=50°，则∠AFG的度数为（）A．100° B．110° C．115° D．120°【变式7-1】（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°的三角板的一个顶点在含45°角的三角板的一边上，则∠1的度数是（）A．30° B．20° C．15° D．14°【变式7-2】（2022秋·四川乐山·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD交AD于点E．(1)证明：∠1=∠3；(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．【变式7-3】（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM(1)求∠CBD(2)在点P运动过程中，试判断∠APB与∠(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD【题型8平行线判定的运用】【例8】（2022春·浙江杭州·七年级期末）下列图形中，能由∠1＝∠2得到AB∥CD的是（

）A． B．C． D．【变式8-1】（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线【变式8-2】（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）如图，BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3＋∠4＝180°，试说明∠1＝∠2（请通过填空完善下列推理过程）解：∵∠3＋∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（

）．∴∠3＋∠FHD＝180°（等量代换）．∴FG∥BD（

）．∴＝∠ABD（

）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝（

）．∴∠l＝∠2（

）．【变式8-3】（2022秋·海南海口·七年级校考期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．(1)如图1，当点G在点F右侧时，①试说明：BD∥②试说明∠DGE=∠BDG-∠FEG；(2)如图2，当点G在点F左侧时，（1）中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；（不用说理）(3)如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B-∠DNG=∠EDN，求∠B的度数．【题型9平行公理的运用】【例9】（2022春·河南郑州·七年级统考期末）已知AB∥CD，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13A．23° B．33° C．44° D．46°【变式9-1】（2022秋·四川眉山·七年级统考期末）如图，AB∥CD，若∠1=40°，∠2=50°，∠3=65°则∠4=_______．【变式9-2】（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图，已知AB∥EF，GC⊥CF，∠ABC=65°，∠【变式9-3】（2022秋·陕西西安·八年级统考期末）问题提出（1）如图1，若点A在B处的北偏东38°方向上，在C处的北偏西46°方向上，则∠BAC=．问题探究（2）如图2，直线l1∥l2，且l3分别与l1，l2交于A，B两点，点P在直线AB问题应用（3）某模具公司生产如图3所示的刀片，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），若小刀的刀片上、下平行，则认为该刀片合格，经过测量可得∠1+∠2=90°，你认为这样小刀的模具合格吗？请说明理由．【题型10推理与论证】【例10】（2022秋·八年级课时练习）我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”，现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏．游戏规则是：甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数，然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数，甲、乙反复轮流说，每次每人说一个或两个数都可以，但不能连续说三个数，也不能一个数也不说．谁先抢到20，谁就获胜．因为甲先说，你认为谁会获胜？请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理．【变式10-1】（2022秋·八年级课时练习）问：在8×8的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形（其中每个“+”字形占据棋盘的5个小方格），使得任意两个“+”字形不重叠，且每个“+”字形都不超出棋盘的边界？证明你的结论．【变式10-2】（2022秋·八年级课时练习）有12名游客要赶往离住地40千米的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时6千米，靠走路是来不及了，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为每小时60千米．（1）甲游客说：我们肯定赶不上火车；（2）乙游客说：只要我们肯吃苦，一定能赶上火车；（3）丙游客说：赶上或赶不上火车，关键取决于我们自己．亲爱的同学，当你身处其境，一定也有自己的想法，请你就某位游客的说法，用数学知识以理其人，由于难度不同，请你慎重选择．选择（1）答对只能给3分，选择（2）答对可以给4分，选择（3）答对我们奖赏你满分6分．【变式10-3】（2022秋·八年级课时练习）2007年9月，在中国举行了第五届女足世界杯，受到了世人瞩目．现假设某组有四个球队，分别为A，B，C，D四个足球队，在小组赛中她们进行循环比赛（即任意两队之