2022届高考数学必做题

2022年高考数学考前必做题

1.在四棱锥尸-A8CD中，底面ABCD为长方形，底面ABCO,其中PB=2,84=2,

BC=f,f的可能取值为:①②t=号;③仁冬④仁|；⑤f=3.

已知线段CD上存在点E,满足AE±PE.

(I)求f的所有可能取值，并说明理由；

(II)当f为所有可能取值的最大值时，线段S上满足4E_LPE的点有两个，分别记为

Ei，Ei，求二面角Ei-PB-反的大小.

【分析】(/)以B为坐标原点，以BC,BA,8P的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建

立空间直角坐标系.设ECt,x,0)(0WxW2),求出病=(t,x,-2),EA=C-t,2

-x,0),通过数量积为0,求解，的范围，推出结果.

(7/)由(/)知仁察此时，工=4或%=梳，即满足条件的点E有两个，求出E1(立,

，幺，2

--0)和E2(―,0),说明NE1BE2是二面角Ei-PB-E2的平面角，然后利用向量

222

的数量积求解二面角的大小.

【解答】解：(/)如图所示，以B为坐标原点，以BC,BA,BS的方向分别为x轴，y

轴，z轴正方向建立空间直角坐标系.

则各点坐标分别为A(0,2,0),B(0,0,0),D(n2,0),P(0,0,2).

设EG,x,0)(0WxW2),所而=(t,x,-2),£1=(-32-x,0),PELEA.

-？+x(2-x)=0,.'.i2—x(2-x),

.♦•在所给的数据中，，可以取①②③.

(//)由⑺知仁孚，此时，x=/或x=9，即满足条件的点E有两个.

V31V33

根据题意得，其坐标为E\（一，-，0）和Ei（一，0）,

2222

・.・P3_L底面ABC。，PB^BEi,

・・・ZE1BE2是二面角E「SB-Ei的平面角，

TTno

由「冰<RFRR>-BE1BE2_5+4_^3

由cosVBE],BE?〉一丁7n--反一互,

由题意得，二面角E1-P8-E2为锐角，所以二面角的大小为30°.

【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能

力以及计算能力，是中档题.

2.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面四边形ABCO为直角梯形，ABHCD,AB±BC,AB

=2CD,。为8。的中点，BD=4,PB=PC=PD=®

（1）证明：OP_L平面A8C£）；

（2）求平面必。与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

【分析】（1）连接OC,利用勾股定理证明OPLOC,又可证明根据线面垂直

的判定定理证明即可；

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面PBC和平面阳。的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】(1)证明：如图，连接0C,

在RtZ\BCZ)中，由8。=4,可得0C=2,

因为PB=PD=«,08=00=2,

所以OPJ_BO,OP=\/PB2-OB2=V5-4=1,

因为。P=l,0C=2,PC=V5,

贝|JPC2=OP1+OC2,

故0PL0C,

因为。BDC\0C=0,BD,OCu平面ABC。，

则OP_L平面ABCD-,

(2)解：由(1)可知，OC,OB,0P两两垂直，

以点0为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则。(0,0,0),B(2,0,0),0(-2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,1),

所以左=(2,2,0),AB=2DC=(4,4,0),

则A(-2,-4,0),

又盛=(-2,2,0),BP=(-2,0,1),

设平面PBC的法向量为益=(x,y,z),

Jm-FC=-2x+2y=01令日，则产Lz=2,

BP=-2x+z=0

故m=(1,1,2),

设平面办。的法向量为I=(a,b,c),

因为而=(2,0,1),AD=(0,4，0),

所以收¥=2a+c=0

令a=l,则/?=0,c=-2,

1n•AD=4b=0

故九=(L0,—2),

—>—>

|n-m|_______3_____同

所以|cosOn,n>\=

|n||m|-71+1+4x71+4

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，二面角

的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角

问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

3.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=2,BC=4,△A4C为正三角形，。为AB的中点，AC

±PD,ZPCB=9QQ.

(1)求证：BC_L平面PAC；

(2)求PO与平面PBC所成角的正弦值.

【分析】(1)取AC中点记为0,连OP,0D,证明ACLCO,结合AC,尸。，推出AC

_L面即可得到AC_LO£>,进而得AC_L8C,又8CLLPC,可证8C_L平面B4C.

(2)说明OA,0P,0。两两垂直，建立如图空间直角坐标系，求出面B4B法向量利用

空间向量的数量积，求解直线与平面所成角即可.

【解答】解：(1)证明：取AC中点记为0,连OP,OD,

,JOD//CB,AC±CB,：.ACLCD

XV/1C10D,ACLOP,POHOD^O,

.,.AC±ffiPOD,C.ACLOD,

：.AC±BC,

,：ZPCB=9Q°.所以8cLpC,

又PCnAC=C,PCu平面办C,ACu平面出C,

所以BC_L平面PAC.

(2)由(1)知BC_L平面B4C,5LBC//0D,

所以0£>_L平面B4C,所以OOJ_OP,

以。为原点，OA,OD,0P为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,V3),D(0,2,0),C(-1,0,0),8(-1,4,0)

所以而=(-1,4,-V3),PC=(-1,0,-V3),

设平面PBC的一个法向量为蔡=(x,y,z),

所以收回二。，所以「"+41-超=。，

3•PC=0I-V3z=0

号z=痘,贝！ly=0,x--3,

所以平现PBC的一个法向量为%=(-3,0,V3),

又访=(0,2,-V3)

设与平面P8C所成角为0,

sin0=||=品=答，

y/21

：.PD与平面P8C所成角的正弦值为七.

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查

转化思想以及计算能力，是中档题.

4.如图，直线/：y=fcv+6与抛物线7=4），相交于不同的两点A（xi，yi）、B（短，”），且

向-X2|=/z（〃为定值），线段AB的中点为。，与直线/平行的抛物线/=4），的切线的切

点为C.

（1）用晨6表示出点C、点。的坐标，并证明C。垂直于x轴；

（2）求△A8C的面积（只与〃有关，与&、b无关）；

（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC,再作与AC、BC平行

的切线，切点分别为E、F,小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直

线/与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由.

【分析】（1）直线/：y=kx+b代入抛物线7=4»求出。的坐标，设切线方程为y=Ax+m,

代入抛物线方程，求出C的坐标，即可证明结论；

（2）利用韦达定理，表示出三角形面积，即可得出结论；

>3［九3

（3）分别求出ai—S^ABC=a2=S/\ACE+S^BCl-4,^,按上面构造三角形的方法，

无限的进行下去，即可得出结论.

【解答】解：（1）由直线/：与抛物线/=4y,

得/-4kx-4/7=0,

..x\+xz—Ak,x\x2--4b

:.点D（2k,2必+b）•••（2分）

设切线方程为y=kx+m,

代入抛物线方程可得?-4fcc-4m=0,

得△=4p42+16，〃=0,

m=P,切点的横坐标为兼，得C⑵,F）,

由于C、。的横坐标相同，...CO垂直于x轴.

(2)•.♦/?=设2—.|2=162+16方,:.b=11;6k,

1h3

S^ABC=^CD\\X2-刈=32，

•・.△ABC的面积与"/?无关，只与/?有关.

(3)由(1)知CD垂直于x轴，\xc-XA\=\XB-xc\=

/lh3h-

由(2)可得△ACE、△BCF的面积只与万有关，将以研=今中的/?换

[h3h3

可得SMCE=S&BCF=g-32=256*

户1九3”3

记〃1=5初比=右，CL2=S^ACE^S^BCF==-T9—=——y按上面构造三角形的方法，无限

32432128

的进行下去，可以将抛物线C与线段A3所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角

形的面积的和，即数列｛〃”｝的无穷项和，此数列公比为士

4

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的

计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

5.已知抛物线C：/=2py(p>0)上的点P(xo，1)到其焦点产的距离为2.

(1)求抛物线C的方程及点尸的坐标；

(2)过抛物线C上一点Q作圆M：/+(y-3)2=4的两条斜率都存在的切线，分别与

抛物线C交于异于点。的A,8两点.证明：直线AB与圆M相切.

【分析】(1)由抛物线的定义可得p的值，再由抛物线的几何性质，得解；

工2工2工2

(2)设。(为，-),A(%2»-)，B(%3»-)，其中xi#X2Wx3，根据直线QA和。8

444

是圆的两条切线，可推出由和冷是方程(君-4)7+16%IX+80-4君=0的两根，再结合

韦达定理和点到直线的距离公式，即可得证.

【解答】（1）解：由抛物线的定义知，|P川=1+^=2,

.•.抛物线的方程为/=4»焦点尸（0,1）.

（2）证明：由题意知，圆M的圆心M（0,3）,半径丁=2,

设Q（X],二），A（12，~）>B（X3，—）,其中X1WX2WX3，

444

22

/9x二x1

，直线Q4的方程为y-毛=（X-X2），即（xi+x2）x-4y-制尤2=0,

--x92~x:l

•・•直线QA与圆M相切,

%32+12|

整理得(%i—4)%2+16x1X2+80-4%i=0,

2

7(%1+%2)+16

同理可得，(%i-4)xj+16x1X3+80-4%i=0,

，戈2和X3是方程(%i—4)f+16jqx+80-=0的两根,

._16二80—4好

・・X2+X3——衣~—，尔3=

妊—4

又直线AB的方程为（X2+X3）无-4）-33=0,

圆心M(0,3)到直线AB的距离d=/肛％3+12|=

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