2022届广东省名校高考模拟卷 数学试题（一）

2022年高考仿真模拟卷一（广东）

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},4={2,3,4},8={3,4,5},则&A)D8等于()

A.{3,4}B.{5}C.{3,5}D.{4,5}

2.已知函数f（x）=2'-2,则函数y=|/（x）|的图象可能是（）

3.已知正数为y,z满足x2+V+z'l,

A.3C.4D.2(72+1)

ab^O,若/0

4.设/(x)=asin2x+bcos2x其中。，bwR,对一切xeR恒成立,

则以上结论正确的是（）

C.的单调递增区间是我兀+£,而+?（AeZ）

o3

D.存在经过点（。,。）的直线与函数〃力的图象不相交

5.若（1+X+X?）6=%+4工+。212+…+〃[2,2，则出+〃4+〃6+…+〃12等于（）

A.284B.356C.364D.378

6.为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛

围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分

5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题

班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有（）

A.12种B.28种C.20种D.16种

22

7.已知耳，尸2是椭圆C:与+当=1（"＞人＞0）的左右焦点，点M是过原点。且倾斜角为60°的直线

azh2

/与椭圆C的一个交点，且|砥+丽1=1丽-砥］,则椭圆C的离心率为（）

A.gB.2-6

C.百-1D.—

2

8.已知四面体ABC。的每个顶点都在球0（O为球心）的球面上，AABC为等边三角形,

AB=BD=2,A£＞=&，且则二面角A-C。-。的正切值为（）

ARn娓店

・----D•----Ur•----D.-----

3636

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知复数2=三，其中i为虚数单位，则（）

1-1

2

A.|z|=2B.z=2i

C.z的共辗复数为JiD.z的虚部为1

10.如图，正方体ABCO-ASGR的棱长为。，线段8a上有两个动点E,F,且EF=g,

2

B.点A到平面B所的距离为定值

C.三棱锥A-BE尸的体积是正方体ABC。-ABC。体积的，

D.异面直线AE,8E所成的角为定值

11.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西

岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山，某家庭一家三口计划在假期出游，每人选一个地方，

则()

A.恰有2人选一个地方的方法总数为20

B.恰有2人选一个地方的方法总数为60

C.恰有1人选泰山的概率是费

2

D.恰有1人选泰山的概率是不

12.设函数〃司=警"20)4=2.71828…，则()

A.f(x)在上单调递增

B.的最大值为/(?),最小值为

C.方程f(x)=((x>0)有无数个解

D.若/(x)4日恒成立，则%n=l

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设定义域为7?的函数f(x)=］吗］心］,若关于x的方程2［/(x)了+2仪司+1=0有8

个不同的实根，到实数6的取值范围是.

14.已知定义域为"的奇函数/(x)的周期为2,且xe(O,l］时，”外=108产.若函数

2

尸(xQ/W-sin5x在区间1-3,,川(帆©Z且加>-3)上至少有5个零点，则机的最小值为

15.设函数/(x)的定义域为R,/(x)为偶函数，/(x+1)为奇函数，当xe［l,2］时，〃x)=a.2，+b,

若“0)+〃l)=T,则/6)=.

16.在边长为1的等边三角形4%中，〃为线段比上的动点，止_1_48且交4夕于点“。尸〃45

且交立于点F,则已赤+而|的值为；(瓦+而)•(而+皮)的最小值为

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知数列｛《,｝的首项为2,且("吧-=2(〃2-2〃+2).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

[n21

(2)求数歹—的前〃项和S〃.

18.(12分)已知/(%)=%2—,一同，^(x)=cos2x+2asinx+2a-2.

(1)若a=l时，求函数八力的值域.

(2)若g(x)+2W0对恒成立，求实数0的取值范围.

_4O

57r77r

(3)若对任意的占eR,xe—,都有/(xj2g(%),求实数。的取值范围.

2_64_

19.(12分)如图，C是以AB为直径的圆O上异于48的点，平面P4CL平面ABC,

PA=PC=AC=2,3c=4,E,尸分别是PC,/>8的中点，记平面4£户与平面ABC的交线为直

线/.

(1)证明：5。_1_平面抬(?；

(2)直线/是否存在点。，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出4。

的值；若不存在，请说明理由.

22

20.(12分)已知C：£+方=1的上顶点到右顶点的距离为近，离心率为过椭圆左焦点”

作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线，〃的方程为：x=-2a,过点M作ME垂

直于直线机交直线机于点E.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)①求证线段EN必过定点P,并求定点户的坐标.

②点O为坐标原点，求AOEN面积的最大值.

21.(12分)已知函数，(x)=a(x-l)-xlnx(awR).

(1)求函数/(X)的单调区间；

(2)当0<x41时，恒成立，求实数。的取值范围；

*生丁In1In2In”一

(3)设”eN>求证：---1-----1---1----4------.

23n+\4

22.(12分)某地政府为了帮助当地农民提高经济收入，开发了一种新型水果类食品，该食品生

产成本为每件8元.当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐

头厂，每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃,

则销售量为5000件；若气温在［25,30)内，则销售量为3500件；若气温低于25C,则销售量为

2000件.为制定今年9月份的生产计划，统计了前三年9月份的气温数据，得到下表：

气温/℃[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数414362115

以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率.

(1)求今年9月份这种食品一天的销售量1(单位：件)的分布列和均值；

(2)设今年9月份一天销售这种食品的利润为Y(单位：元)，这种食品一天的生产量为〃(单

位：件)，若35004”45000,求Y的均值的最大值及对应的〃的值.

2022年高考数学仿真模拟卷一(广东)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},4={2,3,4},3={3,4,5},则等于()

A.{3,4}B.{5}C.{3,5}D.{455}

答案：B

2.已知函数/*)=2，-2,则函数y=|/(x)|的图象可能是()

1+z

3.已知正数x，y，z满足x?+/+z?=1,则s=^—的最小值为

2xyz

A.3B.3（G+1）c.4

D.2（V2+1）

2

答案：C

4.设/（x）=«sin2x+/?cos2x其中。,bwR,ab包,若〃x）4砥对一切xeR恒成立,

则以上结论正确的是（）

■IT2.TT.

C.“X）的单调递增区间是kn+-,kTi+—（ZeZ）

D.存在经过点（4。）的直线与函数/（x）的图象不相交

答案：A

2622

5.^（1+x+x）=a0+alx+a2x+---+al2x',则生+%+4+…+%等于（）

A.284B.356C.364D.378

答案：C

6.为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛

围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分

5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题

班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有（）

A.12种B.28种C.20种D.16种

答案：C

7.已知尸|,鸟是椭圆C：=+1=l（a>b>0）的左右焦点，点M是过原点。且倾斜角为600的直线

ah

/与椭圆C的一个交点，且|砥+后同=|丽一后同，则椭圆C的离心率为（）

A.gB.2-&

C.6-1D.避

2

答案：C

8.已知四面体ABC。的每个顶点都在球0（。为球心）的球面上，为等边三角形，

AB=BD=2,AD=6，S.AC1BD,则二面角A-C0-O的正切值为（）

A.近B."C.—D.叵

3636

答案：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数2=三，其中i为虚数单位，则（）

1-1

2

A.|z|=2B.z=2i

C.z的共轨复数为l—iD.z的虚部为1

答案：BCD

10.如图，正方体A3Cr>-AB|GR的棱长为。，线段8a上有两个动点E,F,且EF=^a,

2

B.点A到平面的距离为定值

C.三棱锥A-BE尸的体积是正方体ABCO-ABCA体积的，

D.异面直线AE,3E所成的角为定值

答案：ABC

11.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西

岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山，某家庭一家三口计划在假期出游，每人选一个地方，

则()

A.恰有2人选一个地方的方法总数为2()

B.恰有2人选一个地方的方法总数为60

C.恰有1人选泰山的概率是老

I).恰有1人选泰山的概率是:

答案:BC

cir»V

12.设函数〃x)=h(x20),e=2.71828…，则()

A.f(x)在上单调递增

B.〃x)的最大值为最小值为

C.方程/(x)=g(x>0)有无数个解

D.若"恒成立，则%„=1

答案:BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设定义域为"的函数f(x)I若关于x的方程2［/(力了+2妙(x)+l=O有8

个不同的实根，到实数6的取值范围是.

答案：卜|，-回

14.已知定义域为A的奇函数f(x)的周期为2,且xe(O,l］时，/⑴=小产.若函数

2

尸(x)=/(x)-sin、x在区间［-3,㈤(〃?eZ且相>-3)上至少有5个零点，则”，的最小值为

答案：2

15.设函数〃x)的定义域为R,/(x)为偶函数，/(x+1)为奇函数，当xe［l,2］时，〃x)=e2*+。,

若/⑼+/⑴=4则/

答案：4-472

16.在边长为1的等边三角形4勿中，〃为线段宽上的动点，。£，48且交儿?于点《。尸〃43

且交”1于点F,则已赤+而〔的值为；(瓦+而)•(而+皮)的最小值为

71

答案

：1?60

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知数列｛4｝的首项为2,且仅=2(〃2_2〃+2).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列的前〃项和S“.

答案：

(1)数列｛%｝的通项公式为4=(“_.+];

(2)\=2-^.

【分析】

(1)由11上以1=2(〃2一2〃+2)可得(r+1)。向=2[(〃-1)2+1口，结合等比数列的概念和通项公

式可得[伽-1)2+1]%=2",由此求出数列｛%｝的通项公式；(2)由(1)可得5一,=呆，利用错位

相减法求其前〃项和5〃.

(1)

(n24-1/c、

・.,V---上=2(/一2〃+2),

册

，(〃2+1”,用=2[(〃-1)2+1收，

又。=2H0,

•••数列｛15-1)2+1。｝为首项为2,公比为2的等比数列,

•.[(〃-1尸+1口=2",

._2"

•an__2~~~

n-2〃+2

(2)

it1_n2n2-2n+2n-\

由⑴

Tq2nT

.s-+Z+3+..q,

・・n2122232〃-l

n-\277-2

*•-S=------+—+—+•••+

2n2"22232〃T

.11/2-1111

••-3c“-----:----------------7H----7+…+------,

2212”22232“T

n-\\11「八〃-1-n+\

・・Sa月一声+¥+尹+-・+谬=2(1-一声=2y

18.(12分)已知/(x)=f-k一4，(x)=cos2x+2asmx+2a-2.

(1)若。=1时，求函数/(x)的值域.

(2)若g(x)+2W0对恒成立，求实数0的取值范围.

_40

57r77r

(3)若对任意的X1£R,Xe—,都有/G)Ng(z),求实数〃的取值范围.

2_64_

答案：

(1)

(2)卜吗一：

(3)\-111

⑷[4,2_

【分析】

(1)根据题意，分xNl和x<l两种情况讨论求解；

(2)令f=sinx,进而将问题转化为r-2s-(2a+l)20对小；』恒成立，进而分aM-1和

a>-1两种情况讨论求解即可；

(3)由题知有/(X)1nhiNg(x)111ax,令£=疝11万，则有g(f)=-?+2«f+2a-l,te-1,1,

/、[x2-x+a,x>a]1i

/(%)=2，进而分当a<—1时，当一l〈a<—不时，当一时，当时，当

x"+x-a,x<a222

时，四种情况讨论求解即可.

(1)

解：若4=1时，/(X)=X2~|x-l|,

当xNl时，/(x)=x2-x+l,对称轴为x=；,

所以/(X)在区间[1,+8)上单调递增，在x=l处取得最小值/⑴=1,

当X<1时，/(x)=x2+x-l,对称轴为*=-；,

所以〃x)在区间上单调递增，在卜,上单调递减,

故在X=-；处取得最小值=，

所以有d-3)=-:<〃1)=1,

综上所述，“X)的值域为-}+8).

(2)

解：若g(x)+2W。，BPcos2x+2asinx+0，

令t=sinx9故有—广+2at+2a+1W0，

冗、i

即/_2m_(2a+l)20,当xe时，re-,1

根据题意有『-2勿-(2«+1)，。对re恒成立，

由[r—(2a+l)](f+l)，0,令〃⑺=[f-(2a+l)](f+l),

当2a+lW—l,即aM-1时，有〃(。30对fepl恒成立，

当2a+l>-1,即a>-1时,有方(万)20,即万一(2。+1)1(万+1)20解得宜一(

综上所述，实数。的取值范围是1-8,-；,

(3)

57

解：若对任意的XWR,K肛'都有〃N)“(马)，故有f(x)而nNg(x)a，

☆，=sinx,则有8(，)=一产+2必+为-1,te一1,；,

根据题意有/(x)=

x2+x-a,x<a

当时，可知"X)在X=g处取得最小值-；+a,g(r)在f处取得最大值-2,故由

17「7、

-二+a'-2解得。2-二，即。的取值范围为-：，T.

44L4)

当-14a<-J时，可知f(x)在x=；处取得最小值-1+〃，g(f)在，=4处取得最大值：a2+2a-l,

故由--+a^a~+2a-l,可知。的取值范围为T-：］.

4L2J

当时，可知/(x)在x=；处取得最小值-；+*g(/)在r=a处取得最大值4+2"-］,

故由-；+a、/+2a_［得“的取值范围为J,。.

当0<a《时，可知/(x)在x=-g处取得最小值g(。在f=a处取得最大值足+2〃_1,

故由----a》4-+2a-1可知。的取值范围为(0,彳,

4I2」

当时，可知"X)在x=-；处取得最小值：g⑺在f=g处取得最大值：3”：,故

由一1―a>3a—二■可知无解.

44

、「711

综上所述，实数a的取值范围是.

19.(12分)如图，C是以AB为直径的圆0上异于43的点，平面平面ABC,

PA=PC=AC=2,3c=4,E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面43c的交线为直

线/.

(1)证明：

(2)直线/是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AE/、直线E尸所成的角互余？若存在，求出A。

的值；若不存在，请说明理由.

答案：

(1)证明见解析

(2)存在，|4。|=1

【分析】

(1)由面面垂直推出线面垂直；

(2)建立直角坐标系，求出面AEF的法向量正，继而求出cos<丽,戏〉，利用

Icos<PQ,EF>1=1cos<Pg,m>|,故可知直线/上存在点。，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所

成的角互余，进而求解.

(1)

证明：F分别是PB,PC的中点,

:.BC//EF,又EFu平面EFA,BC不包含于面EE4,

.•.3C〃面EE4,又8Cu面ABC,面EE4c面ABC=/

又3c_LAC,面尸AC("|面ABC=AC，面厚(7_1面48。，

.•.a7_1面抬(7,…面2/^

(2)

以C为坐标原点，C4为x轴，CB为y轴，过C垂直于面A8C的直线为z轴，建立空间直角坐标

系，4(2,0,0),5(0,4,0),P(1,0,⑨，屋,0,4吗,2,当，

/.AE=(-1,0,y^),丽=(0,2,0),

设。(2,儿0),而AEF的法向量为正=(x,y,z),则，独,玩得玩=(以),扬，

EFfn=2y=0

且AQ=(l,y,-石)，

—*—»2VIvI—«1—31

ICOS<PQ,EF>1=1,''|=JI、,|cos<PQ,m>|=|,~|=.,

25+:j4+y：2〃+—74+/'

依题意，得Icos<所,正>|=|cos(柜所>|,即丫=±1.

.,•直线/上存在点2,使直线PQ分别与平面用'、直线"所成的角互余，MOO.

22

20.(12分)已知C：*•+方=1的上顶点到右顶点的距离为近，离心率为义，过椭圆左焦点"

作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线〃?的方程为：x=-2«,过点M作ME垂

直于直线机交直线机于点E.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)①求证线段EN必过定点P,并求定点户的坐标.

②点o为坐标原点，求“aw面积的最大值.

答案:(1)三+亡=1；(2)①证明见解析，定点尸卜',。］；②

43V2J4

【分析】

(1)根据椭圆的几何性质和离心率，列出方程组，即可求出”,以从而得出椭圆C的标准方程；

(2)①根据椭圆的对称性可知尸必在x轴上，尸(-1,0),可设直线MN方程：x=my-\,联立直

线和椭圆的方程组并写出韦达定理，从而得出-2机H%=3(乂+必)，求出直线硒的方程，令y=0,

即可求出线段EN所过的定点户的坐标；

②由①可知加-必卜啸：，根据三角形的面积得出唔?，利用

15f15

换元法，令/=府有，得出“°次=赤7=0，最后利用基本不等式求和的最小值，

't

从而得出AOEN面积的最大值.

解：

\la2+b2="

解：(1)由题可知：J-=l,所以a=2,b=y/3,

a2

a2=b2+c2

故椭圆的标准方程为工+f=1;

43

(2)①由题意知，由对称性知，尸必在x轴上，F(-l,0),

设直线MN方程：x=my-l,

设NgM，E(-4,yJ,

x=my-1

联立方程得,f2,得(3〃/+4)/一6相＞一9=0,

—+—=1

43

m6〃7-9

所以X+=q2＞，

3/n+43m+4

所以-2町%=3(%+%)，又％=七%

所以直线硒方程为：＞一必=上?*+4),

工2+4

令y=0,则x--型上一_胆心生

%一月必一乂

y2f

所以直线硒过定点

②由①中A=144(/+i)>o,所以加wR,又易知加一切=11也：

所以Sa=3。即%-%卜*•口的"=wy+i,

△阳12182143m2+43m2+4

15r15

令t=M西，tNl，则“。硒一铲看一京1，

t

f⑺一15

又因为J在[1,位)单调递减，

，十一

t

所以f=1,[SQOENL=1•

21.(12分)己知函数/(x)=a(x-l)-xlnx(awR).

(1)求函数〃x)的单调区间；

(2)当0<x41时，〃幻40恒成立，求实数。的取值范围；

In1In2Innn(n-\)

(3)设>求证：---1-----(■•••■!----W------.

23n+14

答案：

(1)增区间为(O，e"T),减区间为(—+0。)

(2)a<\

(3)证明见解析

【分析】

(1)利用导数求得〃x)的单调区间.

(2)结合“X)的单调性以及/⑴=0来求得〃的取值范围.

(3)结合(2)的结论得到里■《二，由等差数列的前"项和公式证得不等式成立.

n+\2

(1)

〃X)的定义域为(0,+8),/(x)=a—(l+lnx)=—lnx+a—1,

令一lnx+a-1=0,解得x=e，T.

所以f(x)在区间(0,e"T)J(x)>0J(x)递增；在区间(/,*»)J(x)<0J(x)递减,

所以/(x)的增区间为(0,),减区间为(e"T,+oo).

(2)

"1)=()，

由(1)知：〃司在(011)上递增，在上递减,

所以-

当a=l,O<xW1时，f^=x-\-x\nx<O,x-x]nx<],

令x=*N*),则,和卜1步+为〃41,

ci/21Inn-l

2\nn<n^-I,-----<------,

〃+12

InIIn2inn^,0I77-11+2+・・・+〃-1n(n-i)

所crK以I--4-----------!-•••+-------<1—+…+