人教a版（2019）必修第一册《3.3幂函数》2023年同步练习卷（含解析）

人教A版（2019）必修第一册《3.3幂函数》2023年同步练习卷一、选择题1．下列结论中，正确的是（）A．幂函数的图象都通过点（0，0），（1，1） B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xa在定义域上是增函数 D．当幂指数α＝﹣1时，幂函数y＝xa在定义域上是减函数2．下列幂函数在区间（0，+∞）内单调递减的是（）A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x﹣13．设函数f（x）＝x5，则f（x）是（）A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数也是偶函数4．已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（4）的值为（）A．16 B． C． D．25．已知m＝（a2+3）﹣1（a≠0），n＝3﹣1，则（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m与n的大小不确定二、填空题6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）是幂函数，且图象过点，则f（x）在R上的解析式为．7．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，2），则这个函数解析式为．三、解答题8．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（9，3）．（1）试求出此函数的解析式；（2）判断此函数的奇偶性并证明．9．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）（）3与（）3；（2）（﹣）﹣1与（﹣）﹣1．10．把下列各数按由小到大的顺序排列：，，，．11．若＜，求实数a的取值范围．12．点（2，4）在幂函数f（x）的图象上，点（2，）在幂函数g（x）的图象上，那么求当x为何值时，有：（1）f（x）＞g（x）；（2）f（x）＝g（x）；（3）f（x）＜g（x）．13．已知点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（2，）在幂函数g（x）的图象上．（1）求出幂函数f（x）及g（x）的解析式；（2）在同一坐标系中画出f（x）及g（x）的图象；（3）观察（2）中的图象，写出当f（x）＞g（x）时，x的取值范围（不用说明理由）14．若点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（﹣2，）在幂函数g（x）的图象上，定义函数h（x）＝，你能求出函数h（x）的最大值和单调递减区间吗？15．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）（﹣1.5）3，（﹣1.4）3；（2），．

人教A版（2019）必修第一册《3.3幂函数》2023年同步练习卷参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】根据幂函数的图象和性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论．【解答】解：幂函数的图象都通过点（1，1），但a≤0时不经过（0，0）点，故A错误；幂函数的图象不会出现在第四象限，故B错误；当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xa在定义域上是增函数，故C正确；当幂指数α＝﹣1时，幂函数y＝xa在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但在定义域上不是减函数，故D错误；故选：C．2．【分析】由题意利用幂函数的单调性，得出结论．【解答】解：函数y＝x在区间（0，+∞）内单调递增，故排除A；函数y＝x2在区间（0，+∞）内单调递增，故排除B；函数y＝x3在区间（0，+∞）内单调递增，故排除C；函数y＝x﹣1＝在区间（0，+∞）内单调递减，故D满足题意，故选：D．3．【分析】先写出函数的定义域，再计算f（﹣x），并与f（x）进行比较，得解．【解答】解：函数的定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）5＝﹣x5＝﹣f（x），是奇函数．故选：A．4．【分析】设幂函数f（x）＝xa，由幂函数f（x）过点，列出关于a的方程，求解即可得到f（x）的解析式，再将x＝4代入，即可求得答案．【解答】解：设幂函数f（x）＝xa，∵幂函数f（x）的图象经过点，∴＝2a，即2a＝，∴a＝，故f（x）＝，∴f（4）＝＝．故选：C．5．【分析】由幂函数y＝x﹣1在（0，+∞）上是减函数判断两个数的大小即可．【解答】解：∵幂函数y＝x﹣1在（0，+∞）上是减函数，又∵a2+3＞3（a≠0），∴（a2+3）﹣1＜3﹣1，即m＜n，故选：B．二、填空题6．【分析】由题意设当x＞0时，f（x）＝xα（α是常数），把点代入解析式求出α的值，即可求出x＞0时的解析式，设x＜0则﹣x＞0，利用奇函数的性质求出x＜0、x＝0时的解析式，利用分段函数表示出来．【解答】解：由题意设当x＞0时，f（x）＝xα（α是常数），因为当x＞0时，图象过点，所以f（3）＝3α＝，解得，则当x＞0时，f（x）＝，设x＜0，则﹣x＞0，即f（x）＝，因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）＝，且x＝0时，f（0）＝0，所以，故答案为：．7．【分析】设出幂函数f（x）＝xn，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式．【解答】解：设幂函数为y＝xn，因为幂函数图象过点（2，2），所以2n＝2，解得n＝1，所以幂函数的解析式为y＝x．故答案为：y＝x．三、解答题8．【分析】（1）由题意，利用待定系数法求幂函数的解析式（2）根据函数的定义进行奇偶性的判断和证明．【解答】解：（1）根据幂函数y＝f（x）＝xα的图象过点（9，3），可得9α＝3，∴α＝，故f（x）＝＝．（2）根据f（x）＝的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数．9．【分析】（1）根据幂函数y＝x3的单调性，得解；（2）根据幂函数y＝x﹣1在（﹣∞，0）上的单调性，得解．【解答】解：（1）因为y＝x3单调递增，且＞，所以（）3＞（）3；（2）因为y＝x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减，且﹣＜﹣，所以（﹣）﹣1＞（﹣）﹣1．10．【分析】根据幂函数y＝在（0，+∞）上单调递增判断1＜＜，再化简＝，判断0＜＜1，＜0，即可得出结论．【解答】解：根据幂函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且1＜＜2，所以1＜＜；又因为＝＜1，所以0＜＜1；又＜0，所以＜＜＜．11．【分析】根据已知条件，结合幂函数的性质，即可求解．【解答】解：y＝f（x）＝在[0，+∞）上单调递增，∵＜，∴3a﹣2＞a+1≥0，解得a，故实数a的取值范围为（，+∞）．12．【分析】求函数f（x），g（x）的解析式，由于已知两函数是幂函数，故可用待定系数法设出两函数的解析式，代入点的坐标求出函数的解析式．由于两个函数在第一象限一个是减函数一个是增函数，故可令两者相等，解出它们的交点坐标，再由函数的单调性得出f（x）＜g（x）的解集，对于f（x）＞g（x）同样可以利用图象法求解．【解答】解：设f（x）＝xα，由点（2，4）在幂函数f（x）的图象上，2α＝4，∴α＝2，则f（x）＝x2，同理得g（x）＝x﹣1，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如图所示：观察图象可得：（1）x＜0，x＞1时，f（x）＞g（x），（2）x＝1时，f（x）＝g（x），（3）0＜x＜1时，f（x）＜g（x）．13．【分析】（1）分别设f（x）＝xα，g（x）＝xβ，代值计算即可，（2）画图，（3）由图象可得答案．【解答】解：（1）设f（x）＝xα，g（x）＝xβ，∵点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（2，）∴2＝，＝2β，解得α＝2，β＝﹣1，∴f（x）＝x2，g（x）＝，（2）图象如图所示（3）由图象可知当f（x）＞g（x）时，x＜0或x＞1．14．【分析】由待定系数法分别求得f（x），g（x）的解析式，由新定义可得h（x）的解析式和图象，由图象可得最大值和递减区间．【解答】解：由点（，2）在幂函数f（x）的图象上，可设f（x）＝xm（m为有理数），则（）m＝2，解得m＝2，即有f（x）＝x2；点（﹣2，）在幂函数g（x）的图象上，可设g（x）＝xn（n为有理数），则（﹣2）n＝，解得n＝﹣2，即有g（x）＝x﹣2．由h（x）的定义可得h（x）＝，h（x）的图象如右图：则h（x）的最大值为1，单调递减区间为（﹣1，0），（1，+∞）．15．【分析】（1