2022届全国新高考Ⅱ卷仿真模拟数学试卷（四）（解析版）

2022年全国新高考仿真模拟试卷（四）

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

2-i

1.许二（)

13.c13.〃13.

A.---------1B.---------1C.---1--iD.

222222

13.

—+—1

22

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用复数的四则运算求解即可.

r建硒2-i2-i(2-i)(l-i)l-3i13.

【角】i(l-i)1+i(l+i)(l-i)---------1.

222

故选：B.

2.已知集合A={x|2x2+5x<0},B<4},则()

A.中>-|B.{目-2<%<0}C.{x|x>-2}D.

x--<x<-2>

2

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合4、B,再去求AU8即可

【详解】4={同2炉+5%<0}=<%--<x<oL

2

8=vx4<4>=>-2},

5

则Au8=<x--<x<0Xx>——

22

故选：A.

3.已知尸（1,7）是角。的终边上一点,则sin（万-2a）=（）

24

D.

25

【答案】C

【解析】

【分析】由三角函数定义及诱导公式及正弦二倍角公式计算即可.

【详解】p（l,7）是角a的终边上一点，由三角函数定义可得

.7711

sina-/=―,cosa-/=—,

庐方5&辰尹5行

所以sin(〃-2a)=sin2a=2sinacosa=2x/x%=得

故选：C.

4.若a,beR,则“@〉r’是"a>/’的（）

b

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充

分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】利用不等式的性质去判断与"a>夕'之间的逻辑关系即可解决.

b

【详解】若@>1,当〃>0时，a>b,当8vO时，a<b\

b

又当a>0>0时，两边除以从得@>1,当且b<0时，两边除以4得巴<1.

bb

故，，@〉1”是>夕，的既不充分也不必要条件.

b

故选：D

101

5.已知2"=3，/>=|log210,c=2,则。，b,c的大小关系为（）

A.h>c>aB.h>a>cC.c>b>aD.

c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】利用指对互化以及指对函数的性质进行比较即可.

【详解】由a=log23Vb=k）g2VHivlog2^^=2，c>21=2»可得

故选：C.

6.直线/：3x+4y-l=0被圆C：/+y2-2x-4y-4=0所截得的弦长为（）

A.275B.4C.2V3D.2V2

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.

【详解】由题意圆心。（1,2）,圆C的半径为3,

故C到/：3x+4y-]=0的距离为=2,

7+42

故所求弦长为2打-22=2石•

故选：A.

7.在如图所示的圆锥中，底面直径为4g，母线长为4,点C是底面直径A3所对弧的中

点，点。是母线的中点，则异面直线与CO所成角的余弦值为（）

1V3V24

A_RD,lcx.，Dn.

2425

【答案】B

【解析】

【分析】设底面圆心为O,连接PO,OC,取尸O的中点£连接。E,CE,可得NCDE

为AB与CO所成的角（或其补角）.在△CDE中求解即可.

【详解】设底面圆心为O,连接尸0,0C,取尸0的中点E,连接。E,CE,则

DE//AB，

且DE=M，所以NCDE为A8与C。所成的角（或其补角）.

由题意知OB=2X/5，PB=4,所以P0=2,所以CE=JOE?=拒.

由题意知OCLAB,OC±PO,AB^PO^O,AB,POu平面POB,

所以OC_L平面POB.又OCu平面POC,所以平面POC±平面POB,

又平面POCCl平面POB=PO,DEu平面POB且。£_LPO,

所以。E_L平面尸OC,因为CEu平面POC,

所以OE_LCE.又。£==所以CD=ylDE2+CE2=4,

所以cosNCDE=^-.

4

故选:B.

8.将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A、B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的

摆放种数为()

A.360B.480C.600D.720

【答案】B

【解析】

【分析】对C花卉的位置进行分类讨论即可解决.

【详解】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，

①当C在位置1时，不同的摆法有A；=120种；

②当C在位置2时，不同的摆法有C；A：=72种；

③当C在位置3时，不同的摆法有人；人；+人；人；=48种；

由对称性知C在4、5、6位置时摆放的种数和C在3、2、1时相同，

故摆放种数有,2x(120+72+48)=480.

故选：B

□2|3|4|5

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地

铁站点随机抽取1000名市民对该项目进行评分，统计发现评分均在[40,100]内，把评分

分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组,并绘制成频率

分布直方图(如图所示).则下列判断正确的是()

A.图中a的值为0.025B.该次满意度评分的平均分为85

C.该次满意度评分的众数为85D.大约有34%的市民满意度评分在

[60,80)内

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图即可求出所求数据.

【详解】由频率分布直方图知0.035+0.020+0.014+0.004+0.002=0.075,由

10x(0.075+a)=1得。=0.025，故A正确；

因为45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7,所以满意

度的平均分为80.7,故B错误；

由频率分布图可知众数估计为85,故C正确；

(0.014+0.020)x10=0.34,由样本估计总体可以认为约有34%的市民评分在[60,80)

内，故D正确.

故答案为：ACD.

10.已知函数/(x)=sinx(cosx-sinx),则下列说法正确的是()

A.函数“X)的最小正周期为2〃B./(x)的最大值为造1

c.的图像关于直线x=—J对称D.将“X)的图像向右平移!个单

88

位长度，再向上平移3个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数

【答案】BD

【解析】

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，然后利用正弦函数的性质以及图

像变换对各个选项进行判断即可.

【详解】

△sin2x-E2=2/lsin(2x+4-L

f(x)=sinx(cosx-sinx)sinxcosx-sin2x

222I2

,故/(x)的最小正周期为7=等=万，最大值为当二1,故A错误，B正确;

对称轴方程为2x+f=A左+£,keZ,即％=■+工，keZ,当x=—工时，k不为

42288

整数，故C错误；

对于选项D,将/(力的图像向右平移J个单位长度后得到

O

V2.吟乃］1逝.01

y=sin2xH————=——sm2x——,

2LI8j4J222

然后将此图像向上平移3个单位长度，

得到函数g(x)=*sin2x的图像，g(x)是一个奇函数，故D正确.

故选：BD.

11.已知定义在R上的函数/(力满足〃x)+/'(x)>0,则下列式子成立的是()

A.f(2021)<ef(2022)B.f(2021)>ef(2022)

C./(x)是R上的增函数D.Vt>0,则

【答案】AD

【解析】

【分析】构造函数^=6、/(可，由已知可得函数单调递增，即可判断选项ABD,举特例

可判断选项C.

【详解】由/(耳+,/(力>(),得e"(x)+e"，(x)>0,即［e"(x)］'>0，

所以函数、=0"(刈为R上的增函数，故02°2上(2021)<62。22〃2022),

所以/(2021)<0(2022),故A正确，B不正确;

函数e"(x)为增函数时，/(x)不一定为增函数，如/(x)=?,显然e"(x)是增函

数，但/(x)是减函数，所以C不正确；

因为函数e"(x)为增函数，所以/>0时,有e"(x)<*7'(x+r),故有

/(x)<eV(x+。成立，所以D正确.

故选：AD.

22

y

12.已知双曲线C:==l(a>Z?>0)的左，右顶点分别为A，4，点P,Q是双曲

a~

线。上关于原点对称的两点(异于顶点)，直线24，的斜率分别为左明，

3

kpA]，若kpzkpA、=z，则下列说法正确的是()

A.双曲线C的渐近线方程为y=?'xB.双曲线C的离心率为立

42

C.原为定值D.tan/AP4的取值范围为

(0,+8)

【答案】BCD

【解析】

【分析】求得双曲线C的渐近线方程判断选项A；求得双曲线C的离心率判断选项B；化

简心A・卜。%后再判断选项C；求得tanZ^FA的取值范围判断选项D.

(2、

【详解】设P(x,y),则y2=〃*一1,因为4(—a,o),4(a,0),

7

及__]

故”.k____y_/=I/J),

'A%2x+Q%_Q%2_Q212_〃2Q2

依题意有1=2,所以2=3,

a24a2

所以双曲线C的渐近线方程为>=±2尤=±^x,

a2

离心率e=」£12=Jl+C=E,故选项A错误，选项B正确；

Va22a22

因为点P，。关于原点对称，所以四边形4P4Q为平行四边形，即有阳©=阳/，

3

所以以。.以°=阳右以「="故C正确；

3

设PR的倾斜角为a,PA,的倾斜角为夕，由题意可得tana-tanp=—，

4

则幺叫=心一"，根据对称性不妨设尸在x轴上方，则b>a,则幺尸&=£—。，

/、

,/i4(门\tan£-tana4/,\4,3

则tanZAfd=-------N=G\kpA,_kfpJ=jk—,

PAy2

1+tan(7-tanp7'飞"714kPAJ

cA

因为尸在X轴上方，则幻A>3或—<0,

•22”-

函数/(x)=上单调递增,

所以tanZAj%G（0,+oo）,故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知非零向量5满足同=2忖，且（1+6），伍一33，则向量〃，方夹角的余弦

值为.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.

【详解】由题意得

他+孙（@-35）=同--2万.5-3忖=4忖-2«-&-31^|=忖-lab=0,所以

万石=/1,

故答案为：一

4

14.已知/（X）为R上单调递增的奇函数，在数列｛%｝中，4=20,对任意正整数"，

/（4用）+/（3-4）=0,则数列｛4｝的前n项和S,,的最大值为.

【答案】77

【解析】

【分析】先由题给条件判定数列｛q｝为等差数列，进而求得数列｛«,｝通项公式，利用

数列｛4｝的单调性即可求得其前〃项和S”的最大值.

【详解】因为〃4+J+〃3—a“）=0,且“X）为R上的奇函数，所以

）=/（«„-3）.

又/(x)在R上单调递增，所以《川=4-3,即。用一。“=一3,

所以｛。“｝为等差数列，且公差为-3,首项为20,

所以为=23-3”，所以q>4>…>%>。>。8>为>…，

7x6

所以S7最大，且S7=7x20+型x(—3)=77.

故答案为：77

15.己知抛物线C：f=20(2>0)的焦点为F,过F的直线交C于点4,B,交C的准

线于点E,若乔=而，忸耳=2,则P=.

【答案】3

【解析】

【分析】过A,8分别作准线的垂线，垂足分别为M,N,然后利用抛物线的定义进行求解

即可.

【详解】过A,8分别作准线的垂线，垂足分别为M,N,准线与y轴的交点为G,

则|A月=|40|,忸同=忸川.因为乔=两，

所以庐尸|=|AM|=；|4E],所以NA£M=30。，

所以|£同=2忸N|=4,所以FG|=g|Er|=gx6=3,

即〃=3.

故答案为：3

£NIGM

16.如图，在三棱锥A-3CD中，AD=CD=2,AB=BC=AC=242<平面

AC£>_L平面ABC,则三棱锥A-BCD的体积为,其外接球的表面积为

D

【_答案】①.竺2A上/6##—<6②.一32万##——32"

3333

【解析】

【分析】取AC的中点E,连接OE,BE,在BE上取一点。，使得3O=2EO,证明

6E1平面ACQ,利用棱锥体积公式求解即可；计算。。=亚，可知。为三棱锥

—3

A-BCD外接球的球心，从而得到半径及表面积.

【详解】如图，取4c的中点E,连接。区BE,在BE上取一点0,使得5O=2EO,

由A0=C£>=2,AC=2叵,所以AZ^+CO?=AC?,所以AZ>，CD,

所以Z)E=4E=CE=V5，BE=娓,80=城，£0=—.

33

因为E为AC的中点，所以BE_LAC，又平面ACDL平面ABC,

且平面ACO0平面ABC=AC,BEu平面ACB,所以班：！平面AC£>,

所以匕

BCD=%ACD=-x—x2x2x76=-^^-，

A-IS\^.U15-32”3

又Z)Eu平面AC£>,所以BELDE，所以OO=.(2『+(逅］=2®,

VJI3J3

所以。为三棱锥A-BCD外接球的球心，所以三棱锥A-BCD外接球的半径为2v5,

3

则三棱锥A-3c。的外接球的表面积为4万x2=丝》.

I3J3

故答案为：还;”

33

D\

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.已知数列z间）满足4=1,…晨，为〃为奇偶数数，.

⑴令d=见“，求仿,仇及也｝的通项公式；

（2）求数列｛4｝的前2〃项和S2”.

1

【答案】⑴仇=1,」=2,bn=2"-

n+1

（2）S2„=2-2

【解析】

【分析】（1）利用题给条件即可求得4，d的值；先由递推关系判定数列也,｝为等比数

列，进而求得数列也｝的通项公式；

（2）分别求得数列｛”“｝的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，利用分组求和的方法

即可求得数列｛%｝的前2〃项和S2ll.

【小问1详解】

由题意得。2=。］=1，%=2ao=2,%=%=2,/=2%=4,=%=4,

4=%=1,b2=a4=2,4=4=4,

当〃22时，bn=a2n=/“-I=2a2n-2=2%」,

又仄=1,所以也｝是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a=2〃T.

【小问2详解】

由（1）知。2〃=2"，所以。2,1=%〃=2""，

所以S2n=----出八一］+a2n=（々I+々3----）+（&2+。4--------出"）

1_yni_

=(1+2+4+…+2”T)+(1+2+4+…+2'i)=-^—+——=2'向一2.

'1-21-2

18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,且

b(^a-b+c)(sinA4-sin3+sinC)=6S.

(1)求角8的大小；

(2)若〃=Z?+1,c=b-2,求cosA,cosC的值.

兀

【答案】（1）-

3

（2）1,U

714

【解析】

【分析】（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;

（2）由余弦定理计算即可.

【小问1详解】

由S=；a/?sinC,又8（。一人+c）（sinA+sinB+sinC）=3a〃sinC,

由。＞0,则（a—b+c）（sinA+sinB+sinC）=3asinC.

由正弦定理得（a-匕+c）（a+匕+c）=3ac,

所以a?+c?-人之-ac-

由余弦定理得cosB=Y+i"

2ac2ac2

TT

因为0<B<〃，所以8=—.

3

【小问2详解】

因为/〃=ac，a—b+1,c-b—2,

所以(人+1)2+(Z?-2)2-b2=(/?+l)(Z?-2),

解得。=7,所以a=8,c=5.

/+°2_。272+52-821

所以cosA=

2bc-76-7

cosC=^±^82+72-5211

2ab11214

19.经过全国上下的共同努力，我国的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些国家的疫情

并没有得到有效控制，疫情防控形势仍然比较严峻，为扎紧疫情防控的篱笆，提高疫情防

控意识，某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参

与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）情况如下

表：

得分[30,40](40,50](50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

频数2515020025022510050

（1）若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设〃，。分别为抽

取的1000名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求〃，G

的值；（结果保留整数）

（2）在（1）的条件下，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超

过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽

32

到10元红包的概率为巨，抽到20元红包的概率为已知胡老师是这次活动中的参与者，

估算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.（结果保留整数）

参考数据：P（〃一b<X<//+b）=0.6826；P（"-2b<X«/7+2（T）=0.954；

PQ/-3b<XW〃+3b）=0.9974,而a1.449.

【答案】（1）65,14

（2）16（元）

【解析】

【分析】（1）利用平均数和标准差公式直接计算即可.

（2）先计算胡老师抽奖次数的期望，然后计算一次抽奖获得红包金额的期望，从而得到在

此次活动中所获得红包的数学期望.

【小问1详解】

35x25+45x150+55x200+65x250+75x225+85x100+95x50y

u---------------------------------------------------------------------------------------=65，

1000

2

cr=p—［（35—65）2x25+（45-65）2x150+（55—65J2x200+（65-65）\250+（75-65）\225

+（85-65）2xl00+（95-35）2x501=210,

所以b*14.

【小问2详解】

设随机变量N表示胡老师的抽奖次数，则N的可能取值为1,2.

尸（N=2）=尸（X>79）=士答型a（）.1587,

p（2V=1）=P（X<79）»0.8413,

其分布列为

N12

P0.84130.1587

所以E（N）=1x0.8413+2x0.1587=1.1587.

设随机变量T为胡老师一次抽奖获得的红包金额，则T的可能取值为10,20,

由题意知P（T=10）=M，P（T=20）=y,

所以随机变量7的分布列为

T1020

32

P

5

32

£（T）=10x1+20x-=14.

所以胡老师此次活动所获得红包的数学期望为1.1587x14=16.2218al6（元）.

20.如图，在长方体ABCD-ABGR中，AB=2BC=2A4,,尸为4片的中点.

（1）证明：

（2）求二面角P—5G—A的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）逅

9

【解析】

【分析】（1）由向量法结合判定证明即可；

（2）由向量法得出面角P-的正弦值.

【小问1详解】

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示

设AB=2BC=2M=2,则A（1,0,0）,B（1,2,0）,C（0,2,0）,。（0,0,0）

A（LO,1），4（1，2,1）,G（0,2,1）,D}（0,0,1）,

•••DP=(1,1,1),BP=(0,-1,1),Bq=(-1,0,1)

丽•丽=—1+1=0,而•居=T+l=0

BP工DP,DP工BC]

又BPcBq=8,OP_L平面BPG

【小问2详解】

由(1)可知，平面BPG的法向量为方=(1,LD

设平面AfG的法向量为为=(x,y,z),A月=(o,2,—1)

n-A^B=02y—z=0

=><令z=2,可得法二(2」,2)

n-BC[=0—x+z=0

n-DP2+1+2_573

-

\n\\DP\73x799

故二面角P-BC.-A,的正弦值为

V

21.已知函数/(x)=；x2-ox+sinx-(x-a)cosx(aeR).

(1)讨论函数/(x)的单调性:

(2)当0Wa4■时，证明：/(X)N0.(注a：1.414,y/6~2.449)

【答案】⑴函数/(x)在(-8,a)上单调递减，在(a,Ts)上单调递增

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，分别讨论x>“和x<。，利用函数导数研究函数的单调性

即可；

(2)由⑴知，“X)在x="处取得最小值，要证〃x)20,即证ae0,言时,

2

/(x)>/(-r)rajn=f(a)--^a+sina>0,构造函数g(a)=-；，/+sina,证明g(a)在

ae0,且上大于等于0即可.

【小问1详解】

由题意得，函数/(x)的定义域为R,

则/'(x)=x-a+cosx+(x-Q)sinx-cosx=(x-〃)(l+sinx),

•jsinxe[-1,1],.-.l+sinx>0.

当x<a时，r(x”()，所以/(x)在(f,a)上单调递减；

当x>a时,/(x)>0,所以/(x)在(a,一)上单调递增；

综上所述：函数/(x)在(―,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

小问2详解】

由(1)知，/(x)在x=a处取得唯一极小值，即最小值，所以

/(x)>/(«)=-^«2-a2+sina=-$2+sina,

S77

欲证当04a4五时，/(x)>0,

57ri

印证当0Wa<——时，=/(。)=——/4-sin«>0,

122

令g(Q)=-；〃2+sin。，ae,

5兀

则g'(Q)=-〃+cosa,又令〃(〃)=81〃)=-〃+85〃，aG。，泊,

则〃(a)=-l-sinaWO恒成立，所以〃(a)在0,—上单调递减，

畀>—<0,即〃(。)后上。，

•••存在唯一«oe(0，向使得〃(。)=0恒成立，

当0<a<4时，〃(。)>0,即g'(a)>0,所以g(a)(0,4)上单调递增;

5K

当％时，/?(a)<0,即g'(a)<0,所以g(a上单调递减;

12

所以g(a)的最小值在a=0或处取得，又因为g(0)=(),

571兀71-25兀2&五

x+sin—+—------1

72l总46288-----4

72x(指+&)-25兀272x(2.449+1.414)-25x3.14x3.14_278.136-246.49

Q—>0

288288288

所以g(")min=g(°)=°，

S771

即当0<Q<——时，/(x)>/(«)=——a2+sina>0,

122

故当O«aWm57r时，/(x)>0.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，常用到以下两个结论:

(D/(x)2a恒成立2a；

⑵恒成立=/(x)24a；

Yy2

22.已知椭圆C:j+=1(〃>/?>0)离心率为椭圆c的左、右顶点分别为A,