2022届新高考数学精准冲刺复习导数与函数单调性及极值最值

2022届新高考数学精准冲刺复习

导数与函数单调性及极值最值

【教学目标】

本节内容目标层级是否掌握

★★★★☆☆

利用导数研究函数单调性

★★★★☆☆

利用导数研究函数极值、最值

一、利用导数研究函数单调性

【知识点】

1.定义：在①力)内可导函数/(龙)，/(无)在3,历任意子区间内都不恒等于0.尸(九)》()=/(%)在

(。,与上为增函数.7'(x)«0o/(x)在(。/)上为减函数.

注：Q)/'U)>0(<0)是/(%)在区间(a,份内单调递增(减)的充分不必要条件.

(2)f\x)20(W0)是/(x)在区间(a,与内单调递增(减)的必要不充分条件.

(3)由/(幻在区间(a,勿内单调递增(减)可得f\x)20(<0)在该区间内恒成立，而不是尸(x)〉0

(<0)恒成立，"="不能少，必要时还需对"="进行检验.

(4)若所求函数的单调区间不止T,这些区间之间不能用并集"U"及"或"连接,只能用"，""和"

字隔开.

【例题讲解】★☆☆例题1.设尸(x)是函数/(x)的导函数，y=/(x)的图象如图所示，贝廿=〃力的图

y

i

答案：c

解析：由图可知：当尤＜0时，0,函数“X）单调递增，

当0＜x＜2时，尸（力＜0，函数/（x）单调递减，

当x＞2时，当力＞0,函数〃力单调递增,

符合以上条件的只有C.

★☆☆练习1.如果函数V="X）的图像如图，那么导函数＞=/'（X）的图像可能是（）

ABCD

答案：A

解析：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正-负-正-负，故选A.

★☆☆练习2.已知y=r（可是函数y=〃x）的导数，将y=〃x）和），=尸（另的图象画在同一个直角坐标

系中，不可能正确的是()

答案：D

解析：不可能正确的是D

因为把上面的作为函数；在最右边单调递增，其导数应为大于0，但是其导函数的值小于0,故不正确；

同样把下面的作为函数，在最右边单调递减，其导数应为小于0，但是其导函数的值大于0,故D不正确.

★☆☆例题2.定义在R上的可导函数/(x)，已知y=ef'{x}的图象如图所示，则y=/(x)的增区间是()

A.(-00,1)B.(-00,2)C.(0,1)D.(1,2)

答案：B

解析：由题意如图/(》)>0的区间是(10,2)

故函数y=/(x)的增区间(-8,2),故选B.

★☆☆练习1.(2018乌鲁木齐二模)函数〃x)与它的导函数广(”的图象如图所示，则函数&(力=9的

单调递减区间为()

C.(*

D.(0,1),(4,+co)

答案：D

解析：综合图象：》€(0，1)和%£(4,«»)时，r(x)—/(力<0,

而g，(x)=r(x)/(x),

故g(x)在(0,1),(4，+8)递减

故选D.

★☆☆练习2.函数“x)=(f-2x)e'的图像大致是()

答案：A

解析：函数的定义域为R,r(x)=(x2-2)e>

令((X)=0,(X2_2)/=0,(x2-2)^=0,

解得X=及或x=-近I

所以函数“X)在(Y,-闾和(在时上单调递增。图象上升，函数“X)在(拒,©上单调递减，图象下降,

又结合函数解析式可知函数的图象经过原点，因此满足题意的图象是选项A的图象.

【题型知识点总结】

1.利用导函数图像研究原函数性质：只要关注导函数的正负和零点即可；同时注意/'(%)=0，但/两侧

./"(X)正负恒定，则在拓附近，原函数是单调唯一的.牢记导函数的正负对应的是原函数的增减.

☆例题3.已知函数/(x)=xbu,则f(x)()

A.在(0,+8)上单调递增B.在(0,+8)上单调递减

C.在1°，5上单调递增D.在(o，j上单调递减

答案：D

解析：因为函数/(x)=x/〃x的定义域为((),+8),

所以r(x)=/nx+l(x>()),

当广(龙)〉0时，解得,

e

即函数/(尤)的单调递增区间为(j+s］；

当/'(无)<0时，解得()<尤<,，

e

即函数/(X)的单调递减区间为,故选D.

★☆☆练习1.若幕函数/(尤)的图象过点三弓，则函数g(x)=e"(x)的单调递减区间为.

答案：(-2,0)

解析：设幕函数/(x)=V,因为图象过点［号,5］，

所以==学，。=2，

2I2J

所以/(%)=%2,故g(x)=e%2,

则g'(x)=e"2+=ex(x2+2x),

令g<x)<0,得一2cx<0,

故函数g(x)的单调递减区间为(-2,0).

☆练习2.(2018•开封调研)已知定义在区间(一心乃)上的函数/(x)=Mhx+cosx,则/(x)的单调递

增区间是______.

答案:「肛-2和O

解析：/'(X)=sinx+xcosx-sinx=xcosx.

令/'(x)=xcosx>°(x£(一万，万))，

471

解彳导一万<%<—一pg0<x<-,

22

即函数f(x)的单调递增区间是卜办一'J和1°，fJ•

★☆☆例题4.(2018•全国卷I节选)已知函数f(x)=--x+a\nx,讨论/(%)的单调性.

X

答案：略

解析：/(力的定义域为(0,+oo),

.1,ax2-ax+1

/3=--7-1+-=------—.

xxx

①当aW2时，则/'(x)W(),

当且仅当。=2,x=l时，/'(x)=0,

所以/(x)在(0,+/)上单调递减.

②当。＞2时，令/'(x)=0,

a-\la2-4a+\Ja2-4

得x=---------或x=---------.

22

所以小)在[伫F][”半三小卜调递减，在(m三,叶^上单调递增.

综合①②可知，当时，/(%)在(0,+8)上单调递减；当。>2时，/(%)在

。，伫"正三,+oo]上单调递减，在卜二，a+上单调递增.

2222

\/\7\/

★☆☆练习1.(2018凌源市模拟)已知函数〃x)=xe'.讨论函数8(力=4(尤)+/的单调性;

答案：略

解析：：g(x)=^e'+e',.,.g'(x)=(以+a+l)e",

当a=O时，g'(x)=e*,g'(x)>0在R上恒成立，故g(x)单调递增；

当a>0时，g(x)在(e,一宁口递减，单调递增；

当。<0时，g(x)在［9,一?)递增，(—一,”］单调递减.

综上所述，当。=0时，g")单调递增；当。>0时，g(x)在(TO,-拶，递减，单调递

增；当4<0时，g(x)在(9,一四］递增，(一"L+8］单调递减

Ia)VaJ

★☆☆练习2.(2018河南一模)已知：〃x)=(2—x)e'+a(x—l)2(aeR)，讨论函数/(x)的单调区间.

答案：略

解析：/*(x)=(1-x)ex+2a(x-1)=(x-l)(2a-ex)

当。40时，函数在(-8,1)上递增，在(1,+8)上递减

当0〈“苦时，函数在(—1n2a),。，+8)上递减，在(ln2a,l)上递增；

当寸，函数在(-8,1),(In2a,+8)上递减，在(l,ln2a)上递增；

当“二与时，函数在R上递减

综上所述，当aWO时，函数在(-8,1)上递增，在(1，+8)上递减

当0<“苦时，函数在(f，卜2〃)，(1，+8)上递减，在(ln2“,l)上递增；

当"W时，函数在(F，1),(ln2a,+8)上递减，在(l,ln24)上递增；

当a时，函数在R上递减.

★★☆例题5.已知函数P(x)=W,q(x)=gx2-(l+2a)x.讨论函数/(x)=g(x)+2or.p(x)的单调性.

答案：略

解析：由已知得"x)=q(x)+a(x).p(x)=g⑪2-(l+/)x+mnx,

・・•/(%)的定义域为(0，+8),

则广(X)叩-(1+叫+/=3一)一〃)

①当a«0时，x-a＞0,-＞0,«x-l＜0，所以f'（x）＜0,

X

所以函数/（x）在（0，+8）上单调递减；

②当。＞0时，令/'（力=。得》=,或X=a,

a

⑴当:=a（a＞0）时，即a=l时，尸（力=3以0（》＞0）,

所以函数〃x）在（。，+8）上单调递增；

（ii）当0＜：＜a时，即”＞1时，在（0,j和（。，+8）上函数/（司＞0,在f上尸（x）＜0,

所以函数在［o，：J单调递增，在上单调递减，在（。，+8）上单调递增；

（市）当0＜〃＜：时，即0＜。＜1时，在（0,“）和（：,+«）］上函数/（司＞0,在上ra）＜（）,

所以函数在（0，。）上单调递增，在［31上单调递减，在\，内）上单调递增

综上所述，当aW0时，/⑺在（。，+8）上单调递减；当a＞1时，函数在!一）单调递增，在2，"上单

调递减，在（。，+8）上单调递增；当0＜。＜1时，函数在（0M）上单调递增，在］，£|上单调递减，在心，〜）

上单调递增.

★★☆练习1.已知函数/（x）=lnx-奴+?-1（as/?）.当°4时，讨论/（x）的单调性.

答案：略

1—Z7

解析：因为/（x）=lnx-奴+一^--1

2

Cr-.xid,/\161-1ax-x+1—a/\

f\x）=--a+—r=----------------,XG（0,+OO）,

令/2（%）=加-x+l-4Z,xe（0,-i-oo）

(1)当1=0时，/Z(X)=-X+1,XG(0,+OO)

所以当xe(o,l)时，/z(x)X),此时/'(亦0,函数/(X)单调递减

当xw(l,xo)时，A(.r)<0,止匕时/'(x)X),函数/(x)单调递增

(2)当"0时，由/(力=0,

即--x+1-a=0,解得％=1,占=—1

a

①当时，%=々，〃(月20恒成立，此时/'("&0，函数/(x)在(0,〜)单调递减

②当0<4<」时,1-1>1>0,

2a

X€(0,l)时,〃(6X),此时r(x)O,函数“X)单调递减

时，〃(x)vo,此时/'(X闫),函数/(X)单调递增

xe卜⑴时，咐)>°，此时/'(汴°，函数〃x)单调递减

③当。<0时，由于』-1<0,

a

xe(O,l)时，/7(x)>0,此时/'(x)<0,函数/(x)单调递减

x«l,+oo)时,〃(x)V0,此时/'(工户),函数〃x)单调递增

综上所述：

当aW0时，函数“X)在(。，1)上单调递减，在(1,内)时，函数〃x)单调递增;

当a=g时，函数/(x)在(。，及)单调递减；

当0<。<:时，函数xe(O,l)时，函数单调递减，时，函数”X)单调递增，时,

函数单调递减.

【题型知识点总结】

1.因为导函数不等式解集对应函数的单调区间，故求解单调性的问题实际就转化为了导函数不等式解集的

问题；而不等式的解集只要明确了相应式子的单调性、零点和定义域，就可以得到解集，具体操作为

(1)导函数单调唯一：明确增减；求根；确定导函数零点与定义域的关系；画图解不等式

(2)导函数单调不唯一：明确增减性；确定根的的个数；讨论两根大小；与定义域比大小；画图解不等式

★☆☆例题6.已知函数f+"x*0,常数。eR)若函数在xe[2,+oo)上是单调递增的，求”的

取值范围.

答案：a<16

解析：由题设，/'(%)=又函数/(x)在》目2,茁)上是增函数

.­.f'(x)=2x-^>0在上恒成立，即在X«2,M)上恒成立，

因为2丁216,故aK16.

★☆☆练习1.若函数/(幻=无一/由2%+4411%在(-00,+00)单调递增，则a的取值范围是_______

答案：

解析：函数./'(为=》一：5泊2工+。5也》在(一8,用)单调递增，等价于

f'(x)=l--cos2x+acosx=--cos2x+acosx+->O：0E(-oo,-i-oo),tHfi£iZ.设cosx=r,则

333

45

g⑴=一1+〃+00

4.5

g«)=-7+W+产在[-1川恒成立，所以.…43汨

g(-1)=_§_〃+§20

★☆☆练习2.若函数〃x)=21nx+x2-5x+c在区间的加+1)上为递减函数，则，〃的取值范围是______

答案：；，1

2

解析：,函数/(x)=21nx+x2-5x+c,/'(x)=—+2%—5,

X

,2

—+2/w-5<0

<m=>—</n<1

22•

-----+2(/?z+l)-5<0

、加+1

1,

★☆☆例题7.(1潜函数/z(x)=Inx-］ar-2x(。。0)在［1,4］上单调递减，则”的取值范围为

答案：一77，°］U(0,+8)

,16)

解析：因为/?(%)=In2x(a*0)在［1,4］上单调递减，

2

所以当xe［l,4］时，力(幻=」一火一2W0恒成立，即恒成立.

XXX

令G(无)=一■—,

x'X

所以aNG(x)max,而G(x)=(g-1)-1,

因为xe［l,4］,所以!,

x|_4_

7

所以G(x)=—二(此时x=4),

1mx16

7

所以〃之一丁，又因为awO,

16

所以a的取值范围是j0,o］u(O,+8).

,16)

(2)(变条件)若本例Q)条件变为"函数”⑴在［1,4］上存在单调递减区间”，则a的取值范围为

答案：(-1,0)U(0,-KX>)

解析：因为〃(力在0,4］上存在单调递减区间,

所以〃(尤)<0在［1,4］上有解,

12

所以当xe［l,4］时，«>-y一一有解，

XX

(I2、

而当xe［l,4］时，二一一=一1(此时x=l),

〈厂x人而

所以。>一1,又因为。了0,

所以。的取值范围是(-l,0)U(0,+s).

(3)(变条件)若本例Q)条件变为"函数/z(x)在［1,4］上不单调"，则a的取值范围为

解析：因为〃(x)在［1,4］上不单调，

12(I、2

所以"(力=0在(1,4)上有解，即。=4一*=L—1一1在(1,4)上有解,

127

vm(x)=———，XG(1,4)，贝！］一1<m(X)<---.

xx16

所以实数a的取值范围是1-1,-总.

★☆☆练习1.已知函数/(%)=---2?+lnx(a>0),若函数f(x)在［1,2］上为单调函数，则a的取值范

a

围是_______­

答案：j^0,|U［i,+8)

31

解析:f\x)=-4x+-,

ax

若函数/(幻在［1,2］上为单调函数,

3131

即/度)=二—4x+—20或1")==—4x+—W0在［1,2］上恒成立，

axax

3131

即1241一一或二W4x——在［1,2］上恒成立.

axax

令h(x)=4x--,

x

则/z(x)在［1,2］上单调递增，

33

所以一2以2)或一(以1),

aa

3153

即一2一或一W3,又a>0,

ala

所以0<若或心1.

★☆☆练习2.已知函数/%)=皿2+111工-2》在定义域内不是单调函数，则实数机的取值范围.

答案：。，£)

._\c12mx~-2x+1八

A解Tn析：f{x]=2mx+--2x=----------,x>0,

XX

设/i(x)=2tnx2-2x+1

(1)机<0时，MH图像为开口向下的抛物线,对称轴为，<0,，/?(x)<0在定义域内恒成立，

tn

•••/'(X)<0恒成立，f(X)在定义域内时是单调函数，故不符合题意

(2)%=0时，h(x)=-2x+\,〃(x)=。解得x=g

；•在时/?(x)>0，在xe(；,+8)时，/?(%)<0，即xe(0,；)寸/'(x)>0，在kw(g,+ocj时，

/'(x)<°,〃x)在定义域内不是单调函数，符合题意

(3)〃?〉0时，图像为开口向上的抛物线，对称轴5>。，使"x)在定义域内不单调，只需使〃(“<0,

在定义域上有解，即A=4—8加>0,解得〃，

综上所述，时/(x)在定义域内不单调.

【题型知识点总结】

解决函数单调性的问题可以转化为导函数不等式的相关问题：

当函数单调性确定时增减时，可以转化为导函数不等式的恒成立；

当函数单调时，除了可以转化为>0或<0恒成立的问题，还可以转化为定义域内无零点的问题；

当函数不单调时，可以转化为导函数不等式存在有解的问题，或者导函数定义域内存在零点(不包括边界);

具体的步骤为：

①求导；

②将原函数单调性问题转化为导函数不等式的恒成立或者存在问题；

③通过求解导函数的最值或者参变分离求最值，解决恒成立.

二、利用导数研究函数极值、最值

【知识点】

1.定义：

(1)极大值：一般地，设函数/(X)在点附近有定义，如果对飞附近的所有的点，都有/(X)</(%),

就说/(修)是函数/(X)的一个极大值，记作/(X)的极大值=M)，%是极大值点；

(2)极小值：T殳地，设函数/(x)在/附近有定义，如果对毛附近的所有的点，都有了(%)>/Uo)就

说/(%)是函数/(X)的一个极小值，记作/(X)的极小值=/(玉),X。是极小值点；

(3)判别/(七)是极大、极小值的方法：

1)若/满足/'(%)=0,且在％的两侧/(x)的导数异号，则/是/(x)的极值点，/(%)是极值；

2)如果尸(x)在/两侧满足"左正右负"，则/是/(x)的极大值点，/'(%)是极大值；

3)如果尸(x)在/两侧满足"左负右正"，则/是/(x)的极小值点，/(%)是极小值.

注：

a)f\x0)=()是与为/(x)的极值点的必要不充分条件.例如，/(x)=/,/(0)=0,但尤=0不是极值

点.

b)极值点不是点，若函数/(X)在x,处取得极大值，则%,为极大值点，极大值为/(%)；在々处取得极

小值，则%为极小值点，极小值为了(马).极大值与极小值之间无确定的大小关系.

c)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.

2.最值的定义：

(1)在闭区间［a,以上连续的函数/(x)在句上必有最大值与最小值；

(2)在开区间(。/)内连续的函数/(%)不一定有最大值与最小；

(3)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是匕匕较极值点附近函数值得出的；

(4)函数/(x)在闭区间口力］上连续，是/(x)在闭区间［a,可上有最大值与最小值的充分条件而非必要

条件；

(5)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.

注：

a)若函数/(%)在开区间(a,b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值.

b)极值只能在定义域内取得(不包括端点),最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的

也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取.

3.零点的判断方法

(1)首先确定相应函数/(“定义域：

(2)单调函数零点判断：

定义域(。⑼上对端点函数值正负进行判断，若〃。)・/伍)〉0，则无零点；若/(。)・/。)<0,

则必有一个零点.

(3)不单调函数定义与端点为0的二次型函数，实际就是零点与0比大小，用韦达定理：

'△>0

若,玉+々>0,则两根均为正；

x{x2>0

A>0

若<玉+々,则两根均为负；

x{x2>0

A>0

若„,则两根一正一负

x,x2<()

(4)不单调函数定义域端点不为零的二次型函数，采用二次零点分布的通法，即讨论开口方向、△、对

称轴、定义域端点函数值的正负.

【例题讲解】★☆☆例题1.下列结论中正确的是()

A.导数为零的点一定是极值点

B.如果在/附近的左侧;(x)X),右侧r(x)<0,那么/(毛)是极大值

c.如果在X。附近的左侧r（x）〉O,右侧/'（x）＜0,那么〃x°）是极小值

D.如果在修附近的左侧r（x）＜o,右侧r（x）＞o,那么“X。）是极大值

答案：B

解析：导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点故A错

如果在X。附近的左侧/'（x）X）,右侧r（x）＜0,则函数先增后减,则/（七）是极大值

如果在与附近的左侧ra）＜o,右侧r（x）＞o,则函数先减后增，则/（不）是极小值

★☆☆练习1.若函数/依）=加+&?+◎；+”有极值，则导函数广⑶的图象不可能是（）

答案：D

解析：若函数/（"=加+加+以+"有极值，即“X）有极值点，

则须r（x）有零点，且/'（"在零点左右两侧异号.

由图象可知选项D中，r（x）=O，但当,》＞小时都有/（刈＞0.

★☆☆练习2.（2018沈阳一模）设函数/（力=比'+1,则（）

A.x=l为/（x）的极大值点B.x=l为/（x）的极小值点

C.x=-l为“X）的极大值点D.》=-1为/（£）的极小值点

答案：D

解析:由于〃x）=xe'+l,可得r（x）=（x+l”,,

令r（x）=（x+l）e*=O可得x=—l,

令/'（司=（万+1僻＞0可得》＞一1,即函数在（T田）上是增函数;

令r（x）=（x+l）e'＜0可得》＜一1,即函数在（7,-1）上是减函数

所以x=-l为“X）的极小值点.

★☆☆例题2.已知函数f{x}=x-l+4(aeR,e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值.

e

答案：略

解析：由/(x)=x—1+3,得/(x)=l-=.

ee

①当aK0时，0,f(x)为(-8,内)上的增函数，所以函数/(尤)无极值.

②当a>0时，令/(x)=0,

得e*=a，即x=Ina,

当xe(-co,Ina)时,f'(x)<0;

当尤e(/〃a,+oo)时，f'(x)>0,

所以函数/(x)在上单调递减，在(Ina,+oo)上单调递增，故函数f(x)Kx=lna处取得极小值且

极小值为/(Ina)=Ina,无极大值.

综上，当aK0时，函数/(x)无极值；

当a>0时，函数/W在x=Ina处取得极小值Ina,无极大值.

练习1.已知函数/小)=。"一3/+2,g(x)=-3ax+3,xeR,其中a>0.

求函数〃x)在区间(-1,1)上的极值.

答案：略

解析：f'(x)=3«2X2-6«X=3ar(<2x-2)=0,

2

因为aX),所以演=0,%=一.

a

2

(1)当0〈一<1，即a>2时，

a

列表讨论广(x)与/'(X)的变化情况：

2

X(-1,0)0(0-1)

a

/'(X)+0—0+

/(-V)极大值极小值T

所以当x=0时，〃x)取得极大值"0)=2,

当时，F(x)取得极小值=2-3.

ayaJa

(2)当L1时，即0<«W2时，列表讨论了'(X)和/'(X)的变化情况：

【题型知识点总结】

求函数y=/(x)的极值的方法：

第一步：确定函数定义域

第二步：求导数广(可

第三步：求方程((x)=。的根

第四步：检查尸(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么“X)在这个根处取得极大值；如果左

负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值

★★☆例题3.设函数/(x)=/〃(》+1)+〃，一幻，其中aeR.讨论函数/(x)极值点的个数，并说明理由.

答案：略

AT,._.「,/、1z_.、2av?+QX—a+1.

解析：f(X)=——-+a(2x-l)=---------------(x>-l).

x+1x+1

vg(x)=2ax2+ax-«+l,xe(-l,+oo).

①当a=0时，g(x)=1,f'(x)〉0,函数f(x)在(-1,+a>)上单调递增,无极值点.

②当a>0时，A=a~—8a(l—a)=a(9a—8).

Q

当0<。(大时，△W0,g(x)20，r(x)20,

9

函数/(x)在(T,+8)上单调递增，无极值点.

8

9-

设方程20r2+ax-a+l=O的两根为外,々(为<Z)，

因为无।+工2=—二I所以与<一'7,*2>一~71

24■4

由g(T)=l〉0，可得"

所以当XG(-1,西)时，g(X)〉0,/'(X)>0,函数/(X)单调递增；

当XG(%,/)时，g(x)<0,f'(x)<(),函数/(尤)单调递减；

当xe(W，+oo)时,g(x)>0,fr(x)>0,函数f(x)单调递增.

因此函数/(X)有两个极值点.

③当。<0时，A>0,由g(-l)=l〉o,可得玉<一1〈%.

当xe(-l，W)时，g(x)>0,fr(x)>0,函数/(x)单调递增；

当X€(%,+8)时,g(x)<0,f'(x)<(),函数/(X)单调递减.

所以函数/(X)有一个极值点.

Q

综上所述，当“<0时，函数/(X)有f极值点；当0<aw§时，函数/(X)无极值点;

Q

当a>§时，函数f(x)有两个极值点.

★★☆练习1.已知函数/(幻=In：-奴?+》,讨论函数/(x)的极值点的个数.

2x

答案：略

解析:由/(x)=ln-^--ar2+x=-ln2x-a¥2+x,得

2x

『、1_-2ax~+x—1/八,、

f(x)=----2QX+1=------------,xe(0,+oo)

xx

⑴当a=0时,f\x)=—,

X

XG(0,l),/,U)<0,XG(1,+8),f\x)>0,

所以当X=1,7（九）取极小值，/（x）有一个极小值.

（ii）a<0时，A=l-8a>0，令>'（龙）=0，得

玉=匕正电,々=匕正迎，显然％>0,为<0,

4a-4a

：.xe（0,%））,f'（%）<0,xe（x,,+oo）,f'（x）>0,

/。）在》=M取极小值，/（x）有一个极小值.

（iii）a>0时，A=l-8a<0,即时，f\x）<Q,

8

/（x）在（0,+8）是减函数，/1）无极值点.

（iv）0<。,时，A=1—8々>0，令/'（%）=0,得

8

l-Jl—8a1+\/1—8a

xL—r-'Z

4a

当尤G（0,X］）和XG（苍,+00）时,f\X）<0,当XG（XpX2）时,/'（x）>（）,

fM在X=X1取极小值，在X=々取极大值，所以/（X）有两个极值点.

综上所述,（i）当a40时，/（无）仅有一个极值点；（ii）当。时，/（X）无极值点；当。<。时，/⑴

88

有两个极值点.

★☆☆例题4.（2018・北凝考）设函数/。）=［依2一（4。+i）x+4。+3］/.

Q）若曲线），=/（尤）在点（1J⑴）处的切线与x轴平行，求a；

⑵若/（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围.

答案：（l）a=l；（2）fp+coj

(1)因为f(x)=[ax2-(4a+l)x+4a+3]e",

所以/'(x)=3?-(2a+Dx+2]e]

所以/'⑴=(l—a)e,

由题设知/'⑴=0,即(l—a)e=o，解得a=l.

此时/⑴=3eo0.

所以。的值为1.

(2)由(1)得广(幻=[办2-(2。+1»+2]/=(仆一1)。一2)/,

若a>；，贝11当时，/V)<0,

当xe(2,+8)时，/'*)〉0,

所以/(%)在x=2处取得极小值.

^a<-,贝II当xe(0,2)时，x-2<0,ax-l<-x-l<0,

22

所以ra)>o.

所以2不是/(X)的极小值点.

综上可知，a的取值范围是(g，+3)•

★☆☆练习1.函数/(x)=d-加一反+〃在x=l处有极值10,则点3。)为()

A.(3,-3)B.R/1)C.(3,-3)或(Y』l)D.祐在

答案：B

解析：对函数/(x)求导得/'(力=3/一2如-8，

又・•・x=l时有极值10,

f(l)=l-a-b-a2=l0,/'(1)=3—2a—8=0,

解得a=-4,Z?=ll或。=3,b=-3

验证知，当。=3,h=-3时，在％=1无极值.

★☆☆练习2.设awR，若函数y=x+alnx在区间(J)有极值点，则”取值范围为()

D.(-°o,-e)U(-：,+°o

A.B.C.一°°,一U®+8)

答案：B

解析：函数丫=/(x)=x+alnx在区间有极值点=y'=0在区间有零点.

r(x)=l+?=^^(x>0),.../(1)r(e)<0，,(；+a)(e+—)<0,

解得-e<”..所以“取值范围为[一自一：).

★☆☆练习3.已知函数=f-a(x-Inx).若〃力在(0,1)内有极值，试求。的取值范围.

答案：[r+°°]

解析：若/(X)在。1)内有极值，贝！ir(x)=0在xe(0，l)内有解，

令/(%)=0,ex-ax=0,a-—,

设屋x)=W,xw(0，l),贝!]/(切=以炉,

当xe(0,l)时，g'(x)<0恒成立，

g(x)单调递减，又g(l)=e,

又当Xf0时，g(x)-8，即g(x)在。1)上的值域为(e,+8),

所以当&>e时，_f(x)=0,

设”(x)=e'-ax，则=e*-a,xe(0,l),

所以”(x)在XW(0,l)单调递减，

由“(0)=1>0,〃⑴=e-a<0,

所以"(0)=0,在xe(0,l),有唯一解天,

X(。，%)%(短)

“(X)+0-

-0+

〃X)I极小值T

所以当">e时，/(x)在(0,1)内有极值且唯一，当a时，若xe(0,D，则广(力2。恒成立，.f("单

调递增，不成立，综上，。的取值范围为(e，+8).

m

☆例题5.已知函数g(x)=\nx-nvc+—存在两个极值点看,9，求机的取值范围.

x

答案:(*)

1)1

解析：因为g(x)=lnx-〃ir+—,

x

uu、i，/、]m2-X+m,c、

所以g'(x)=——m--7=------5-----(x>0)，

XXX

令〃(x)=〃a2-x+m,要使g(x)存在两个极值点X]，W,则方程〃储-X+加=()有两个不相等的正数根

X|,X2-

/z(0)>0

故只需满足—>0,解得0<〃2<二.

2m2

h<0

所以利的取值范围为

★★殳练习1.(2019-青岛一模)已知函数/(x)=x—，+|/+1,。《1,6=2.718...为自然对数的底数.

(1)当a<0时，证明：函数/(尤)只有一个零点；

(2)若函数/(%)存在两个不同的极值点玉，求实数”的取值范围.

答案：(1)略(2)«£(0,1)

解析：(1)由题意：f\x)^-ex+ax,

令g(元)=1-6”+QX,屋(工)二4一",

当aW0,g'(x)<0,所以/'(尤)在(-oo,+oo)上单调递减；

又因为/'(())=0,所以/(九)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

所以/(x)</(0)=0,故函数/(%)只有一个零点.

(2)由(1)可知：当aKO不合题意，

当0<a<l时，因为XG(-oo,lna),g'(x)>0;xe(lna,+oo),g'(x)<0；

又因为/'(0)=0，所以尸(Ina)>0；

1-1

又因为/'(——)=-ea<0,

a

设函数Ma)=lna+，,(p\d)=---=<0,ae(0,1),

aaa~a

所以夕(a)>P⑴=1>。，即—2<lna,所以存在芯e(--,ln«),满足尸(%)=0,

aa

所以xG(-oo,%),广(x)<0;xG(%1,0),/'(%)>0;xe(0,+oo),/'(x)<0,

此时，/(力存在两个极值点玉，。，符合题意.

当a=I时，因为xe(-oo,0),g'(x)>0;xe(0,+oo),g'(x)<0；

所以g(x)Wg(0)=0,即/'(%)W0,所以/(x)在(-8,+oo)上单调递减，无极值点，不符合题意；

综上可得:0<«<1,

InX

★☆☆例题6.已知函数/(x)=-----1.

x

⑴求函数/(X)的单调区间；

⑵设m>0,求函数/(%)在区间［m,2m］上的最大值.

答案：略

解析：(1)因为函数/XX)的定义域为(。,+8),且尸(幻=上坐，

x~

，

"尸(x)>0'曰n.f/U)<O/B

由<，指：0<1<6,由《彳导x>e.

x>0x>0

所以函数/(X)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+8).

2mWep

(2)①当二，即0<加工7时，函数/(x)在区间［九2网上单调递增，

m>02

所以人初海=/(2刈=电磬一1

2m

②当，"e<2m，即］〈加<e时，函数/(x)在区间(m,e)上单调递增，在(e,2m)上单调递减,

所以/(x)mx=/(e)=叱一1='一1；

ee

③当加之e时，函数f(x)在区间［〃z,2m］上单调递减，

Inm

所以/(X)皿=/(用)=——1.

m

综上所述，当0<加］时，/(幻侬=112产T；

22m

e1

当G<m<e时,，(尤),皿=一1；

2e

Inm

当胴时，/(x)x=一一L

1mm

★☆☆练习1.(2018•全国卷I)已知函数/(x)=25nx+s，〃2x,则/。)的最小值是.

〜3百

答案：---

2

解析：/(x)=2cosx4-2cos2x=Icosx+l(2cos2x-1)

=2(2COS2X+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).

•「cosx+l>0,

当cosX<g时，f'(x)<(),/(x)单调递减；

当COSX>g时，f\x)>0,/U)单调递增.

.,.当cosx=：,/(x)有最小值.

又/(x)=2sinx+sin2x=2sinx(l+cosx),

.•.当sinx=-g时