专题35第7章圆之与直径有关的辅助线备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）【有答案】

35第7章圆之与直径有关的辅助线一、单选题1．如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，弦CD交AB于点E，若，则tan∠B的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图（见解析），连接OC，过O作于E，过D作于F，先根据垂径定理得到，设，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得DF、EF的长，从而可得BF的长，最后根据正切三角函数的定义即可得．【详解】如图，连接OC，过O作于E，过D作于F∵∴设，则∴∵AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点∴在和中，，即解得或（不符题意，舍去）∵∴∴，即解得则在中，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．二、填空题2．如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠BCD＝22.5°，AB＝2cm，则圆O的半径为______．【答案】【分析】连接OB，根据垂径定理以及勾股定理即可求出OB的长度．【详解】如图，连接OB，∵OC＝OB，∠BCD＝22.5°，∴∠EOB＝45°，∵AB⊥CD，CD是直径，AB=2，∴EB＝AB＝1，∴OE＝EB＝1，∴OB＝=，故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理及三角形外角性质，垂直弦的直径平分弦，并且平分弦这条弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键．3．如图，已知是的直径，是的弦，过点作的切线，与的延长线交于点作交直线于点．若则______________．【答案】【分析】连接BC，求得BC=5，证明△ABC∽△EAB，根据相似性质即可求出BE.【详解】解：如图，连接．在中，根据勾股定理，得是直径，．是的切线，即，故答案为：【点睛】（1）见直径，想半径或想圆周角为直角；（2）见切线想做过切点的直径，构造直角；（3）求线段的长度在几何图形中一般选择勾股定理、相似、或三角函数来求解.4．如图所示，中，，，，分别在射线，上移动，且，则点到点的距离的最大值为__.【答案】.【解析】【分析】过，，三点作，作直径连结，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同弧所对的圆周角相等得出，从而确定的直径即可【详解】如图所示，过，，三点作，作直径连结，∵，∴，∵在中，，∴在，弦的最大值等于直径∴到点的距离的最大值为【点睛】本题考查了圆周角的性质定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股、勾股定理等知识点，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键5．用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，已知长方形的长比宽多am，则正方形面积与长方形面积的差为______.（用含a的代数式表示）【答案】【分析】设出长方形的长和正方形的长,设出铁丝的长度,用l表示面积做差即可得出.【详解】设长方形的长为x，结合题意可知宽为x-a，设铁丝的长度为l，建立方程,解得,则长方形的面积为而正方形的面积为,所以面积差为故答案为a2【点睛】本题考查了长方形面积计算公式，正方形面积计算公式，运用多项式做差是解题的关键.6．如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.【答案】.【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值【详解】连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．

根据垂径定理，得到BE=∴CH=OE+OF=3+4=7，

BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，

在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，

则PA+PC的最小值为7．【点睛】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．7．如图，已知中，，，以为直径作，交于点，在上取点使，交于点，已知，则__________．【答案】【分析】连接CE，EF，BF，过F作FG⊥AC于点G，设，则，利用求出的值，利用求出和的值，利用求出的值，进而求出，从而得出结论．【详解】解：连接CE，∵BC是直径，∴CE⊥BA，又∵，∴设，则，∵，∴，，∴，连接EF，∵四边形BCFE是圆内接四边形，∴，，∴∴，即：解得：，∴，连接BF，过F作FG⊥AC于点G，∵BC是直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题属于圆的综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形、相似、勾股定理、直角三角形，三角函数等知识点．在解题过程中，要灵活应用，尤其是辅助线的构造，是解决本题的关键．三、解答题8．如图所示，是锐角三角形的外接圆的半径，于点，求证：.【答案】见解析.【解析】【分析】作直径，则，分别位于和中，根据等角的补角相等即可得证.【详解】延长交于，连结∵是直径∴∵于点∴又在中∴.【点睛】本题考查了圆周角的性质定理，经常利用直径构造直角，来推理证明圆中角度问题.9．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，DB⊥AB于B，点C是弧AB上的任一点，过点C作⊙O的切线交BD于点E．连接OE交⊙O于F．（1）求证：AD∥OE；（2）填空：连接OC、CF，①当DB＝时，四边形OCEB是正方形；②当DB＝时，四边形OACF是菱形．【答案】（1）见解析；（2）①4，②BD＝4．【分析】（1）连接OC、BC，由AB为⊙O的直径，DB⊥AB于B，推出DB是⊙O的切线，进而证明OE⊥BC，AC⊥BC，即可得出结论；（2）①若四边形OCEB是正方形，CE＝BE＝OB＝OC＝AB＝2，由（1）可证，得到DE＝BE＝2，BD＝BE+DE＝4即可求出；②若四边形OACF是菱形，则OA＝AC，又OA＝OC，于是△OAC为等边三角形，∠A＝60°，在Rt△ABD中，由tanA＝，即可求得BD．【详解】（1）证明：连接OC、BC，如图1，∵AB为⊙O的直径，DB⊥AB于B，∴DB是⊙O的切线，∵CE与⊙O相切于点C，∴BE＝CE，∴点E在BC的垂直平分线上，∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上，∴OE⊥BC，∵∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∴AD∥OE；（2）如图2，①若四边形OCEB是正方形，AB＝4，∴CE＝BE＝OB＝OC＝AB＝2，∵OE∥AC，∴，∴DE＝BE＝2，∴BD＝BE+DE＝4，故答案为：4；②若四边形OACF是菱形，∴CO平分∠ACF，CF∥OA，∴∠ACO＝∠FCO＝∠AOC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝∠AOC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠ABD＝90°，∴Rt△ABD中，tanA＝，∴BD＝4，故答案为：4；【点睛】本题是圆综合题，正方形的性质，菱形的性质，以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆的相关性质以及菱形和正方形的性质是解题的关键．10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）设AD交⊙O于E，，ACD的面积为6，求BD的长．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质，角平分线的定义得到∠DAC＝∠OCA，证明OC//AD，根据平行线的性质得到∠OCE＝∠ADC＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）设AC＝5x，CD＝3x，根据勾股定理得到AD＝4x，根据三角形的面积得到AD＝4，CD＝3，AC＝5，连接BC，根据相似三角形的性质得到AB＝，连接BE交OC于F，由垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，得到EF＝CD＝3，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC//AD，∴∠OCE＝∠ADC＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵＝，∴设AC＝5x，CD＝3x，∴AD＝4x，∵ACD的面积为6，∴AD•CD＝＝6，∴x＝1（负值舍去），∴AD＝4，CD＝3，AC＝5，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠CAB，∴ADC∽ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝，∵∠DAC＝∠CAB，∴，连接BE交OC于F，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠DEB＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝3，∴BE＝6，∴AE＝＝，∴DE＝4﹣＝，∴BD＝＝．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠BAC=30°，点D是弦AC上的一点．（1）若OD⊥AC，求OD长；（2）若CD=2OD，判断形状，并说明理由．【答案】（1）2；（2）等腰三角形，见解析．【分析】（1）由直角三角形的性质求解再证明，即可得到答案；（2）如图，过作于连接求解设则利用勾股定理求解，从而可得答案．【详解】解：（1）AB为⊙O的直径，AB=8cm，∠BAC=30°，OD⊥AC，，（2）是等腰三角形．理由如下：如图，过作于连接设则由勾股定理可得：是等腰三角形．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理，三角形的中位线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．12．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；（2）设OD＝x，＝y，求y与x的函数关系式；（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．【答案】（1）3；（2）y＝；（3）【分析】（1）连结OF，交BC于点H．得出∠BOF＝∠COF．则∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH，BC的长；（2）连结BF．证得OD∥BF，则，即，得出，则得出结论；（3）分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去，②当∠DCE＝∠DAO时，连结OF，证得∠OAF＝30°，得出OD＝，则答案得出．【详解】解：（1）如图1，连结OF，交BC于点H．∵F是中点，∴OF⊥BC，BC＝2BH．∴∠BOF＝∠COF．∵OA＝OF，OC⊥AF，∴∠AOC＝∠COF，∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，∵AB＝6，∴OB＝3，∴BH＝，∴BC＝2BH＝3；（2）如图2，连结BF．∵AF⊥OC，垂足为点D，∴AD＝DF．又∵OA＝OB，∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．∴，∴，即，∴，∴y＝．（3）△AOD和△CDE相似，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去．②当∠DCE＝∠DAO时，连结OF．∵OA＝OF，OB＝OC，∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．∵∠DCE＝∠DAO，∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，∴∠OAF＝30°，∴OD＝．即线段OD的长为．【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．13．如图，已知，，点在上，边与相交于点，过经过圆心，与相交于点，的切线交于点（1）求证：（2）若，，，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）如图1，连接，由是的切线，得到，即，再由，由等角的余角相等可得，根据等腰三角形的判定得到即可得出．（2）连接，通过利用三角函数求出，再由勾股定理求出AB=15，根据，即可解答．【详解】解：（1）连接，是的切线，，，，又，∴，（2）连接，，，又，，，在中，，，【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．14．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作于点G，连接DG，则线段DG的最小值为______．【答案】【分析】连接AC，BD交于O，得到EF过点O，推出点G在以AO为直径的半圆弧上，设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：连接AC，BD交于O，过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点O，，，点G在以AO为直径的半圆弧上，则设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，四边形ABCD是正方形，，，，，，，∴故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．15．如图1，在中，弦与半径交于点，连接、，．（1）求证：；（2）如图2，过点作交于点，垂足为，连接，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点，连接、，过点作于点，交于点，连接，若，时，求线段的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）延长交于，连接，根据等腰三角形的底角相等，三角形的外角的性质，结合，得，再结合圆周角定理，得，即可得到结论；（2）作于，于，根据等腰三角形三线合一，得，结合条件得，易证，结合垂径定理，即可得到结论；（3）延长交于，连接，，先证，再证，，得四边形是平行四边形，根据直角三角形和等腰三角形的性质得，结合平行线截得的线段成比例与勾股定理，即可求解．【详解】（1）如图1中，延长交于，连接．，，∴，∵，，，，；（2）如图2中，作于，于．，，，，，∵CD⊥AB，，，，，，，，，，，，，；（3）在图3中，延长交于，连接，．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，∵，CT⊥DB，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查圆的基本性质与全等三角形，相似三角形，勾股定理，平行四边形的综合，添加辅助线，构造全等三角形，相似三角形，是解题的关键．16．如图所示，四边形的四个顶点在上，且对角线于，求证：为定值.【答案】见解析.【解析】【分析】作直径，连结，，根据直径所对的圆周角为直角得出，从而得出利用勾股定理即可解决问题．【详解】作直径，连结，，∴，∵∴，∴弧AD=弧CE,∴，根据勾股定理得：，，∴为定值.【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，两条平行线所夹的弧相等等知识，解题的关键是学会利用定理和性质进行转化．17．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.【答案】的最大值为.【解析】【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求.【详解】连结，，∵∴∴为等边三角形，∵点，分别是，的中点∴，∵为的一条弦∴最大值为直径14∴的最大值为.【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD交于点H．（1）求证：四边形DEBC是平行四边形；（2）若BD＝9，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【分析】（1）结合题意，得出DC=BE，利用平行四边形的判定定理，证明，即可．（2）结合三角形相似，得出DH和BH的长度关系，计算结果，即可．【详解】（1）证明：∵E是AB的中点，∴AB＝2EB，∵AB＝2CD，∴DC＝BE，又∵AB∥CD，即DC∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形．（2）解：∵四边形BCDE是平行四边形，∴BC＝DE，BC∥DE，∴△EDM∽△FBM，∴＝，∵BC＝DE，F为BC的中点，∴BF＝BC＝DE，∴＝＝2，∴DH＝2HB，又∵DH+HB＝9，∴DH＝6．【点睛】考查平行四边形的判定，考查相似三角形的判定，关键得出DH和HB的长度关系，即可，难度中等．19．如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ．（1）求证：△ACQ≌△ADQ；（2）求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由；（3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．【答