2022届烟台市高三数学上学期期中考试卷附答案解析

2022届烟台市高三数学上学期期中考试卷

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的)

1.设集合4=｛x|14%M3｝,B=｛X|X2-6X+8N0｝,则4n(CRB)=()

A.｛x|2<x<3｝B.｛x|l<x<3｝C.[x|l<x<4｝D.[x|2<x<4｝

2.设a,b,c分别是△ABC的三条边，且aWbWc.则“a2+川<c?”是“△ABC为钝角

三角形”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.设a=logs2,b=logg3,c=log154，则()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

4.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二,

七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被3除余2的自然数从小到大组成数列｛斯｝，所

有被5除余2的自然数从小到大组成数列｛匕｝,把｛an｝和｛%｝的公共项从小到大得到数列｛7｝,则

()

c

A，a3+=C3B.b2s=c10C.a5b2>sD.Cg—bg=

5.设。为△ABC所在平面内一点，BC=2CD,E为BC的中点，则荏=()

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB--ADD.-AB--AD

33333333

6.已知函数y=Inx(|<x<e)的图象上存在点P,函数y=-|x2+c的图象上存在点Q,且

P、Q关于x轴对称，则实数c的取值范围为()

A.[”+点]B.[1+^,y-1]C.[|,y-1]D.[1,1+点]

7.曲线y=x-2在久=1处的切线的倾斜角为a,则等巴=()

Jx1+tana

A.-1B.-iC.V3D.2

8.设/(x)是定义域R的奇函数，/(x+1)是偶函数，且当xE(0,1],/(%)=ax(%一2).若/(-I)+

/(2)=-1.则%)=()

33

A.-1B.--C.1D.-

42

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.设Sn为数列｛0J的前n项和.若%=2%,+〉贝I」()

n2

A.S6=a7B.an=2~C.a8=4as+a7D.数列｛an｝为递减数列

10.下列命题正确的是()

11

A.若aVbvO,c>0>则一<—

acbe

B.若a>0,b>0,则>幽

72-a+b

C.已知a>0,b>0,且a+b=l,贝ija24-h2>1

D.已知a>0,b>0,且ab=1,贝ij二+《+2N4

aba+b

11.设函数/'(X)=sin(3x+》(3>0),若/(x)在[0,扪有且仅有5个极值点，贝I」()

A./(x)在(0,兀)有且仅有3个极大值点B./(x)在(0,兀)有且仅有4个零点

C.3的取值范围是舄，9D./(%)在(0*)上单调递增

12.关于函数/0)=蜻，g(x)=Inx,下列说法正确的是()

A.对V%€R,/(%)>14-X恒成立

B.对Vx>0,g(x)>1-i恒成立

C.函数y=xf(x)-x-g(x)的最小值为e-1

D.若不等式/(ax)>对Vx>0恒成立，则正实数a的最小值为-

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知向量a=(3,1),b-(-1,2)，c=Ad-b.ale,则4=.

7~x_i<n

14.已知f(x)=｛丁,y'，若函数g(x)=/(x)-k有两个零点，则实数k的取值范围

-xz+4x-2,x>0

是.

15.己知函数/(x)=exsinx-ax在(-7r,0)上单调递增，则实数a的取值范围.

16.我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为R的圆形纸，对折1

次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相

同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推,

每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把k次对折后得到的不同规格的图形面积和用Sk表示，由题

意知S]=止，S2=—,则54=____________；如果对折n次，则Zk=iSk=____________.

24

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知函数/(%)=2V2cos(x+7)cos(x+7).

24

(1)求f(x)的单调递增区间；

⑵求/(x)在[0,§的最大值.

18.已知公差不为0的等差数列｛an｝,满足al=a2a9,%++。7=39,记bn=[log5an],其

中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.8]=0,[log526]=2.

⑴求｛an｝的通项公式；

(2)求数列｛bn｝的前2022项和.

19.首届中国(宁夏)国际葡萄酒文化旅游博览会于2021年9月24-28日在银川国际会展中心拉开帷幕，

183家酒庄、企业携各类葡萄酒、葡萄酒加工机械设备、酒具等葡萄酒产业相关产品亮相.某酒庄带来了2021

2

年葡萄酒新品参展，供购商洽谈采购，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生

产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒%万箱且全部售完，每万箱的销售收入为H(x)万

280—3x,0<%<20

元,始)={9。+喘言”>2。

(1)写出年利润M(x)(万元)关于年产量x(万箱)的函数解析式；(利润=销售收入一成本)

(2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润.

20.在①bsin[£=csinB,②国(ccosA-b)=-asinC，③一，=—o这三个条件中任选一个，

2v7cosCcosA+cosB

补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,且

满足.

(1)求C；

(2)若△力8c的面积为8V3,AC的中点为D,求BD的最小值.

21.已知函数/(x)=mx2—2%+Inx,其中m为正实数.

(1)当m=l时，求曲线y=/(%)在点(1)(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积;

(2)当xe1]时，/(x)>mx-2,求m的取值范围.

22.己知函数/(%)=ln(x+d).

(1)当Q=0,证明：/(%)<ex-2；

(2)设a>1,若g(x)=f(x)一QX,且g(%i)=g(%2)=0(%w外)，求证：x1+x2<0.

3

答案解析部分

一、单选题

1.

【答案】A

【考点】交、并、补集的混合运算

【解析】【解答】由题意A=｛x|l<x<3),B=｛x\x24或xW2｝,

则CRB=｛x［2<x<4｝,

故4n(CRB)=｛x|2<尤W3｝。

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出集合B,再利用交集和补集的运算法

则,进而求出集合AC(CRB)。

2.

【答案】C

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】由题意可知aMbWc,

若<©2,则osC="+'<0,

C2ab

所以］<c<兀，所以&ABC为钝角三角形，充分性满足；

若4ABe为钝角三角形，由a<b<c,

则cosC<0,即05=<o,所以。2+炉<©2,必要性满足.

2ab

所以“a2+b2<c2”是“△力BC为钝角三角形”的充要条件.

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“a2+b2<c2”是“△ABC为

钝角三角形”的充要条件。

3.

【答案】D

【考点】对数函数的单调性与特殊点

【解析】【解答】0<a=logs2=logsV?<logs花=|，

b=log93=log323=1,

c=4=

l°gi5logisVl6>log15V15=1，所以a<b<c。故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的对数的大小关系比较，从而比较

出a,b,c的大小。

4.

【答案】B

【考点】等差数列，等差数列的通项公式

【解析】【解答】根据题意数列｛an｝是首项为2,公差为3的等差数列，an=2+3(n-1)=3n-1,

数列｛bn)是首项为2,公差为5的等差数列，b=2+5(n-1)=5n-3,

数列｛5｝与｛与｝的公共项从小到大得到数列｛cn］，故数列｛7｝是首项为2,公差为15的等差数列，

cn=2+15(n-1)=15n-13.

4

对于A,a3+6S=(3x3-1)+(5X5-3)=30,c3=15X3-13=32,a3+b5*c3,错误

对于B,Z)28=5x28-3=137,c10=15X10-13=137,外8=Qo，正确.

对于C,a5=3x5—1=14,4=5x2—3=7,c8=15x8-13=107,a5b2=14X7=98<

107=c8,错误.

对于D,c9=15x9-13=122,/?9=5x9-3=42,a26=3x26-1=77,c9-b9=122-42=

80477=a26，错误.

故答案为：B.

【分析】根据题意，数列｛斯｝是首项为2,公差为3的等差数列，再利用等差数列的通项公式，进而求

出数列｛即｝的通项公式，再利用数列｛%｝是首项为2,公差为5的等差数列，再结合等差数列的通项

公式，进而求出数列｛%｝的通项公式，再利用数列｛an｝与｛bn)的公共项从小到大得到数列｛7｝,

故数列｛7｝是首项为2,公差为15的等差数列，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列｛小｝的通

项公式，再结合代入法，从而找出正确的选项。

5.

【答案】A

【考点】平面向量的基本定理及其意义

【解析】【解答】因为BC=2CD，E为BC的中点，

所以AE=AB+^E=AB+=AB+^（AD-AB）=^AB+^AD»

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理以及中点的性质，再结合平面向量基本定理，从而

推出兄1=2耘+白疝)。

33

6.

【答案】C

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数的零点与方程根的关系

2

【解析】【解答】令yi=In%,(^<%<e),y2=-|x+c,

因为yny2上存在关于x轴对称的点，

c

所以ln%0=-(-1%o+)，则lnx0+c=0,

令/(%)=Inx-|x2+c,要使有对称点，则f(x)在生e］上有零点，

f(x)=、x=T'

当1］时，/z(x)>o-f(x)在1］上单调递增，

当xe［l,e］时，/z(x)<0，/(x)在［1,e］上单调递减，

5

所以/'(X)max=/⑴=CW，

又/(1)=—1—c«-1.07+c,/(e)=1—|e2+c《-2.7+c,

/(;)>/(e)，

所以fCOmin=f(e)，

要使/(x)在生e]上有零点，则｛解:::二盟制,

c—：20..

即｛1：，解得;ScS：e2-l。

l-je2+c<022

故答案为：C

2

【分析】令y】=Inx,(^<x<e),y2=-|x+c,利用y1,y2上存在关于%轴对称的点，所以

c-x2

lnx0=+)>贝IJlnx0|o+c=0,令f(x)=Inx-|x+c,要使有对称点，则/(x)在

日，e]上有零点，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值和最小值，再利用零点存

在性定理，从而结合已知条件求出实数c的取值范围。

7.

【答案】B

【考点】导数的几何意义，二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】y'=1+昼，当x=l时，y'=1+2=3，所以tana=3，由万能公式得：cos2a=

222

-co-s--a--s-i-n--a=-l---ta-n--a=-1--9=---4,

cos2a+sin2al+tan2a1+95

故答案为：B

【分析】利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用直线的倾斜角与直线的斜

率的关系式，得出tana=3,再利用万能公式得出等上的值。

l+tana

8.

【答案】B

【考点】奇偶函数图象的对称性，函数的值，反射、平衡和旋转变换

【解析】【解答】因为/(%)是定义域R的奇函数，所以/(-I)=-/(I),/(0)=0,

因为当x€(0,1],/(%)=ax(x-2),所以/(I)=-a,从而/(-I)=a,

因为/(x+1)是偶函数，即/(x+1)的图像关于y轴对称，

因为f[x+1)图像是/(x)图像向左平移一个单位得到的，

所以/(%)的图像关于x=1对称，故〃2)=/(0)=0,

因为/(-1)+/(2)=-1,所以a+0=a=-l,

6

因为/(|)=/(-j)=-/(|)，f(|)=/-(|)=-lxix(|-2)=^,

所以/(|)=-/(|)=-;»故答案为：B.

【分析】利用/(%)是定义域R的奇函数，再结合奇函数的定义和奇函数的性质，再利用当x6(0,1].

/(%)=ax(x-2),从而得出〃1)的值，再结合奇函数的定义，从而求出〃-1)的值,再利用/(x+1)

是偶函数，从而结合偶函数的图象的对称性，所以函数f[x+1)的图像关于y轴对称，再利用图象的平

移变换，得出函数+1)图像是/(x)图像向左平移一个单位得到的，所以/(%)的图像关于x=l对

称，进而求出/(2)的值，再利用/(-1)+/(2)=-1,进而求出实数a的值，再利用函数图象的平移结

合函数的周期性，进而求出函数值。

二、多选题

9.

【答案】C.D

【考点】数列的函数特性，等比数列，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和

【解析】【解答】因为Sn=2an+l,

当？i=1时,%=2al+：,即%=一：;

当nN2时，an=Sn-Sn^=(2an+：)-(2即_I+；)，即an=2an_i,因此詈=2,

则数列｛即｝是以为首项，2为公比的等比数列，

n2

因此an=-2-,B不符合题意；

672

所以S6=i(l-2)=-y,a7=-2-=-32,A不符合题意；

5-27-2

a8=—28-2=—64,a5=—2=—8,a7=—2=-32,因止匕a8=4a54-a7,C符合题意；

nn-3n-3n-3

当n22时，an-册_i=-2-2+2=2(-2+1)=-2<0,即Qn<an.1,因此数列｛an｝

为递减数列，D符合题意；

故答案为：CD.

【分析】利用Sn=2an+：结合及，与的关系式，再利用分类讨论的方法结合等比数列的定义，从而推出

数列｛an｝是以为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列｛an｝的

通项公式，再利用等比数列前n项和公式，进而求出数列｛an]的前n项和，再结合减函数的定义，从而

找出正确的选项。

10.

【答案】B.C

【考点】二次函数在闭区间上的最值，基本不等式在最值问题中的应用，不等式的基本性质

【解析】【解答】A因为a<b<0,c>0,则工一===2>0，即工>白，A不符合题意；

acbeabcacbe

7

B因为a>0,b>0,则产产之等之属2逑=震当且仅当a=b时等号成立，B符合题意;

2

C因为a+b=1,则小+川=彦+(i-ay=2(a—|)4-1>1,当Q=/?=：时等号成立，C符合

题意；

D当Q=b=l时，满足Q>0,b>0,且ab=l,但：+=工=3<4,D不符合题意.

aba+b

故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质和均值不等式求最值的方法以及特殊值法，再结合二次函数

图象求最值的方法，进而找出命题正确的选项。

11.

【答案】A.D

【考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，五点法作函数y=Asin(3X+6)的图

象，函数零点的判定定理

【解析】【解答】xG[0,7T],(O>0,0<a)x<na),<tox+^<7ra)+,令t=a)x+^,

•••^<t<TTO>+

当5"兀3+牌詈，即称W3三器时，/(%)在(0,兀)有且仅有5个零点，B选项不正确；

对于C选项：•••〃:<)在。兀]有且仅有5个极值点，••・？<兀3+?三手，二芸<3式受，

4D4JLUxv

••.3的取值范围是舄，第，C选项不正确；

对于D选项：•：Xe(0,亲),3>0,二0<3X<,二EgE,由C选项可知<<0<

手••馈<卜+屋翳，•・黑在(嚼上单调递增，D选项正确.

故答案为：AD

【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图像，从而判断出函数/(%)在(0,为)上的单调性；再利用求

8

导的方法求出函数的极值点，再结合零点存在性定理，进而找出函数"X)在(0,兀)的零点个数，再利用

已知条件，由函数/(X)在［0,71］有且仅有5个极值点，进而求出实数3的取值范围，进而找出正确的选

项。

12.

【答案】A,B.D

【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值

(解析］【解答】设或(x)=/(%)—x—1=ex—x—1,f(x)=ex-1>

%VO时，/(x)vo，砥。递减，%>0时，力(%)>0，40)递增，

所以，(%)min=%(0)=0，所以/(X)-%-1>/(0)=0,即/(%)>1+%恒成立，A符合题意；

在/(x)>1+x中令％=Int,则t>1+Int,-Int>1—t,ln1>1—t,

再令％；得In%N1—L,B符合题意；

tX

设p(x)=%/(%)-x-g(x)=xex-x-In%,定义域为(0,+«?),

p(%)=e*+xex—1-：=(x+l)(ex—》,

定义域内%+1>0恒成立，令q(x)=靖一：是增函数，q(}=Ve-2<0,q(l)=e-1>0,

x

所以q(x)在(|,1)即在(0,+叼上存在唯一零点x0-〃。一套=0,xoe<>=1,

0<%<%0时，q(x)<0,即p'(%)<0,p(x)递减，%>%0时，9。)>°，即p'(%)>0，

p(x)递增，

x

所以p(x)min=P(%o)=xQe°-xQ-lnx0=1一%()-ln磊=1-%o+&=l,C不符合题意；

不等式/(ax)>里上为eax>—,aeax>In%,

7aa

x>0,所以axe。*>xlnx,即eax\neax>x\nx,

令s(t)=tint，则s(t)=Int+1，0<tV}时，s(£)V0，s(C)递减，t>/时，s'(t)>0，

s(t)递增，s(t)min=sg)=-},

因为a>0,%>0,所以eax>1,

因此不等式eax\neax>x\nx恒成立，则eax>x恒成立，QXNIn%,HPa>—,

X

、几,、Inx//、1-Inx

设“(%)=丁，〃(%)=­T-，

OVxVe时，u(%)>0»u(x)递增，％>e时，〃'(x)v0，u(x)递减，

所以a(x)max=n(e)=:，所以a2}，即a的最小值是；,D符合题意.

故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围，进而求出正实数a

的取值范围，再结合已知条件结合不等式恒成立问题求解方法，从而推出对Vxe/?,/(x)>1+x恒成

9

立，再结合已知条件结合不等式恒成立问题求解方法，从而推出对Vx>0,g(x)21-5恒成立，再

结合已知条件和求导的方法判断函数单调性，进而求出函数y=xf(x)-x-g(x)的最小值，从而找出说

法正确的选项。

三、填空题

13.已知向量益=(3,1),fa=(-1,2),3=另.若，则4=.

【答案】"

【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系

【解析】【解答】因为a-c=a'(Aa—h)=Ad2—a-b=0>

所以；1(9+1)-(-3+2)=0,解得4=总。故答案为：亮

【分析】利用己知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量之的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的

等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而求出实数4的值。

14.已知/(x)={n，若函数9。)=〃>)一人有两个零点，则实数k的取值范围

一%/+4%-2,%>0

是.

【答案】(-2,0)U{2}

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】g(x)=f(x)-k有两个零点，即/(%)=k有两个根，即函数y=/(%)与y=k有

两个交点，如图所示，显然，当k=2或一2VkV0时，函数y=f(x)与y=k有两个交点，符合

【分析】利用已知条件结合函数g(x)=/(%)-k有两个零点，再利用函数的零点与方程的根和两函数交

点的横坐标的等价关系，则方程/(%)=k有两个根，即函数y=f(%)与y=k有两个交点，再利用分

段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用图象求出实数k的取值范围。

15.已知函数/(%)=exsinx-ax在(一兀,0)上单调递增，则实数a的取值范围.

【答案】(―8,—^一可

【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值

【解析】【解答】/(%)=e'sin%—Q%,f(尢)=e"sin%+e"cosx—a，

因为函数/(%)=exsinx-ax在(一%0)上单调递增，

所以xE(—71,0),e”sin%+e"cos%—aN0恒成立，

即xW(-7T,0),a<ex(sinx+cosx)恒成立，

10

设g(x)=ex(sinx+cosx),

g(%)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx—sinx)=2excosx，

Xe,g'(x)<0，g(x)为减函数,

Xe(-pO),g'(x)>0，g(x)为增函数，

所以g(x)min=g(-1=-e-5,即a<_e-fo

故答案为：co,—e-z]o

【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再利用函数/(x)=e^sinx-ax在(-兀,0)上

单调递增，所以xG(―7T,0),exsinx+e^cosx—a>0恒成立，即xG(―TT,0),a<er(sinx+cosx)

恒成立,设g(x)=e^fsinx+cosx),再利用求导的方法判断函数g(x)=e*(sinx+cosx)的单调性，进而

求出函数g(x)=ex(sinx+cosx)的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范

围。

16.我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为R的圆形纸，对折1

次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相

同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推,

每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把k次对折后得到的不同规格的图形面积和用Sk表示，由题

意知Si=半，S2=皿，则$4=____________；如果对折n次，贝ljlk=1Sk=____________.

24

【答案】和R2；兀R2(k+会-1)

【考点】等比数列的前n项和

【解析】【解答】因为S]=比，S2=处，

12N4

所以SK=点2©+*+点)=TTR2.今等=nR2(i一点),

2

所以54=兀/?2(1一分=葛兀R2,

n

=TT/?2[(1--)+(1-22)+・•・・・・+(1一丞)]

k=l

=兀/?2伊+卷一1)。

故答案为：;71R2(k+盘—1)C

【分析】利用工=?,S2=等，再结合把k次对折后得到的不同规格的图形面积和用品表示,

11

再利用等比数列前n项和公式得出Sk=nR2(l-*),再结合代入法得出S4的值，再利用分组求和法

和等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，进而求出£忆1Sk的值。

四、解答题

17.己知函数/(x)=22cos(x+])cos(x+$.

(1)求/(x)的单调递增区间；

⑵求/(x)在[0,自的最大值.

【答案】(1)解：/(x)=2V2cos(x+^)cos(x+^)=2V2-(―sinx)•(cosxcos^—sinxsin^)

=—sinx(2cosx—2sinx)

=—sin2x4-1—cos2x=-V2sin(2x+$+1,

2.ku+5W2%+1W2/CTT+—,kEZ,

解得kn+^<x<kn-^-^-,keZ,

88

所以函数的单调递增区间为[fc7r+^fc7r+y],fceZ

(2)解：由(1)2/CTT—三W2%+/42/CTT+[,/cWZ,

242

解得kn-^-<x<kit6Z

oo

函数的单调递减区间为[kn-^-.kn+^,kGZ,

所以函数在[0,白上单调递减，在(，勺上单调递增，

/(0)=0,/0)=3,所以函数的最大值为3.

【考点】函数的单调性及单调区间，函数的最值及其几何意义

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合诱导公式、两角和的余弦公式、辅助角公式化简函数为正弦型函

数，再利用正弦型函数的图像，进而判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数/(%)的单调递增

区间。

(2)利用正弦型函数的图像，进而判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数/(%)在[0,§的

最大值。

18.已知公差不为0的等差数列｛an｝,满足al=Q2a9，%+。5+即=39,记bn=[log5an],其

中[%]表示不超过x的最大整数，如[0.8]=0,[log526]=2.

⑴求｛an｝的通项公式；

(2)求数列｛bn｝的前2022项和.

【答案】(1)解：设等差数列｛an｝的公差为d(dHO),

12

由题意可知幽邠:If之端漂9，解得C：3,

所以斯=1+3(n-1)=3n-2，故｛an｝的通项公式为即=3几一2(neN*),

(2)解：由(1)知％=3n—2(几eN*),贝IJbn=[log5an]=[logs(3n-2)],

当lWn«2时，1W3n-2W4,则bn=Pog5an]=0,共2项，

当3Wn<9时，7W3n-2<25,则bn=[log5an]=1,共6项，

当9<n<42时，25W3n—2W125,贝Ubn=[log5cz„]=2,共34项，

当43<n<208时:127<3n-2<624,贝ijbn=[log5an]=3,共166项，

当209WnW1042时，625<3n-2<3124,则bn=[log5an]=4,共833项，

当1043<n<5208时，3127<3n-2<15622,贝Ubn=llogsan]=5,共4165项，

因此前2022项中有2个0,6个1,34个2,166个3,833个4,981个5,

则前2022项的和为2x0+6x1+34x2+166x3+833x4+981x5=8809.

【考点】等差数列的通项公式，数列的求和

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等差数列的通项公式，从而解方程组求出公差和首项，再利用等

差数列的通项公式，进而求出数列｛斯｝的通项公式。

(2)由(1)知an=3n-2(neN*),再利用bn=[logsan]结合[x]表示不超过x的最大整数，得

出数列｛%｝的通项公式，再利用分类讨论的方法，得出数列｛匕｝的前2022项中有2个0,6个1,34

个2,166个3,833个4,981个5,再利用分组求和法求出数列｛bn｝的前2022项的和。

19.首届中国(宁夏)国际葡萄酒文化旅游博览会于2021年9月24-28日在银川国际会展中心拉开帷幕，

183家酒庄、企业携各类葡萄酒、葡萄酒加工机械设备、酒具等葡萄酒产业相关产品亮相.某酒庄带来了2021

年葡萄酒新品参展，供购商洽谈采购，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生

产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒x万箱且全部售完，每万箱的销售收入为H(x)万

280—3x,0<%<20

元,30000-1)

HQ)=(90x>20

X(x+2)f

(1)写出年利润M(x)(万元)关于年产量x(万箱)的函数解析式；(利润=销售收入一成本)

(2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1)解：当0<xW20时，M(x)=x-H(x)-(40+100x),

所以M(x)=x-(280-3x)-(40+100%)=-3x2+180x-40,

当x>20时，M(x)=%-H(x)-(40+lOOx)；

所以M(x)=x-[90+3黑方-(40+100%)=-lOx+警鼠)-40,

—3/+180%—40,0<xS20

因此也乃={_]0¥+幽0一40/>20；

(2)解：由(1)知当0<x<20时，M(x)=-3x2+180x-40,对称轴为x=30,开口向下，

22

所以M(x)=-3x+180x—40在(0,20]上单调递增，因此当x=20时M(x)max=-3x20+180x

20-40=2360；

当%>20时、M(x)=-10%+3。。。")_40

x+2

13

T°x一翳+296。

=-10(x4-2)-^4-2980

<-2J10(x+2)•翳+2980=2380,

当且仅当10（x+2）=翳，即％=28时，等号成立，

因为2380>2360,所以年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为2380万元.

【考点】分段函数的应用，函数最值的应用，函数模型的选择与应用

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合（利润=销售收入一成本），从而求出年利润M（x）（万元）

关于年产量x（万箱）的函数解析式。

（2）利用已知条件结合年利润M（x）（万元）关于年产量x（万箱）的函数解析式，再利用分段函数

的解析式结合分类讨论的方法，再结合二次函数的图像求最大值的方法以及均值不等式求最大值的方法，

再结合比较法，从而求出年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为2380万元。

20.在①bsin勺0=csinB,②V3(ccos/1-b')=-czsinC,③一三=—二"0这三个条件中任选一个，

2v7cosCcosA+cosB

补充在下面的问题中，并解答问题.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

满足.

⑴求C；

(2)若△48C的面积为8V3,AC的中点为D,求BD的最小值.

【答案】(1)解：选①bsin^-=csinB,

由正弦定理可得sinBsin：-=sinCsinB,

又因为0<B<兀，可得sin=sinC,

即sin^^=sinC,所以cos|=2sin|cos|,

又因为0<f<|,所以sinf=i,

所以3=2，解得C=g.

ZO3

②V3(ccos>l—b)=—asinC,

由正弦定理可得V3(sinCcos?l—sinB)=—sinAsinC，

即V3[sinCcos?l-sin(4+C)]=—sinAsinC，

整理可得—V^sinAcosC=—sinAsinC,

又因为0<4V7T,解得tanC=V3，

因为0VCV",所以C=g.

③二=,

cosCcosA+cosB

14

由正弦定理可得空£=空空羽£,

cosCcosA+cosB

整理可得sinCcosA+sinCcosB=sin4cosc+sinBcosC,

即sinCcosA-sinAcosC=sinBcosC—sinCcosB,

即sin(C—A)=sin(B—C),

所以C-A=B-C或C-A+B-C=7T(舍)，

即A+B=2C，即Tt-C=2C,解得C=W

(2)解：ShABC=jabsinC==8>/3,

解得ab=32,

由余弦定理可得

BD2=a2+(-)2—2a---cos-=a2+-——-ab>2-a----ab=16,

234222

所以BD24，当且仅当a=?时，即a=4,b=8取等号，

所以BD的最小值为4.

【考点】基本不等式在最值问题中的应用，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算

【解析X分析】(1)选①bsin竽=csinB，再利用正弦定理结合三角形中角B的取值范围，可得sin^=

si