2022届浙江省百校高三（上）开学数学试卷（学生版+解析版）

2022届浙江省百校高三（上）开学数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（4分）已知集合/={1,2,3,4）,N={x|-3<x<5},则MCN=（）

A.{1,2,3）B.{0,1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4）

2.（4分）已知复数z=4-2a-（8+a），为纯虚数，则实数a=（）

A.-16B.-4C.2D.4

3.（4分）已知函数y=/（x）在区间［“，句内的图象为连续不断的一条曲线，则”/（a）•/

⑹V0”是“函数y=/（x）在区间［a,以内有零点”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

俨+y-1>0

4.（4分）若实数x,y满足约束条件x-y+l20,则z=/+V-2的最小值为（）

（2%—y—2<0

13V2

A.-4B.-1C.-5D.--2

222

5.（4分）函数/（霜=#的图像大致为（）

6.（4分）已知双曲线C：杀一苓=l（a>0,b>0）的离心率为V5,则双曲线C的渐近线方

程为（）

A.y+V2x=0B.V2y+x=0C.x±2y=QD.2y+x=Q

7.（4分）若某随机事件的概率分布列满足P（X=i）=a•卷（i=1,2,3,4）,则D（X）

=（）

A.3B.10C.9D.1

8.（4分）如图，点P在正方体ABCD-A\B\C\D\的面对角线8cl上运动，则下列结论一

A.三棱锥A-AiPD的体积大小与点P的位置有关

B.4P与平面ACDi相交

C.平面尸。81_1_平面48。

D.APLD\C

1TT

9.（4分）已知圆。的半径为2,A为圆内一点，04=/，B,C为圆。上任意两点，则

的取值范围是（）

11

A.[一6]B.[-1,6]C.[一/10]D.[1,10]

10.（4分）设函数/（X）=|x+a|+|分+-（a,Z?GR）,当X£[0,1]时,记/（x）的最大值为,

b）,若2/（mb）22〃P+4帆+e-1恒成立，则〃？的最大值为（）

3

A・eB.-2C.0D.-

2

二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题6分.

11.（6分）已知函数〉=5m2]，则该函数的最小正周期为,对称轴方程为.

（2匕%<0

12.（6分）已知函数/（%）=11，则/（0）=_____,/（/（-5））=_____.

log2x^,%>0

13.（6分）若二项式6+x+m）5Cm为实数）展开式中所有项的系数和为1024,则m=,

常数项为.

14.（6分）己知直线/i：x-y+3=0,fo：2x+y=0相交于点A,则点A的坐标为,

圆C7+/-21+4>1=0,过点A作圆。的切线，则切线方程为.

15.（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

16.（4分）在新高考改革中，学生可从物理、历史、化学、生物、政治、地理、技术7科

中任选3科参加高考，现有甲、乙两名学生先从物理、历史2科中任选1科，再从化学、

生物、政治、地理、技术5科中任选2科，则甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有

种.

17.（4分）已知平面内不同的三点0,4,B,满足|&|=|几|=3,若入日0,1],\WB-

0A\+|（1一4）而一寺百4|的最小值为2g,则|丽=.

三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.

18.（14分）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且8a-2csin（B+^）=0.

（1）求角C；

（2）设AC=6,BC=4,若尸为AB上一点，且满足AP=CP,求AP的长.

19.（15分）如图，在四棱锥P-ABC。中，侧面底面4BC£>,PA=PB,AB//DC,

7T

NABC吟

CD

（1）若求一的值；

AB

J21

（2）若△雨8为边长为2的正三角形，BC=2,尸。与平面尸8C所成角的正弦值为一,

14

CD的长.

C

1

+-n

20.(15分)已知数列｛念｝的前〃项和为3n22数列｛为｝满足b\=2,nbn+\-4a.,bn-3n

*

=0,nGN.

(1)求数列｛〃"｝,｛尻｝的通项公式；

(2)若7=人，1,、而,数列｛Cn｝的前"项和为〃，求证：T2n<1.

21.(15分)已知椭圆C：与+4=l(a>b>0)的离心率是竺一个顶点是3(0,1),点

ab2

P,。是椭圆C上异于点B的任意两点，且

(1)求椭圆C的方程；

(2)试问直线PQ是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.

22.(15分)己知函数/(x)=abix+(其中“WO,^(x)=(x-2)ex-%-p

(1)求/(x)的单调区间；

(2)设当”=1时，若对任意xC(0,1],不等式/(x)+g(x)<〃?恒成立，求整数”?

的最小值.

2022届浙江省百校高三(上)开学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(4分)已知集合用={1,2,3,4),N={x|-3<x<5},则MAN=()

A.{I,2,3}B.{0,I,2,3}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4)

【解答】解：因为M={1,2,3,4},N={x|-3VxV5},

所以MCN={1,2,3,4).

故选：C.

2.(4分)已知复数z=4-2a-(8+a)，为纯虚数，则实数a=()

A.-16B.-4C.2D.4

【解答】解：因为z=4-2a-(8+a)i为纯虚数，

所以4-2a=0且8+aWO,解得”=2.

故选：C.

3.(4分)已知函数y=f(x)在区间[a,切内的图象为连续不断的一条曲线，则“于(a)•于

(6)<0”是“函数y=/(x)在区间⑷句内有零点”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：由零点存在性定理，可知充分性成立；

反之.若函数y=7,xE[-I,1],则f(-l)/(I)>0.且有零点x=0.故必要性不

成立.

故选：A.

xy-1N0

4.(4分)若实数x,y满足约束条件x-y+l20,则z=/+V-2的最小值为()

.2%—y—2W0

13V2

A.-4B.-1C.D.--2

222

【解答】解：由约束条件作出平面区域如图,

由图可知，最近的距离为O到直线AB的距离，等于詈=¥

-2的最小值为（苧>—2=—

故选：c.

r2_i

5.（4分）函数f（x）=的图像大致为（)

【解答】解：根据题意，函数/Q）=^n，其定义域为R，

丫2―1

则/（-X）=黄利（%）,则函数/（x）不是偶函数，排除CD,

a

又由r(2)=mVI,排除A,

故选：B.

6.（4分）已知双曲线C；l（a>0,b>0）的离心率为遮，则双曲线C的渐近线方

程为（）

A.y±V2x=0B.yj2y±x=0C.x+2y=0D.2y±x=0

【解答】解：双曲线：与一马

C=l(a>0,b>0)的离心率为

出b

Cf—心a2+b2b2b2br-

所勺==1+/=3,­=2,即-=v2,

G/=a」a

所以双曲线的渐近线方程为：y±V2x-0.

故选：A.

7.(4分)若某随机事件的概率分布列满足P(X=i)=a三(i=l,2,3,4),则D(X)

=()

A.3B.10C.9D.1

【解答】解：P(X=0=a~(i=l,2,3,4),

,,a2a3a4a…°

故一+—+—+—=1,解得。=1,

10101010

19244

,•，£，(^)=YQ+2XJQ+3X1Q+4XYQ=3,E(X2)=yo+4xio+9xio+16xio=

10,

：.D(X)=E(X2)-E(X)2=10-9=1.

故选：D.

8.(4分)如图，点P在正方体ABCD-A\B\C\D\的面对角线BC\上运动，则下列结论一

定成立的是()

A.三棱锥A-A\PD的体积大小与点P的位置有关

B.4P与平面ACG相交

C.平面平面48。

D.APIDiC

【解答】解：对于选项A：VA-A1PD=Vp-AA1D-

在正方体中，平面44]£),所以P到平面441。的距离不变,

即三棱锥P-A41Q的高不变，又△AAQ的面积不变，

因此三棱锥P-AA\D的体积不变，

即三棱锥A-A\PD的体积与点P的位置无关，故4不成立.

对于选项8：由于8Ci〃A0,AOiu平面ACDi,BGC平面AC。，

所以BCi〃平面AC。，同理可证84〃平面AC。”又BAgBCi=B,

所以平面3Alei〃平面AC。”因为AiPu平面34C”

所以AiP〃平面AC。，故B不成立.

对于选项C：因为AiCiLBD,AiCi±BBi，BDClBBi=B,

所以4C1J_平面8810,则4Ci_LBiD；同理48_LBi。，

又AiCiCAiB=Ai，所以Bi£>_L平面AiBG,

又BiDu平面P£>Bi，所以平面POB1L平面A1BC”故C成立.

71

对于选项。：当8与尸重合时，AP与。1C的夹角为一，故。不成立.

4

故选：C.

1TT

9.（4分）己知圆。的半径为2,4为圆内一点，。4=*，B,C为圆。上任意两点，叫4c・BC

的取值范围是（）

11

A.[得6]B.[-1,6]C.[-10]D.[1,10]

【解答】解：如图，设8C的中点为。，连接。A,OC,OD,则。OLBC.

设。为04和BC的夹角,

则品>•立=(OC-OA)BC=OCBC-OABC=\OC\'\BC\cosZBCO-\0A\|FC|cos6=

||BC|2-1|BC|cos0,

[T[T[f[T]T

且一|BC『-^BC\<轴C『-i|BC|cos0<||BC|2+^\BC\.

由访6[0,4],当|品|T时，晶•后有最小值一；

Lo

当|品1=4时，品1•命有最大值10.

所以4**C*-8TC的取值范围是［+1，10］.

故选：C.

10.(4分)设函数/(%)=仅+〃|+|/+。|(小左R),当xRO,I］时，记/(x)的最大值为/

(a,b),若2/(a,b)22加2+4m+e-1恒成立，则机的最大值为()

3

A.eB.-2C.0D.-

2

【解答】解：V/(x)=\x+a\+\ex+h\^x+a+^+h,

•\t^max{x+a-/-b}=max{a-\-b,-e-b],

/.t^max{x-^a+eK^b)=max\a+1+〃,1+a+e+Z?),

・“、a+l+6+l+a+e+b,a-1-b+l+a—e-b

・・“―2+2'

A2t>|+^=e-l.

**•tN—2―，;t-+2TTI4—2一恒成立，

e-1e-1

:.----->7+2m+-----,

22

-2W〃7WO・

故选：c.

二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题6分.

II.(6分)已知函数丫=5m2»则该函数的最小正周期为TT,对称轴方程为X*+

竽(keZ).

【解答】解：周期7=竿=口，

由2x=2+k兀，Aez,得K=4"I—2'(keZ).

即对称轴为x=A+竽(kez).

故答案为：Ji,x=5+T(feeZ)-

\1X,x<o

12.(6分)已知函数/■(>)=1,则/(0)-1,f(/(-5))--1.

Jog2x^,%>0

(2"x<0

【解答】解：•••函数/'(x)=1,.,./(0)=2°n=1,

\log2x^,%>0

5)=2-5=*，5))=f(击)=^log2^=-1.

故答案为：1;-1.

13.(6分)若二项式C+x+m)s(机为实数)展开式中所有项的系数和为1024,则m=

常数项为161.

【解答】解：取1=1,可得(3+勿?)5=1024,.•.〃2=1,将机=1代入二项式，可得二项

7

式即(土+%+1)，

72

由于(1+x+I)5表示5个因式(1+X+1)的乘积，

故要得到常数项，需5个因式都取1；或者有2个因式取士2个因式取x,剩下的一个

x

因式取1；

2

或者有一个因式取一，一个因式取X,剩下的3个因式取1.

x

所以,常数项为磴+Cf«22«Cf»C/+C"2•盘•盘=1+120+40=161,

故答案为：1;161.

14.(6分)已知直线/i：x-y+3=0,/2：2x+y=0相交于点A,则点A的坐标为(-1,

2),圆C：?+/-2x+4y+l=0,过点A作圆C的切线，则切线方程为x=-1或

3x+4y-5=0.

【解答】解：联立小x-y+3=0,12：2x+y=0,

可得x=-1,y=2,(-1,2).

若切线斜率存在，设切线方程为y-2=&（x+1）,

则kx-y+2+k=0,：.2="+2+4,

向

k=一1；.切线方程为3x+4y-5=0；

若斜率不存在，则切线方程为x=-l.

故答案为：（-1,2）；3x+4y-5=0或x=-1.

160

15.（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是一

3

俯视图

【解答】解：该几何体的直观图如图所示,

设该几何体的体枳为V.

贝|JVE-ABCD+VE-BCF=|x1x(4+8)x4x4+ix|x4x8x4=粤.

i160

故答案为：-

16.（4分）在新高考改革中，学生可从物理、历史、化学、生物、政治、地理、技术7科

中任选3科参加高考，现有甲、乙两名学生先从物理、历史2科中任选1科，再从化学、

生物、政治、地理、技术5科中任选2科，则甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有180

种.

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①物理、历史2科中有相同学科.则有废牖C专=60种选法；

②物理、历史2科中没有相同学科.则有掰C弘j=120种选法.

所以甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有60+120=180种；

故答案为：180.

17.(4分)已知平面内不同的三点。，A,B,满足|&|=|诟|=3,若入[0,1],|/1晶一

&|+|(1—2)成)一：易|的最小值为28，则|而|=2次.

【解答】解：由题设，如图1,若。。=入。8,BE=^BA.则(1-A)BO=BD,WB-

1

OA=AD-BA=BE,

93

即(1一;1)8。一掾B4=ED.

：.WB-CM+(1—4)B。-^BA=AD+ED,即AD+ED.

若A'是A关于08的对称点，

则A'D=AD,BPAD+ED=A'D+ED,如图2,

当且仅当4',D,E三点共线时.4。+ED=4E=2百最小.

T0A=AB=3,即A'B=3,BE=\

，此时在4A'8E中，cosZEBA'==一』

装ZX认oX竽JL3

而cos/EBA'=2cos1ZABO-l,且NABO为锐角，

/o

J.cosXABO=Y，：.0B=2AB-cosZABO=273.

图1图2

故答案为：2内

三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.

18.(14分)在△ABC中，a,b,c分别为内角4,B,C所对的边，且遮a-2csin(B+^)=0.

(1)求角C；

(2)设AC=6,BC=4,若尸为AB上一点，且满足AP=CP,求AP的长.

【解答】解：(1)由正弦定理及条件，得s讥C&sinB+苧cosB)=苧sinA,

即sinC(；sinB+苧cosB)=苧sin(B+C)=^-sinBcosC+苧cosBsinC.

整理得tanC=V3,

又C为三角形内角，

所以C=60°.

(2)在AABC中，由余弦定理得AB?=AC2+BC2-2AC-BC-cosC-AB2=62+42-

1

2x6x4*2=28,

：.AB=2V7,

222

(277)+6-4=2/7

-2x277x6—-~

设AP=x,

62+x2—%2

：.3

缘2x6xx'

・—口"

••4ziPi-2•

19.(15分)如图，在四棱锥P-ABC。中，侧面以8_L底面ABCD,PA=PB,AB//DC,

TT

ZABC=^.

CD

(1)若A3_LP。，求一的值;

AB

(2)若△以8为边长为2的正三角形,BC=2,PO与平面尸8c所成角的正弦值为管,

CD的长.

【解答】解：(1)如图，取AB的中点"连接P”，。从

因为双=PB,所以P”_LAB.

又因为AB_LPD,PHCPD=P,

所以ABJ_平面PDH,所以OHJ_A8,

又因为4BC=»,AB//DC,所以四边形HBCD为矩形,

(2)法一：过P作PE〃8C,且PE=BC,连接EC,过。作O/UEC,交EC于点F.连

接PE

因为侧面％B_L底面A8C。，且交线为AB,ZABC=^,所以8cL平面以8.

因为PE〃8C,且PE=8C,所以四边形P8CE为平行四边形，所以EC〃尸&

又因为C£>〃48,ECCCD=C,PBr\AB=B,所以平面E£)C〃平面PBA.

所以BC_L平面EC。，所以8CJ_OF.

又因为EC_LQF,BCClEC=P,所以。F_L平面PBC.

所以/OPF即PD与平面PBC所成角.

设CD=x,由平面EOC〃平面PBA,得=*所以DF=%.

在直角三角形PH。中，PH=4,DH=V22+(1-X)2,

2

所以PD=J(V3)+22+(l-x)2,又PD与平面PBC所成角的正弦值为答.

所以寻=丁妥三，解得x=l,即8=1.

1477+(1-x)

注：若直接猜答案，反过来验证，只给答案分.

法二：如图，以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-wz

由已知条件可知8(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),

由△以8为边长为2的正三角形，

所以P(0,1,V3),所以BP=(0,1,V3),BC=(2,0,0)

设平面PBC的法向量为£=(x,y,z),所以旧.近=°

In-FC=0

所以卜+8z=0,可取|=(o,3,-V3).

\2x=0

设CD=x,所以。(2,x,0),PD=(2,%-1,-V3),

V21

又PD与平面PBC所成角的正弦值为二.

14

一3X-3+3

所以——=----,—

14V12-V4+(X-l)2+3,

解得x=l，即CD=L

11

20.(15分)已知数列｛〃”｝的前〃项和为3九20+'九，数列｛/?〃｝满足力i=2,nb+\

ft4anbn~3〃

=0,左N*.

(1)求数列｛〃〃｝,｛。〃｝的通项公式；

(2)若“=_夫而，数列｛Cn｝的前〃项和为7；”求证：T2n<1.

加+(—1)n5

11

【解答】(1)解：数列｛斯｝的前〃项和为]九2o+万九，

22

an=^n4-^n—^(n—l)—i(n—1)=n(n>2).

当"=1时，"1=1符合，故斯=",

.,.nbn+\-4。血-3〃=曲+i-4曲-3〃=0,

bn+1—4/>«+3»•*./>„+]+1=4(d+1),b\=2

，｛为+1｝是以3为首项，4为公比的等比数列,

.•4+1=3-4"T,

=3•4吁1一1.

_______1_______

(2)证明:

=加+(一]严3.4九一1-1+(-1严

Tin=G+C2+C3+…+C2n=C1+C3+…+C2n-1+C2+C4+…+C2”=------n-d----------5—+

3x4u-23x4z-2

3+2n-1

3x42n-2_2+3x4]+3X4+3x4

333111

<---nH----7+…H----7^_74----TH----o+…_l----

3x43x43x4，/3x43x4，3x4n-1

[*]=胃[1一(冷噌||4

丫2”2V2

21.(15分)已知椭圆C：a+*=l(a>b>0)的离心率是三，一个顶点是8(0,1),点

P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BPYBQ.

(1)求椭圆C的方程;

(2)试问直线PQ是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.

O(a=72

【解答】解：(1)由题意得《£=孕，解得6=1，

Ia2

la2=b2+c2京=1

x2

所以椭圆方程为万4-y2=1.

(2)由8PL8。知直线BP,8。的斜率存在且不为0.

y=依+1

设直线8尸的斜率为h直线研的方程为尸区+1,必,得3+基/+2h=