（三年模拟一年创新）高考数学复习 第四章 第三节 y＝Asin（ωx＋φ）的图象和性质及其综合应用 理（全国通用）试题

eq\a\vs4\al\co1(第三节y＝Asin（ωx＋φ）的图象和性质及其综合应用)A组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2015·广东汕头模拟)函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))图象的两条相邻对称轴间的距离为()A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,2) D．π解析函数的周期为T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2)，两条相邻对称轴间的距离为半个周期，即eq\f(π,4).答案B2．(2015·辽宁丹东模拟)设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋θ))－eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋θ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|θ|<\f(π,2)))，且其图象关于y轴对称，则函数y＝f(x)的一个单调递减区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))解析因为f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋θ))－eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋θ))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋θ－\f(π,3)))的图象关于y轴对称，所以θ＝－eq\f(π,6)，所以f(x)＝－2coseq\f(1,2)x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,4)))递减，故选C.答案C3．(2015·河北正定模拟)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的图象关于直线x＝eq\f(2π,3)对称，它的周期为π，则()A．f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(2π,3)))上是减函数C．f(x)的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))D．将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到y＝2sinωx的图象解析因为设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的图象关于直线x＝eq\f(2π,3)对称，它的周期为π，所以φ＝eq\f(π,6)，ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))(ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))，因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))＝0，所以f(x)的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，故选C.答案C4．(2014·湖北黄冈调考)已知函数f(x)＝2sin(x＋φ)的部分图象如图所示，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2008π,3)))的值为()A．－2 B．2C．－eq\r(3) D.eq\r(3)解析由题意得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝2，eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，φ＝2kπ＋eq\f(π,2)－eq\f(4π,3)＝2kπ－eq\f(5π,6)，其中k∈Z.因此feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2008π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2008π,3)＋2kπ－\f(5π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋668π＋\f(4π,3)－\f(5π,6)))＝2sineq\f(π,2)＝2，选B.答案B5．(2014·广东汕头4月模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A＞0，|φ|＜\f(π,2)))的图象如图所示，为了得到g(x)＝cos2x的图象，则只要将f(x)的图象()A．向右平移eq\f(π,6)个单位长度 B．向右平移eq\f(π,12)个单位长度C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度 D．向左平移eq\f(π,12)个单位长度解析由图象知eq\f(T,4)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,4)，T＝π，ω＝2，A＝1.当x＝eq\f(7π,12)时，2x＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得φ＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3).f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))g(x)＝cos2x，故选D.答案D二、填空题6．(2015·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最大值为3，f(x)的图象与y轴交点坐标为(0，2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝________．解析函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0，0<φ<eq\f(π,2))的最大值为3，所以A＝2，其相邻的两条对称轴的距离为2，所以ω＝eq\f(π,4)，所以f(x)＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))＋1＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋2φ))＋2(A>0，ω>0，0<φ<eq\f(π,2))，又f(x)的图象与y轴交点坐标为(0，2)，所以φ＝eq\f(π,4)，f(x)＝－sineq\f(π,2)x＋2，而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝8，且周期为4，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝503×8＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4030.答案40307．(2014·河南南阳一模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2eq\r(2)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，则函数解析式f(x)＝________．解析据已知两个相邻最高及最低点距离为2eq\r(2)，可得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))\s\up12(2)＋（1＋1）2)＝2eq\r(2)，解得T＝4，故ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,2)，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋φ))，又函数图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，故f(2)＝sin(π＋φ)＝－sinφ＝－eq\f(1,2)，又－eq\f(π,2)≤φ≤eq\f(π,2)，解得φ＝eq\f(π,6)，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6))).答案sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6)))8．(2013·广东珠海质检)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))(x＝1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋A＝28，,a－A＝18，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝23，,A＝5，))∴y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))，x＝10时，y＝23＋5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝20.5.答案20.5一年创新演练9．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)－eq\r(3)sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))，且其图象相邻的两条对称轴为x1＝0，x2＝eq\f(π,2)，则()A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为增函数B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为减函数C．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数D．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数解析由已知条件得f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ＋\f(π,3)))，由题意得eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，∴T＝π，∵T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝2.又∵f(0)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,3)))，x＝0为f(x)图象的对称轴，∴f(0)＝2或－2，又∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3)，此时f(x)＝2cos2x，它在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为减函数，故选B.答案BB组专项提升测试三年模拟精选一、选择题10．(2015·河北衡水中学模拟)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，则A·ω＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(\r(7)π,12) C.eq\f(\r(7),6)π D.eq\f(\r(7),3)π解析由题中图象知eq\f(T,4)＝eq\f(π,3)－eq\f(π,12)，∴T＝π，∴ω＝2.则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，A))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)π，－A))，由eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，得eq\f(7π2,122)＝A2，∴A＝eq\f(\r(7),12)π，∴A·ω＝eq\f(\r(7),6)π.故选C.答案C11．(2014·温州模拟)定义行列式运算)＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝的图象向左平移n(n＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(5π,6) D.eq\f(2π,3)解析依题意可得f(x)＝＝eq\r(3)cosx－sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，图象向左平移n(n＞0)个单位得f(x＋n)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋n＋\f(π,6)))，要使平移后的函数为偶函数，则n的最小值为eq\f(5π,6)，故选C.答案C二、填空题12．(2013·金丽衢十二校联考)已知我省某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时长为________小时．解析依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＋b＝1.5，,－A＋b＝0.5，,\f(2π,ω)＝12，))A＝0.5，b＝1，ω＝eq\f(π,6)，所以y＝0.5coseq\f(π,6)t＋1.令y＝0.5coseq\f(π,6)t＋1＞1.25(t∈[0，24])得coseq\f(π,6)t＞eq\f(1,2).又t∈[0，24]，eq\f(π,6)t∈[0，4π]，因此0≤eq\f(π,6)t＜eq\f(π,3)或eq\f(5π,3)＜eq\f(π,6)t≤2π或2π≤eq\f(π,6)t＜2π＋eq\f(π,3)或2π＋eq\f(5π,3)＜eq\f(π,6)t≤2π＋2π，即0≤t＜2或10＜t≤12或12≤t＜14或22＜t≤24，在一日内，海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．答案8三、解答题13(2014·皖南八校三模)已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋2eq\r(3)sinωxcosωx－1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π.(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,4)个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合．解(1)f(x)＝2sin2ωx＋2eq\r(3)sinωxcosωx－1＝1－cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx－1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,6))).由题意可知函数的周期T＝eq\f(2π,2ω)＝π，即ω＝1，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，其中k∈Z，解得kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)，其中k∈Z，即f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.(2)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，则g(x)的最大值为2，此时有2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1，即2x＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)，其中k∈Z.解得x＝kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)，所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,12)，k∈Z)))).14．(2014·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝eq\r(3)sineq\f(ωx＋φ,2)·coseq\f(ωx＋φ,2)＋sin2eq\f(ωx＋φ,2)(ω＞0，0＜φ＜eq\f(π,2))，其图象的两个相邻对称中心的距离为eq\f(π,2)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，1)).(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝eq\r(5)，S△ABC＝2eq\r(5)，角C为锐角，且满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2)－\f(π,12)))＝eq\f(7,6)，求边c的值．解(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin(ωx＋φ)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－cos（ωx＋φ）))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ－\f(π,6)))＋eq\f(1,2).∵两个相邻对称中心的距离为eq\f(π,2)，∴T＝π.由eq\f(2π,|ω|)＝π，ω＞0，得ω＝2.又f(x)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，1))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＝1，得cosφ＝eq\f(1,2).又∵0＜φ＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3).∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).(2)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2)－\f(π,12)))＝eq\f(7,6)，得：sinC＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,6)，∴sinC＝eq\f(2,3).∵角C为锐角，∴cosC＝eq\f(\r(5),3).又∵a＝eq\r(5)，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)·eq\r(5)·b·eq\f(2,3)＝2eq\r(5)，∴b＝6.由余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcosC＝5＋36－2·eq\r(5)·6·eq\f(\r(5),3)＝21，∴c＝eq\r(21).一年创新演练15．如图是某市在城市改造中沿市内主干道季华路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100m．其与季华路一边所在直线l相切于点M，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2(1)以∠AON＝θrad为参数，将S表示成θ的函数；(2)试确定当绿化的面积最大时点A的位置及其最大面积．解(1)如题图，BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．则S＝eq\f(1,2)MB·AB＝eq\f(1,2)×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．(2)S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝eq\f(1,2)或cosθ＝－1(舍去)，此时θ＝eq\f(π,3).当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))eq\f(π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))S′＋0－S极大值所以，当θ＝eq\f(π,3)时，S取得最大值Smax＝3750eq\r(3)m2，此时AB＝150m，即点A到季华路一边的距离为150m.16．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xeq\f(2π,3)x1eq\f(8π,3)x2x3ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πAsin(ωx＋φ)020－20(1)求x