第7讲 十字相乘和分组分解法因式分解（3大考点）

第7讲十字相乘和分组分解法因式分解（3大考点）考点考向考点考向一、十字相乘十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：．由于把中的分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．二、分组分解如何将多项式因式分解？分析：很显然，多项式中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于,而：．这样就有：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．考点精讲考点精讲一．因式分解-十字相乘法等（共5小题）1．（2022春•宝山区校级月考）若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），则p+q的值为（）A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣82．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为．3．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝．4．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．5．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝．二．因式分解-分组分解法（共8小题）6．（2022春•长宁区校级期中）分解因式：x2﹣y2+4y﹣4＝．7．（2022春•徐汇区校级期中）分解因式：2x﹣ay+ax﹣2y＝．8．（2022春•徐汇区校级期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝．9．（2022春•普陀区校级期中）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣1＝．10．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．11．（2021秋•普陀区期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝．12．（2021秋•普陀区期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．13．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．三．因式分解的应用（共2小题）14．（2022春•金山区月考）如果x、y满足，那么代数式x2﹣4y2的值为．15．（2021秋•宝山区期末）如果△ABC的三边长a，b，c满足等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，试判断此△ABC的形状并写出你的判断依据．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是（

）A． B． C． D．2．（2022·上海·七年级期末）已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（

）A．15,17 B．16,17 C．15,16 D．13,143．（2022·上海·七年级开学考试）如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=34．（2022·上海·七年级期末）如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（

）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形二、填空题5．（2022·上海浦东新·七年级期末）因式分解：_______．6．（2022·上海·七年级期末）分解因式：_____．7．（2022·上海·七年级专题练习）当时，代数式__________8．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）因式分解：m2-n2-2m+1=___．9．（2022·上海普陀·七年级期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝_____．10．（2022·上海·七年级期末）计算：（1）__________．

（2）__________．（3）__________．11．（2022·上海普陀·七年级期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为_____．12．（2022·上海·七年级专题练习）矩形的周长是，两边x，y使，则矩形面积为_________13．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：______________；________；__________；________14．（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式：________．15．（2022·上海·七年级期末）已知，则_______________16．（2022·上海·七年级期末）已知，则_____________17．（2022·上海·七年级期末）如果x﹣2y+3＝0，那么代数式x2﹣（4y+1）x+4y2+2y的值为_____．18．（2022·上海·七年级期末）正数满足，那么______．19．（2022·上海·七年级期末）若a,b,c满足，则________三、解答题20．（2022·上海·七年级开学考试）分解因式：．21．（2022·上海·七年级期末）因式分解：22．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：23．（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式：24．（2022·上海·七年级期末）分解因式：．25．（2022·上海·七年级专题练习）已知有因式，求a的值，并将其因式分解．26．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：已知x3－8有一个因式x－2，我们可以用如下方法对x3－8进行因式分解．解：设x3－8＝（x－2）（x2＋ax＋b）因为（x－2）（x2＋ax＋b）＝x3＋（a－2）x2＋（b－2a）x－2b所以a－2＝0，且b－2a＝0，且－2b＝－8所以a＝2，且b＝4所以x3－8＝（x－2）（x2＋2x＋4）这种分解因式的方法叫做待定系数法．(1)已知x3＋27有一个因式x＋3，用待定系数法分解：x3＋27．(2)观察上述因式分解，直接写出答案：因式分解：a3＋b3＝；a3－b3＝．27．（2022·上海·七年级期末）数学业余小组在活动中发现：……（1）请你在答题卡中写出（补上）上述公式中积为的一行；（2）请仔细领悟上述公式，并将分解因式：（3）请将分解因式．28．（2022·上海·七年级期末）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如：，按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：(1)＝；（只填最后结果）(2)当x＝时，；（只填最后结果）(3)将下面式子进行因式分解：．（写出解题过程）29．（2022·上海·七年级专题练习）解方程(1)解关于x、y的方程：．(2)求方程的整数解．30．（2022·上海·七年级期末）阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题【阅读材料】对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项