第10讲 可化为一元一次方程的分式方程及整数指数幂及其运算（6大考点）

第10讲可化为一元一次方程的分式方程及整数指数幂及其运算（6大考点）考点考向考点考向一、分式方程、根与增根1.分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.2.分式方程的根、增根及检验分式方程的解也叫作分式方程的根．在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为O，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根．要点诠释：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．二、分式方程的解法1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2.分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.三、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.要点诠释：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．四．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．五．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．考点精讲考点精讲一．分式方程的定义（共1小题）1．（2020秋•徐汇区校级月考）下列各式中属于分式方程的是（）A． B． C． D．二．分式方程的解（共3小题）2．（2021秋•宝山区期末）如果关于x的方程无解，那么k＝．3．（2020秋•静安区期末）若关于x的方程无解，则a的值为．4．（2021秋•浦东新区校级期中）已知关于x的方程+＝无解，求a的值．三．解分式方程（共5小题）5．（2020秋•奉贤区期末）已知a和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：a*b＝（其中a+b≠0），若m*＝﹣，则m＝．6．（2021秋•普陀区期末）解方程：1+＝．7．（2021秋•宝山区期末）解方程：＝﹣1．8．（2021秋•浦东新区期末）解方程：．9．（2020秋•浦东新区期末）解分式方程：﹣＝1﹣．四．分式方程的增根（共2小题）10．（2021秋•浦东新区校级期中）当m＝时，关于x的方程会产生增根．11．（2021秋•徐汇区月考）在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则a＝．五．负整数指数幂（共7小题）12．（2021秋•宝山区期末）将写成不含分母的形式，其结果为．13．（2021秋•浦东新区期末）将代数式化为只含有正整数指数幂的形式．14．（2020秋•宝山区期末）将2a2（a﹣b）﹣1写成只含有正整数指数幂的形式，其结果为．15．（2021秋•宝山区期末）计算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）16．（2020秋•虹口区期末）计算：．17．（2020秋•奉贤区期末）计算：．18．（2020秋•浦东新区期末）ab（a﹣2+b﹣2）．（结果只含有正整数指数幂）六、分式方程的应用1.（浦东四署2020期末26）书店老板去图书批发市场购买某种图书.第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完.由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本.当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书.试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？2、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?3.在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．5.一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，慢车比快车早出发2小时，在离A地276公里处快车追上了慢车，慢车的速度是快车的，求慢车、快车的速度．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（）A． B． C． D．2．（2019·上海市复旦实验中学七年级月考）若方程有一个根是x=1，则m的值是（）A． B． C． D．3．（2020·上海宝山·七年级期末）去分母解关于x的方程产生增根，则m的值为（）A．2 B． C．1 D．4.（2019浦东四署12月考5）如果关于x的方程无解，则m的值是（）A.-1；B.1；C.0；D.2.5.（卢湾中学2020期末4）是下列哪个分式方程的解（）A. B. C. D.二、填空题6．（2021·上海浦东新·七年级期末）A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是__________．7.（嘉定区2020期末15）将分式表示成不含有分母的形式：_________________.8.（延安初中2020期末1）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm0.0000025m）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将0.0000025用科学记数法表示为_______________．9.（西南模2019期中12）若关于x的方程有增根，则m＝．10.（浦东四署2020期末14）将写成不含分母的形式：.三、解答题11．（2020·上海市中国中学七年级月考）解方程：12．（2019·上海奉贤·七年级期末）解方程：．13．（2019·上海市控江初级中学七年级月考）当m为何值时，关于x的方程，无解。14.（浦东四署2020期末21）计算：.15.（卢湾中学2020期末21）计算：．（结果用正整数指数幂形式表示）16．（2019·上海市控江初级中学七年级月考）解分式方程：17.（浦东南片2020期末25）已知，求的值.18．（2020·上海市中国中学七年级月考）为了防止雾霾，某口罩生产企业需要在若干天内加工2400个口罩，在实际生产中，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的1.5倍，从而提前2天完成任务，问该企业原计划每天生产多少个口罩？19．（2020·上海同济大学实验学校七年级期中）学生小李为使跳绳200次所用的时间减少10秒，必须把每秒钟的跳绳次数增加10%，问小李原来跳绳200次所用的时间是多少秒？20．（2020·上海宝山·七年级期末）小丽乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高50%，因此能比路线一节省10分钟到达．那么选走路线二去体育场需要多少时间?21．（2019·上海市控江初级中学七年级月考）A、B两地相距20千米，甲骑自行车自A地出发向B地方向行进30分钟后，乙骑自行车自B地出发向A地驶去，甲乙二人在B地12千米的C地相遇，若乙的速度是甲的速度的3倍，求甲乙两人各自的速度。（要求列分式方程求解）22．（2019·上海奉贤·七年级期末）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，两队分别每天安装几台空调？23.（川中南2020期末28）多多果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，由于水果畅销，很快售完，第二次用1430元购买了一批水果，每千克的进价比第一次提高了，所购买的水果的数量比第一次多20千克，求第一次购买水果的进价是每千克多少元？24.（延安初中2020期末29）甲、乙两车同时从相距千米的地到地，甲比乙晚出发分钟，结果乙比甲晚到分钟，已知甲车平均速度是乙车平均速度的倍，求甲车的平均速度.25．（2019·上海市闵行区莘松中学七年级期中）一水果店主分两批购进某一种水果，第一批所用资金为2400元，因天气原因，水果涨价，第二批所用资金是2700元，但由于第二批单价比第一批单价每箱多10元，以致购买的数量比第一批少25%．（1）该水果店主购进第一批这种水果的单价是多少元？（2）该水果店主计两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了不低于1716元，求a的最大值．26．（2018·上海松江·七年级期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．27.（莘松中学2019期中26）一水果店主分两批购进某一种水果，第一批所用资金为2400元，因天气原因，水果涨价，第二批所用资金是2700元，但由于第二批单价比第一批单价每箱多10元，以致购买的数量比第一批少25%．（1）该水果店主购进第一批这种水果的单价是多少元？（2）该水果店主计两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了不低于1716元，求a的最大值．28.（嘉定区2020期末27）A、B两地相距80千米，甲与乙开车都从A地前往B地，甲开车