第四板块 创新强化练“统计与概率”创新考法专训

第四板块创新强化练“统计与概率”创新考法专训1．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，下列四个命题：甲：P(X>m＋1)>P(X<m－2)；乙：P(X≥m)＝0.5；丙：P(X≤m)＝0.5；丁：P(m－1<X<m)<P(m＋1<X<m＋2)，如果有且只有一个是假命题，那么该命题是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D因为P(X≥m)＝0.5，P(X≤m)＝0.5均等价于μ＝m，由题意可得乙，丙均为真命题，且μ＝m.对于甲：因为P(X>m＋1)＝P(X<m－1)>P(X<m－2)，故甲为真命题；对于丁：因为P(m－1<X<m)＝P(m<X<m＋1)>P(m＋1<X<m＋2)，故丁为假命题．2．(2023·赤峰模拟)如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为()A.eq\f(10,23)B.eq\f(12,23)C.eq\f(29,69)D.eq\f(50,69)解析：选B当一条直线位于上(或下)底面，另一条不在底面时，共有10×8＝80对异面直线，当两条直线都位于上、下底面时，有4×2＝8对异面直线，当两条直线都不在上、下底面时，有7×8＝56对异面直线，所以两条棱所在的直线为异面直线的概率为P＝eq\f(80＋8＋56,C\o\al(2,24))＝eq\f(12,23).3．(2023·金华模拟)某市举行一环保知识竞赛活动．竞赛共有“生态环境”和“自然环境”两类题，每类各5题．其中每答对1题“生态环境”题得10分，答错得0分；每答对1题“自然环境”题得20分，答错扣5分．已知小明同学“生态环境”题中有3题会作答，而答对各个“自然环境”题的概率均为eq\f(2,5).若小明同学在“生态环境”题中抽1题，在“自然环境”题中抽3题作答，每个题抽后不放回．则他在这次竞赛中得分在10分以下(含10分)的概率为()A.eq\f(81,625) B.eq\f(243,625)C.eq\f(189,625) D.eq\f(162,625)解析：选B小明在这次竞赛中得分在10分以下(含10分)的事件为A，“生态环境”题答对且“自然环境”题全错的事件为A1，“生态环境”题答错且“自然环境”题最多答对1题的事件为A2，显然A1与A2互斥，A＝A1＋A2，P(A1)＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))3＝eq\f(81,625)，P(A2)＝eq\f(2,5)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))))3＝eq\f(162,625)，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(243,625).4．(2023·银川模拟)泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为P(x＝k)＝eq\f(λk,k！)e－λ(k＝0,1,2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np.一般地，当n≥20而p≤0.05时，泊松分布可近似作为二项分布．若随机变量X～B(1000，0.001)，P(X≥2)的近似值为()A．1－eq\f(1,e) B．1－eq\f(2,e)C．1－eq\f(e,4) D．1－eq\f(1,e2)解析：选B由题，n＝1000≥20，p＝0.001≤0.05，泊松分布可近似作为二项分布，此时λ＝1000×0.001＝1，所以P(X＝k)＝eq\f(1,k！)e－1，所以P(X＝0)＝eq\f(1,0！)e－1＝eq\f(1,e)，P(X＝1)＝eq\f(1,1！)e－1＝eq\f(1,e)，则P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－eq\f(2,e).5．[多选]已知随机变量X的概率密度函数为φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)a)e－eq\f(x－b2,2a2)(a>0，b>0)，且φ(x)的极大值点为x＝2a，记f(k)＝P(X<k)，g(k)＝P(X>k＋a)，则()A．X～N(b，a)B．X～N(2a，a2)C．f(a)＝g(2a)D．f(2a)＋g(2a)＝f(a)＋g(a)解析：选BCD根据已知可得，μ＝b，σ＝a.因为φ(x)的极大值点为x＝2a，所以有b＝2a.所以X～N(2a，a2)，故A错误，B正确；由A分析可知，μ＝2a.又f(a)＝P(X<a)，g(2a)＝P(X>2a＋a)＝P(X>3a)，根据正态分布的对称性，可知P(X<a)＝P(X>3a)，所以f(a)＝g(2a)，故C正确；因为μ＝2a，所以f(2a)＝P(X<2a)＝eq\f(1,2)，g(a)＝P(X>2a)＝eq\f(1,2).所以f(2a)＋g(2a)＝eq\f(1,2)＋f(a)＝f(a)＋g(a)，故D正确．6．(2023·东北师大附中校联考模拟)[多选]金枪鱼因为肉质柔嫩鲜美、营养丰富深受现代人喜爱，常被制作成罐头食用．但当这种鱼罐头中的汞含量超过1.0mg/kg时，食用它就会对人体产生危害．某工厂现有甲、乙两条金枪鱼罐头生产线，现从甲、乙两条生产线中各随机选出10盒罐头并检验其汞含量(单位为mg/kg)，其中甲生产线数据统计如下：0.07,0.24,0.39,0.54,0.61,0.66,0.73,0.82,0.95,0.99，其方差为seq\o\al(2,1)＝0.08.乙生产线统计数据的均值为eq\x\to(x)2＝0.4，方差为seq\o\al(2,2)＝0.11，下列说法正确的是()A．甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.82B．甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.775C．由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值高于两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值D．由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定解析：选ACD10×0.75＝7.5，则从小到大排列，第8个数为上四分位数，即0.82，A正确，B错误；甲生产线数据平均数为eq\f(1,10)×(0.07＋0.24＋0.39＋0.54＋0.61＋0.66＋0.73＋0.82＋0.95＋0.99)＝0.6，故两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量的平均值为eq\f(0.6＋0.4,2)＝0.5，因为0.6>0.5，所以C正确；设两条生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的方差为s2，则s2＝eq\f(s\o\al(2,1)×10＋s\o\al(2,2)×10,20)＝eq\f(0.8＋1.1,20)＝0.095>0.08，所以甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定，D正确．故选A、C、D.所以甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定，D正确．故选A、C、D.7．(2023·泉州三模)[多选]某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登录，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为eq\f(2,7)，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为eq\f(1,2)，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为eq\f(1,3).记玩家第n次抽盲盒，抽中奖品的概率为Pn，则()A．P2＝eq\f(19,42)B．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(3,7)))为等比数列C．Pn≤eq\f(19,42)D．当n≥2时，n越大，Pn越小解析：选ABC记玩家第i(i∈N)次抽盲盒并抽中奖品为事件Ai，依题意，P1＝eq\f(2,7)，P(Aneq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(An－1)))＝eq\f(1,3)，P(Aneq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)n－1)))＝eq\f(1,2)，Pn＝P(An)，P2＝P(A2)＝P(A1)P(A2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(A1)))＋P(eq\x\to(A)1)P(A2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)1)))＝eq\f(2,7)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,7)))×eq\f(1,2)＝eq\f(19,42)，A正确；P(An)＝P(An－1)P(Aneq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(An－1)))＋P(eq\x\to(A)n－1)·P(Aneq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)n－1)))，所以Pn＝eq\f(1,3)Pn－1＋eq\f(1,2)(1－Pn－1)＝－eq\f(1,6)Pn－1＋eq\f(1,2)，所以Pn－eq\f(3,7)＝－eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn－1－\f(3,7)))，又因为P1＝eq\f(2,7)，则P1－eq\f(3,7)＝－eq\f(1,7)≠0，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(3,7)))是首项为－eq\f(1,7)，公比为－eq\f(1,6)的等比数列，B正确；由B项可知，Pn－eq\f(3,7)＝－eq\f(1,7)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))n－1，则Pn＝eq\f(3,7)－eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))n－1，当n为奇数时，Pn＝eq\f(3,7)－eq\f(1,7·6n－1)<eq\f(3,7)<eq\f(19,42)，当n为偶数时，Pn＝eq\f(3,7)＋eq\f(1,7·6n－1)，则Pn随着n的增大而减小，所以Pn≤P2＝eq\f(19,42).综上所述，对任意的n∈N，Pn≤eq\f(19,42)，C正确；因为Pn＝eq\f(3,7)－eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))n－1，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn))为摆动数列，D错误．故选A、B、C.8．(2023·温州二模)若数列a1，a2，a3，a4满足a1＋a4＝a2＋a3，则称此数列为“准等差数列”．现从1,2，…，9,10这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是________．解析：和为5有2种组合，和为6有2种组合，和为7有3种组合，和为8有3种组合，和为9有4种组合，和为10有4种组合，和为11有5种组合，和为12有4种组合，和为13有4种组合，和为14有3种组合，和为15有3种组合，和为16有2种组合，和为17有2种组合，所以P＝eq\f(4×C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5),C\o\al(4,10))＝eq\f(5,21).答案：eq\f(5,21)9．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.(1)计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；(2)王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为X，求n的值使得P(X＝1)取得最大值．解：(1)设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.所以王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.(2)由题意，X的可能取值有0,1,2,3，由超几何分布可知P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,n),C\o\al(3,n＋5))＝eq\f(15nn－1,n＋5n＋4n＋3).令an＝eq\f(15nn－1,n＋5n＋4n＋3)，因为n∈N，所以an＋1≥an，可得(n＋1)(n＋3)≥(n＋6)(n－1)，解得n≤9.易知当n＝9和n＝10时，P(X＝1)的值相等．所以当n＝9或10时，P(X＝1)有最大值，为eq\f(45,91)，即当n的值为9或10时，P(X＝1)取得最大值．10．现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中(允许有空盒)．(1)记盒子乙中的小球个数为随机变量X，求X的数学期望；(2)对于两个不互相独立的事件M，N，若P(M)>0，P(N)>0，则称ρ(M，N)＝eq\f(PMN－PMPN,\r(PMP\x\to(M)PNP\x\to(N)))为事件M，N的相关系数．①若ρ(M，N)>0，求证：P(M|N)>P(M)；②若事件M：盒子乙不空，事件N：至少有两个盒子不空，求ρ(M，N)．解：(1)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，故E(X)＝4×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).(2)①证明：因为ρ(M，N)＝eq\f(PMN－PMPN,\r(PMP\x\to(M)PNP\x\to(N)))，且ρ(M，N)>0，所以P(MN)－P(M)P(N)>0，即eq\f(PMN,PN)>P(M)．而P(M|N)＝eq\f(PMN,PN)，所以P(M|N)>P(M)．②事件M：盒子乙不空，则事件eq\x\to(M)：盒子乙空，由(1)可知P(eq\x\to