聚焦中考数学复习知识点第44课解直角三角形的应用

第44课解直角三角形的应用基础知识题型分类要点梳理题型一利用解直角三角形测量物体

的高度(宽度)基础自测题型二利用解直角三角形解决航海

问题题型三利用解直角三角形解决坡度

问题易错警示34.应用三角函数解决实际问题知识点索引要点梳理基础知识·自主学习知识点索引直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题．1.铅垂线：重力线方向的直线．2.水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．6.坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引3.仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．4.俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．5.坡角：坡面与水平面的夹角．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引7.方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于

90°的锐角叫做方向角．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引8.应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：

(1)解直角三角形时，当已知条件中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，则用正切；

(2)计算结果的精确度，一般来说中间量要比最后结果多精确一位；

(3)在题目中求未知量时，应尽量直接由已知条件求未知量；

(4)遇到非直角三角形时，通常作辅助线，引三角形一边上的高，建构直角三角形，应用解直角三角形的知识来解答．基础自测基础知识·自主学习知识点索引基础自测基础知识·自主学习知识点索引基础自测基础知识·自主学习知识点索引B基础自测基础知识·自主学习知识点索引基础自测基础知识·自主学习知识点索引基础自测基础知识·自主学习知识点索引B基础自测基础知识·自主学习知识点索引B基础自测基础知识·自主学习知识点索引基础自测基础知识·自主学习知识点索引基础自测基础知识·自主学习知识点索引A基础自测基础知识·自主学习知识点索引5.(中考真题-苏州)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝

4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为

(

)基础自测基础知识·自主学习知识点索引基础自测基础知识·自主学习知识点索引5.(中考真题-苏州)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝

4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为

(

)C题型一利用解直角三角形测量物体的高度(宽度)题型分类·深度剖析知识点索引【例1】

(中考真题-南京)如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1m(即BD＝1m)到达

CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，

tan51°18′≈1.248)题型一利用解直角三角形测量物体的高度(宽度)题型分类·深度剖析知识点索引题型一利用解直角三角形测量物体的高度(宽度)题型分类·深度剖析知识点索引探究提高解直角三角形时，若所求的元素不能在一个直角三角形中解决，则可在两个或多个直角事件中，通过寻找等量关系，列方程或方程组解决问题．此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．题型分类·深度剖析助学微博知识点索引

利用解直角三角形解决实际问题的方法技巧

将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形．寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．从要求的量所在的直角三角形分析，解之，若条件不足，转而先去解所缺条件所在的直角三角形，然后返回；若条件仍不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部已知条件挂上钩，然后层层返回．题型一利用解直角三角形测量物体的高度(宽度)题型分类·深度剖析知识点索引变式训练1

(中考真题-宁波)如图，从A地到B地的公路需经过C

地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．

(1)求改直的公路AB的长；

(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？

(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，

tan37°≈0.75)题型一利用解直角三角形测量物体的高度(宽度)题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈10×0.42＝4.2(千米)，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈10×0.91＝9.1(千米)，在Rt△BCH中，BH＝CH÷tan∠CBA＝4.2÷tan37°≈4.2÷0.75＝5.6(千米)，∴AB＝AH＋BH＝9.1＋5.6＝14.7(千米)．即改直的公路AB的长14.7(千米)．题型一利用解直角三角形测量物体的高度(宽度)题型分类·深度剖析知识点索引(2)在Rt△BCH中，BC＝CH÷sin∠CBA＝4.2÷sin37°≈4.2÷0.6＝7(千米)，则AC＋BC－AB＝10＋7－14.7＝2.3(千米)．答：公路改直后比原来缩短了2.3(千米)．题型二利用解直角三角形解决航海问题题型分类·深度剖析知识点索引【例

2】

(中考真题-南充)马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我国两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，

tan36.5°≈0.75)．题型二利用解直角三角形解决航海问题题型分类·深度剖析知识点索引(1)求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；

(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．题型二利用解直角三角形解决航海问题题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)过点P作PE⊥AB于点E，由题意得，∠PAE＝90°－53.5°＝36.5°，∠PBA＝45，设PE为x海里，则BE＝PE＝x(海里)，∵AB＝140，∴AE＝140－x，解得：x＝60(海里)，即可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为60海里．题型二利用解直角三角形解决航海问题题型分类·深度剖析知识点索引(2)在Rt△PBE中，PE＝60，∠PBE＝45°，∴AP＝PE÷sin∠PAE≈60÷0.6＝100(海里)，∴A船需要的时间为：100÷40＝2.5(小时)，∵2.83＞2.5，∴A船先到达．题型二利用解直角三角形解决航海问题题型分类·深度剖析知识点索引探究提高求与三角形有关的实际问题，一般是转化为直角三角形或相似三角形、全等三角形来解．航海问题应从各个方位角中计算出角的大小，再直接利用直角三角形求实际问题．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的定义，并利用三角函数值计算有关线段．题型二利用解直角三角形解决航海问题题型分类·深度剖析知识点索引题型二利用解直角三角形解决航海问题题型分类·深度剖析知识点索引题型二利用解直角三角形解决航海问题题型分类·深度剖析知识点索引解(1)如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，解得：x＝100，∴AC＝2x＝200.在△ACD中，∵∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，∴∠ACD＝45°.题型二利用解直角三角形解决航海问题题型分类·深度剖析知识点索引题型二利用解直角三角形解决航海问题题型分类·深度剖析知识点索引∵127＞100，∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．题型三利用解直角三角形解决坡度问题题型分类·深度剖析知识点索引【例3】

(中考真题-莱芜)如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米)(参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20)题型三利用解直角三角形解决坡度问题题型分类·深度剖析知识点索引解过A点作AE⊥CD于E.在Rt△ABE中，∵∠ABE＝62°，∴AE＝AB·sin62°≈25×0.88＝22，BE＝AB·cos62°≈25×0.47＝11.75，在Rt△ADE中，∵∠ADB＝50°，故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．题型三利用解直角三角形解决坡度问题题型分类·深度剖析知识点索引探究提高解决有关坡度、坡角问题，把关于梯形的计算通过作高线转化成关于直角三角形的计算是解决问题的基本思路．本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边是解决此类题目的基本出发点．题型三利用解直角三角形解决坡度问题题型分类·深度剖析知识点索引变式训练3

(中考真题-山西)如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′、

BB′、CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度

i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．)题型三利用解直角三角形解决坡度问题题型分类·深度剖析知识点索引解过点A作AE⊥CC′于点E，交BB′于点F，过点B作BD⊥CC′于点D，则△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四边形AA′B′F，BB′C′D和BFED都是矩形，∴BF＝BB′－B′F＝BB′－AA′＝310－110＝200，CD＝CC′－C′D＝CC′－BB′＝710－310＝400，∵i1＝1∶2，i2＝1∶1，∴AF＝2BF＝400，BD＝CD＝400，题型三利用解直角三角形解决坡度问题题型分类·深度剖析知识点索引又∵EF＝BD＝400，DE＝BF＝200，∴AE＝AF＋EF＝800，CE＝CD＋DE＝600，答：钢缆AC的长度是1000米．题型分类·深度剖析易错警示系列易错警示系列34应用三角函数解决实际问题

知识点索引试题如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高

2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶

A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离(B、F、C在一条直线上)．题型分类·深度剖析易错警示系列易错警示系列34应用三角函数解决实际问题

知识点索引(1