明德 第三章 复变函数积分

第3章复变函数的积分

复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的.

在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念.§1复变函数的积分的概念定义1

如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：

(1)如果曲线C是开口弧段，若规定它的端点P为起点，Q为终点，则沿曲线C从P到Q的方向为曲线C的正方向（简称正向），把正向曲线记为C或C+

.而由Q到P的方向称为的负方向（简称负向），负向曲线记为C-

.(2)如果c是简单闭曲线，通常规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向．(3)如果c是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则c的正方向这样规定：当人沿曲线c行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向．(一)复变函数的积分的概念

说明：根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的义得到

(二)积分存在的条件与计算

说明:

回顾:对坐标的曲线积分的计算法在有向光滑弧L上有定义且L

的参数方程为则有：连续,(3)

设光滑曲线----参数方程法计算复积分三、复积分的性质(p58)(三)

复积分的基本性质复变函数的积分定义与实变函数积分的定义类似,不难推得积分有下列简单的性质,与实变函数中定积分的性质相类似.其中,是与两点之间弧段的长度.根据积分定义，令即得性质(5).估值不等式事实上,(5)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足则

【解】直线的参数方程可写成

(四)复积分的计算典型实例注：积分曲线的起点、终点一样，但走法不同，但积分数值一样,说明此函数f(z)=z的积分与路径无关。注：积分曲线的起点、终点一样，但走法不同，积分数值不一样,说明此函数f(z)=Re(z)的积分与路径有关。综上所述：注：这个积分结果以后常用，它的特点是：积分结果与圆周的中心和半径无关．

什么样的函数满足什么条件时,积分与路径无关?即：(一)定理1：(柯西—古萨基本积分定理)—柯西定理§2柯西-古萨基本定理说明：(3)定理中曲线C不必是简单的,如图。BC(二)典型例题例1解根据柯西－古萨定理,有

§3基本定理推广—复合闭路定理.…(一)复合闭路的概念(二)复合闭路定理(2)特别的，若n=1时，有？.…(1)以n=2证明此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过f(z)的不解析点—闭路变形原理D

CC1C1C1例1

求积分其中G为含z0的解因为z0在闭曲线G的内部,任意分段光滑的简单闭曲线,n为整数.故可取充分小的正数r

,使得圆周含在G的内部.再利用第一小节结果根据,(三)例题例2解C1C21xyo通过此题，可见：借助复合闭路定理，可以将积分曲线内部有多处不解析点的积分问题,转化为一些只有一处不解析点的积分的和.这是处理积分常用的一种方法。-----复合闭路定理的作用Th1:设f(z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分∫cf(z)dz与路径无关，只与起点和终点有关。§4原函数与不定积分(一)两个重要的定理当起点固定在z0,终点z在B内变动,在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作给出什么样的函数积分与路径无关Th2设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且

这个定理跟微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似,在此基础上,我们也可以得出类似于微积分学中的基本定理和牛顿-莱布尼兹公式.先引入原函数的概念.说明:

(1)上面定理表明是f(z)的一个原函数。(2)设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。(二)原函数与不定积分的概念定义1若函数F(z)

在区域B内的导数等于f(z)，即,称F(z)为f(z)在B内的原函数.(三)

解析函数的积分计算公式定义2设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式。例1计算下列积分：解1)

例2此方法使用了微积分中“分部积分法”例3解(使用了微积分学中的“凑微分”法)分析DCz0C1DCz0C1∴猜想积分特别的,(一)定理(Cauchy积分公式)§5Cauchy积分公式说明:（3）知道解析函数在曲线C边界上的值，则它在区域内部的值就完全确定了；换句话说，对于解析函数，它的内部的值可以通过边界上的值表示。所以：如果两个解析函数在区域边界上处处相等，则它们在整个区域上也恒等。（4）可由函数在定点的值计算积分。例1解(二)Cauchy积分公式的应用例2解CC1C21xyo例3解EX1计算积分,其中C为圆周:总结此积分的方法：（1）首先寻找被积函数的奇点；（2）找出积分曲线；（3）观察积分曲线与奇点的关系（4）结合复合闭路定理与Cauchy积分公式求解；形式上，定理§6解析函数的高阶导数说明：

（2）高阶导数公式提供了计算一类函数的积分方法

例1解计算积分的方法小结：（1）应用牛顿—莱布尼茨公式(非环路积分)（2）环路的积分，以柯西积分定理,复合闭路定理为依据,以柯西积分公式，高阶求导公式为工具求解。（3）写出曲线参数形式，化为一元实积分；(4)第5章介绍用留数计算积分.定义