浙江省玉环市玉城中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题

玉城中学2021-2022学年第一学期高一第一次月考数学试卷一、单项选择题（每小题5分，共8小题40分）1.已知是第二象限角，且，则（）A.B.C. D.2.已知向量与的夹角是,且,,若,则实数的值为()A.B.C. D.3.在中,角,,的对边分别为,,,已知,,,则()A.B.C. D.4.若两个单位向量的夹角为,则()A.B.C.D.5.设复数满足,则()A.B.C. D.6.在中,角,,所对的边分别为,,,则“”,是“为锐角三角形”的()条件A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要7.已知平形四边形的对角线分别为，且，点是上靠近的四等分点，则（）A.B.

C.D.8.已知是边长为的正的边上的动点,为的中点,则的取值范围是()A.B.C. D.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9.已知复数,其中是虚数单位,则下列结论正确的是()A.的模等于B.在复平面内对应的点位于第四象限

C.的共轭复数为D.若是纯虚数,则10.已知向量,,则下列选项正确的有()A. B.

C. D.11.在中,下列命题正确的是()A.B.

C.点O为的内一点,且,则为等腰三角形

D.,则为锐角三角形12.中,角的对边分别为.下列四个论断正确的是()A.若,则

B.若,,,则满足条件的三角形共有两个

C.若且则为正三角形

D.若,,,则三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知向量,,.若,则__________.14.在中,,最大边和最小边边长是方程的两实根,则边长等于__________.15.设向量,若与的夹角为锐角,则实数的取值范围__________16.如图，已知正方形的边长为1，在延长线上，且．动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，则下列命题正确的是__________.（填上所有正确命题的序号）．①;②当点为中点时，;③的最大值为3;④若，则点有且只有一个;⑤的最大值为1．四、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)（1）在复数集C中解下列方程：；（2）已知，求。18.(本小题满分14分)已知平行四边形ABCD中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．(1)用表示向量；(2)求证：M，N，C三点共线．19.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，eq\r(3))，点M满足，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图．(1)求∠OCM的余弦值；(2)是否存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．20.(本小题满分15分)一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2000km.（1）求飞机从B地到C地的距离．（2）求飞机从B地到C地的方向．21.(本小题满分15分)在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)＝3bc，（1）若sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．（2）若BC＝3，求锐角△ABC周长的范围。

2021学年第一学期玉城中学高一下第一次月考数学答案1.A∵是第二象限角，∴，∴.2.B由已知,,即,所以,即.3.D因为,,,由余弦定理得,即,∴,∴或(舍).故选:D.4.C由两个单位向量的夹角为,可得.所以.5.A,.故选A.6.C中,,∴,,因为,,所以为锐角.当为锐角时,不一定为锐角三角形;当为锐角三角形时,一定为锐角.所以“”是“为锐角三角形”的必要非充分条件.7.D，点是上靠近的四等分点,∴，∴，∵,，8.A取的中点,以为原点,直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则:,,,设,,∴,,∴,且,∴时,取最小值;时,取最大值,∴的取值范围是.9.BD因为,所以,因此A项错误;复数在复平面内对应的点为点,位于第四象限,B项正确;的共轭复数,C项错误;因为为纯虚数,所以,,得,故D项正确.1O.ABD由题意,对于选项A,,所以,故A选项正确;对于选项B,,所以,所以,故B选项正确;对于选项C,,,,所以,故C选项错误;对于选项D,,,即,故D选项正确.11.BC①由向量的减法法则可知:,题中的说法错误;②由向量加法的三角形法则可得:,题中的说法正确;③因为,即;又因为,所以,即,所以是等腰三角形,题中的说法正确;④若,则,据此可知为锐角,无法确定为锐角三角形,题中的说法错误.12.AC由正弦定理的边化角公式可得,由于为三角形的内角,则,故A正确;由于,则,,即满足条件的三角形只有一个,故B错误;由正弦定理的角化边公式得.又,所以,所以,则为正三角形,故C正确;由三角形面积公式得,解得,则,故D错误.13.,∵,∴,解得.14.7方程的两实根显然不相等,∴不是等边三角形,∵,∴,不是最大角也不是最小角,∴最大边和最小边是,.∴,是方程的两实根,∴,,,.15.与的夹角为锐角,.16.①②③⑤点的运动分四部分：(1)当点在之间时，设，此时，．.(2)当点在之间时，设，则，，.同理，(3)当点在之间时，设，则，且．.(4)当点在之间时，设，则，且，.由以上四种情况，易知①③正确．在(4)中，令，则，故②正确．在(2)中，即点为中点时，．在(3)中，即点与点重合时，，故满足的点有两个，所以④错误．对以上四种情况分别求，(1)，(2)，(3)，(4)，综合四种情况知，的最大值为1，⑤正确.综上正确的命题有①②③⑤．解：（1）。（2）18．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝a.∵M为AB的中点，∴eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋a.∵N为BD上靠近B的三等分点，∴eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b－a)＋a＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.(2)证明：由(1)知eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MC,\s\up6(→))，又eq\o(NC,\s\up6(→))与eq\o(MC,\s\up6(→))有公共点C，∴M，N，C三点共线．19.解：（1）如下图，设A地在东西基线和南北基线的交点处．则A(0,0)，B(－1000cos30°，1000sin30°)，即B(－500eq\r(3)，500)，C(－2000cos30°，－2000sin30°)，即C(－1000eq\r(3)，－1000)．∴eq\o(BC,\s\up16(→))＝(－500eq\r(3)，－1500)．∴|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝eq\r(－500\r(3)2＋－15002)＝1000eq\r(3)(km)．（2）设正南方向的单位向量为j＝(0，－1)，则eq\o(BC,\s\up16(→))与正南方向的夹角θ满足cosθ＝eq\f(\o(BC,\s\up16(→))·j,|\o(BC,\s\up16(→))||j|)＝eq\f(1500,1000\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴θ＝30°，由图形可知eq\o(BC,\s\up16(→))的方向是南偏西30°20.解：(1)由题意可得eq\o(OA,\s\up16(→))＝(6,0)，eq\o(OC,\s\up16(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＝(3,0)，eq\o(CM,\s\up16(→))＝(2，－eq\r(3))，eq\o(CO,\s\up16(→))＝(－1，－eq\r(3))，所以cos∠OCM＝cos〈eq\o(CO,\s\up16(→))，eq\o(CM,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(CO,\s\up16(→))·\o(CM,\s\up16(→)),|\o(CO,\s\up16(→))||\o(CM,\s\up16(→))|)＝eq\f(\r(7),14).(2)设P(t，eq\r(3))，其中1≤t≤5，λeq\o(OP,\s\up16(→))＝(λt，eq\r(3)λ)，eq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OP,\s\up16(→))＝(6－λt，－eq\r(3)λ)，eq\o(CM,\s\up16(→))＝(2，－eq\r(3))，若(eq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OP,\s\up16(→)))⊥eq\o(CM,\s\up16(→))，则(eq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OP,\s\up16(→)))·eq\o(CM,\s\up16(→))＝0，即1