高考数学二轮复习简易通 计数原理、概率与统计 倒数第4天 理科

倒数第4天计数原理、概率与统计[保温特训](时间：40分钟)1．用0、1、2、3组成个位数字不是1且没有重复数字的四位数共有()．A．10个B．12个C．14个D．16个解析分两类：一类是0放个位，有Aeq\o\al(3,3)＝6个；另一类0放十位或百位，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8个，故共有6＋8＝14个．答案C2．二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n的展开式中各项系数的和为()．A．32B．－32C．0D．1解析令x＝1可得各项系数的和为0.答案C3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X<0)＝()．A．0.68B．0.32C．0.16D．0.84解析P(X<0)＝P(X>4)＝1－P(X≤4)＝0.16.答案C4．如图是根据某校10名高一学生的身高(单位：cm)数据画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，则这10名学生身高数据的中位数是()．A．161B．162C．163D．164解析中位数为eq\f(161＋163,2)＝162.答案B5．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为()．A．65辆 B．76辆C．88辆 D．95辆解析时速超过60km/h的汽车数量为200×(0.010＋0.028)×10＝76(辆)．答案B6．某公司有普通职员150人，中级管理人员40人，高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，若在已抽取的40人的答卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为()．A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,20)D.eq\f(1,100)解析由分层抽样知，在普通职员中抽30人，中级管理人员中抽8人，高级管理人员中抽2人，由古典概型知，所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为eq\f(1,20).答案C7．若在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机取一个数x，则cosx的值介于0和eq\f(1,2)之间的概率为()．A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,π)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析当－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)时，由0≤cosx≤eq\f(1,2)，得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，根据几何概型的概率P＝eq\f(\f(π,6)＋\f(π,6),π)＝eq\f(1,3).答案A8．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有()．A．720种B．520种C．600种D．360种解析分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种．共有：Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝600(种)．答案C9.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()．A．360B．180C．90D．45解析二项式系数为Ceq\o\al(r,n)，只有第六项最大，即Ceq\o\al(5,n)最大，则n＝10，所以Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r(x))10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))r＝，由5－eq\f(5,2)r＝0得r＝2，故常数项为T3＝Ceq\o\al(2,10)22＝180.答案B10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加一个兴趣小组的概率为()．A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析甲、乙两位同学参加3个兴趣小组的种数有：3×3＝9种，其中甲、乙两位同学同时参加一个兴趣小组的种数有：3种，由古典概型得所求概率为：P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案A11．记圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域为D，随机地往圆O内投一个点A，则点A落在区域D内的概率是()．A.eq\f(4,π2)B.eq\f(4,π3)C.eq\f(2,π2)D.eq\f(2,π3)解析结合图形可得，D区域面积＝2eq\i\in(0,π,)sinxdx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cosx))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π,0))＝4，由几何概型可得概率为eq\f(4,π·π2)＝eq\f(4,π3).答案B12．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌是7种，则n＝________.解析由题可知，四种商品的总数为30＋10＋35＋25＝100，而在35种婴幼儿奶粉的品牌中抽取了7种，所以抽取的概率为eq\f(7,35)＝eq\f(1,5)，所以需要抽取的样本容量为100×eq\f(1,5)＝20，故样本容量为20.答案2013．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有________种．解析排法种数有：Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24.答案2414．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－2\r(3,x)))11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则eq\i\in(0,1,)xαdx＝________.解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,11)·(3eq\r(x))11－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\r(3,x)))r＝Ceq\o\al(r,11)·311－r·(－2)r·，r＝0,1，…，11，其中只有第4项和第10项是有理项，故所求概率为eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).答案eq\f(6,7)15．辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为eq\f(4,5)、eq\f(2,3)、eq\f(2,3)，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列．(3)求X的数学期望．解(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P(E)＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,5)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(44,45).(2)由题意，得X的可能取值是eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，3.因为P(X＝eq\f(3,2))＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝eq\f(1,45)，P(X＝2)＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝eq\f(8,45)，P(X＝eq\f(5,2))＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(20,45)＝eq\f(4,9)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(16,45)，所以X的分布列为：Xeq\f(3,2)2eq\f(5,2)3Peq\f(1,45)eq\f(8,45)eq\f(4,9)eq\f(16,45)(3)由(2)知E(X)＝eq\f(3,2)×eq\f(1,45)＋2×eq\f(8,45)＋eq\f(5,2)×eq\f(4,9)＋3×eq\f(16,45)＝eq\f(231,90)＝eq\f(77,30).[知识排查]1．选用两个计数原理的关键是什么？(弄清分类与分步的区别)2．排列与组合的区别和联系你清楚吗？解决排列组合综合题可别忘了“合理分类、先选后排”啊！3．排列应用题的解决策略可有直接法和间接法；方法常用列表法、树状图法、优先排列法、捆绑法、插空法、隔板法；对附加条件的组合应用题，你对“含”与“不含”，“至多”与“至少”型题一定要注意分类或从反面入手啊！4．解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，多排问题单排法，定位问题优先法，定序问题倍缩法，多元问题分类法，选取问题先选后排法，至多至少问题间接法．5．求二项展开式特定项一般要用什么？(通项公式)求解二项展开式系数问题的常用方法是什么？6．二项式系数与项的系数的区别你清楚了吗？求系数问题可常用赋值法啊！求二项展开式中系数最大的项(或系数绝对值)最大的项你清楚方法了吗？可千万要注意解法技巧变形啊！7．二项式(a＋b)n展开式的各项的二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和、偶数项的二项式系数之和，奇次(偶次)项的二项式系数之和你能区别开吗？它们所有项的系数之和呢？8．四种概率公式你记熟了吗？是否注意到了每种概率公式应用的前提？9．概率应用题你有写“答语”习惯吗？你解答的步骤完整吗？10．数学期望和方差的计算公式记住了吗？二项分布的期望和方差公式又是什么？11．二项展