证明举例-添加辅助线的基本方法（第5课时）（教学课件）-（沪教版）

沪教版八年级上册

第18章正比例函数与反比例函数19.2证明举例—添加辅助线的基本方法（第5课时）目录1

学习目标2

新课讲解3

课本例题4

课本练习6随堂检测7课堂小结5

题型讲解学习目标1．通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路；2．能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质来证明有关线段相等、角相等的简单问题；3．知道添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线。复习引入：如图，从下列4个条件：

AB=A'B'

AC=A'C'

BC=B'C'④∠C=∠C'=90°⑤∠B=∠B'任取三个为题设，一个为结论组成一个真命题，简述理由。

复习：一.全等三角形的判定定理1、两条边及它们的夹角对应相等（S、A、S）2、两角及它们的夹边对应相等（A、S、A）3、两个角及其中一个角的对边对应相等（A、A、S）4、三边对应相等

（S、S、S）新课引入：

我们已用画图的方法说明了上述结论的正确性，用叠合法说明了1、2、3结论的正确性，今天我们尝试证明4的正确性。已知：如图，在△ABC与△A’B’C’中，AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A’求证：△ABC≌△A’B’C’探究1：如何运用现有的判定定理1，2，3证明例题9？例题9：已知:如图,在△ABC与△A’B’C’中,AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A’.求证:△ABC≌△A’B’C’.证明:设边BC最长.如图，把△ABC与△A’B’C’拼在一起，使边BC与B’C’重合，并使点A、A’在B’C’的两侧；再联结A’A.∵AB=A’B’,AC=A’C’(已知),∴∠1=∠2,∠3=∠4(等边对等角).∴∠1+∠3=∠2+∠4(等式性质).即∠B’A’C’=∠BAC.在△ABC与△A’B’C’中,AB=A’B’(已知)∠B’A’C’=∠BAC(已证)AC=A’C’(已知),∴△ABC≌△A’B’C’(S.A.S)例题9：已知:如图,在△ABC与△A’B’C’中,AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A’.求证:△ABC≌△A’B’C’.例题10：已知：四边形ABCD中，AB=DC，∠B=∠C求证：∠A=∠D探究2：如何证明两角相等？归纳：解题过程中使用到的辅助线添加方式，证明角相等的方法。例题10：已知：如图17-14,四边形ABCD中,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.方法一：证明:分别联结AC、DB(如图17-15).在△ABC与△DCB中,AB=DC(已知)∠ABC=∠DCB(已证)BC=CB(已知),∴△ABC≌△DCB(S.A.S)得AC=DB(全等三角形的对应边相等).在△ABD与△DCA中,DB=AC(已知)AB=DC(已知)AD=DA(公共边),∴△ABD≌△DCA(S.S.S)∴∠BAD=∠CDA(全等三角形的对应角相等).例题10：已知：如图17-14,四边形ABCD中,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.方法二：延长BA、CD交于点E，构造等腰三角形，利用等腰三角形的知识解决此题怎样添置辅助线要在以后的学习中不断实践、探索、领悟，要重视图形的运动对添线的启示，而构造基本图形以及补全图形是常用的添线方法.1.已知:如图,AC与BD相交于点O,且AC=BD,AD=BC.求证:OA=OB.课本练习2.已知:如图，点DE在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.如图，已知AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，AF⊥CD，垂足为点F.求证：CF=FD.证明：连接AC，AD.

∵在△ABC和△AED中，AB=AE，

∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SAS）.∴AC=AD.

又∵AF⊥CD，

∴CF=FD.

ABCDEF随堂检测2.如图,已知BA⊥AC,CD⊥DB,AC与BD相交于点O,AC=DB.求证:BA=CD.∴△ABC≌△DCB(HL),∴BA=CD.证明:连接BC.∵BA⊥AC,CD⊥DB,∴∠A=∠D=90°.3.如图,AB=AD,BC=DC,E,F分别是DC,BC的中点.求证:AE=AF.∴△ACD≌△ACB(SSS),∴∠ACE=∠ACF.∵BC=DC,E,F分别是DC,BC的中点,∴CE=CF,证明:连接AC.∴△ACE≌△ACF(SAS),∴AE=AF.4.如图,AD为△ABC的中线,点F在AC上,BF交AD于点E,且BE=AC.求证:AF=EF.∴△PDB≌△ADC(SAS),∴BP=AC,∠P=∠DAC.∵BE=AC,∴BE=BP,∴∠P=∠BEP.∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF.证明:延长AD至点P,使DP=DA,连接BP.P5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,

BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,求点D到AB的距离.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD.∵DE⊥AB,DC⊥AC,∴∠C=∠AED=90°.∵AD=AD,∴△ACD≌△AED(AAS),∴CD=DE.又∵BD∶DC=2∶1,BC=7.8,∴DE=DC=2.6.∴点D到AB的距离为2.6cm.解:过点D作DE⊥AB于点E.E在几何解题中,常常需要添加辅助线构造全等三角形,以沟通条件与结论之间的联系.构造全等三角形,添加辅助线常见类型有以下几种:(1)直接连线构