【高中资料】高中数学基础知识手册(理科)

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第一章集合与简易逻辑

一、集合知识

1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.

2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.

3.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.4.

集合运算：交、并、补.

5.主要性质：①《三8O4。8=AO41）8=8=Q,4U8=U

②Cu（AnB）=（CuA）u（CuB）Cu（AuB）=（CuA）n（CuB）

6.设集合A中有n个元素，则①A的子集个数为2";②A的真子集个数为2"-1;

③A的非空子集个数为2"-1；④A的非空真子集个数为2"-2.

7.空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集

二,含绝对值不等式、一元二次不等式的解法

1.整式不等式的解法：①一元一次不等式ax>b的解集（分a>。或a<0）

②一元二次不等式ax'+bx+c>0（a>0）的解集：（大于取两边，小于取中间）

③一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：X的系数全化为正，从右到左、从上到

下，奇（次寨）穿，偶（次靠）穿而不过）

2.分式不等式的解法

f（x）f（x）f(x)g(x)20

>0。f（x）g（x）>0;-----ZOO（移项通分，不能去分母）

g（x）--------------------g（x）g(x)HO

3.含绝对值不等式的解法

\ax+b\<c,与|ax+>c（c>0）型的不等式的解法.

（将X的系数化为正，大于取两边，小于取中间）

三.简易逻辑

1.构成复合命题的形式：P或q（记作“pvq”）（一真则真）；

P且q（记作“pAq”）（一假则假）；非P（记作“iq”）（真假相反）。

2.四种命题的形式：原命题：若P则q；逆命题：若q则p；

否命题：若1P则1q；逆否命题：若1q则1Po

（原命题o逆否命题）

3、充要条件：

4、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出（与

已知、公理、定理…）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，

这样的证明方法叫做反证法。

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第二章函数

一、函数与映射

1.映射的性质：从A到B的映射：①A中不能有剩余元素，B中可以有剩余元素，

②允许多对一，不允许一对多。③若A有3个元素，B有4个元素，则有4个映射。

2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

二、函数的性质

(1)奇偶性(在整个定义域内考虑定义域是否关于原点对称)

奇函数：f(-x)=-f(x)、图象关于原点对称，在两个对称区间具有相同的单调性；

偶函数：f(-x)=f(x)、图象关于y轴对称，在两个对称区间具有相反的单调性；

常用的结论：若f(x)是奇函数，且0€定义域，则〃0)=。或〃T)=-f⑴；

若f(x)是偶函数，则f(T)=f⑴；反之不然。

常见的奇函数：①y=lg(X+Jx?+1)②y=lg----③y=e*-er

1-X

—11'e"-1Vl-X2

@y=------—⑤y=——⑥y=i----；—

22+1e+1|x+2|-2

,、1+cosx—sinx

非奇非偶函数：f(x)=--------------.

1+cosx+sinx

(2)单调性(在定义域的某一个子集内考虑)

①定义法步骤：a.设%x2eA且X[<x2;b.作差f(x1)-f(x2);c.判断正负号。

axbb-aca

②掌握函数y=----=a+-----(6-ac^0);y=x+-(a>0)的图象和性质；

x+cx+cx

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当b-ac>0时：

单在(—co,-Va-］和y/~3,+oo)

在(-8,-C)和(C,+OO)上单调递减；

上单调递增；

调

当b-ac<0时：

在［-J£o)和(0,yfa］上单

(-co,—C)和(C,+00)

性

$-----------------

调递增。

③一些有用的结论：.在的赧定义域内f(x)+g(x)

增函数f(x)-增函数g(x)是增函数；减函数f(x)-减函数g(x)是减函数；

增函数f减函数=f(悬增函数；减函数增函数是减函数。

(3)函数的周期性：

①y=f(x)对xeR时,f(x+a)=f(x-a)(a>0)恒成立，则y=f(x)的周期为2a;

②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)的周期为2|a|;

③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称,上lf(x)的周期为4|a|;|a|

f(x)

④y=f(x)对xeR时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,贝Uy=f(x)的周期为2;

三、函数的图象

1、基本函数的图象：(1)一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、

(4)指数函数、(5)对数函数、(6)三角函数。

2、图象的变换：⑴坪移换(先表示成疔f(x):左加右城，上加下减。)

(2)对称变换：函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称；

函数y=f(x)与函数y=-f(-x的图象关于轴对称；

函数与函数的图象关于坐标原点对称；

②如果对于函数y=f(x渚B有f(x+a)=f(a-x),那么y=f(x)的图象关于直线x=酶躲。

2

如果对于函数y=f(x嘟有f(x+a尸f(b-x),那么y=f(x)的图象关于直线对称。

y=f(x)-»y=|f(x)|x

③y=f(x)-y=(把轴/方的图象翻折到上方)

@y=f-\x)y=f(x)(擦隼=轴左侧的图象，瘠面侧幽图象对辆左侧)

⑤与y=俵声真第=f(谢郁a继烦：

(3)伸缩变换：②系数变小伸长；系数变大缩短。

四、函数的反函数y=f")(xeQy=f")

x束联函数的步骤：①求原函教x),y=f诏值域Qxw卷把看作方程，解

;乂,y互换的的反函数为:;

第3页供21页)

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五、求函数的值域的常用解题方法：

①配方法。如函数y=x4-，+1的值域，特点是可化为二次函数的形式;

②换元法：如y=Jl-2x+x③单调性：如函数y=2'+log2xxe[1,2]

x-2x4-3

④判别式法法）如函数

⑤利用函数的图像：如函数y=|x+3|+|x-2|⑥利用反函数：如函数y=-----------

24-sinx

2

⑦利用基本不等式：如函数y=-一⑧.方程k=f(x)有解OkeD(D为f(x)的值域)；

x+3

®.a>f(x)<=»>[f(x)]max,;a<f(x)[f(x)]min;

六、指数、对数的性质：

m/m

1.指数运算：a=1(a0),a:=—(aH0),an=\"a"(a0),an=-^(a>0)

ap

2.三二三三:Jog/M-X)=tagaMd-tag三XW>CLX>□

n

loga—=logaM-logaN,logaAI'M=-logaM,logmb=—logab

Nn3m

：3k

对数恒等式：a=x(x>0),loga3=k(keR)

对数换底公式：1因3》=也±

logca

3.logab的符号由口诀“同正异负”记忆;如：log23>0..…log15<o0

2

七、复合函数单调性：y=f（x）与g（x）：同增同减为增，一增一减为减。

第三章数列

--数列及数列的通项公式

a,=S.（n=1）

1.数列的前n项和：S„=a,+a2+ai+-+an2.数列的通项公式：a。='

3.递推公式：已知数列｛a.｝的第一项（或前几项），且任一项a.与它的前一项a.T（或前几项）

间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。

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二.等差数列

1.定义:即：三一一三一=士-二2.三一二。.q=O：i。•:M/我等差敷列

2.判定方法：①定义法：an+1-a„=d（常数）；②等差中项法：2antl=a.+an+2。

3.通项公式：若首项是2,公差是d,则通项为a.=a,+（"-1）d。是关于n的一次函数。

4.等差数列的前n项和：①s-也山②〃=%+迎二^

22

对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二次函数（充要条件）。

5.等差中项：如果a,A,b成等差数列，贝IJ有4=/或24=a+b

2

6.等差数列的性质：①.等差数列任意两项间的关系:如果a.是等差数列的第0项，

a”是等差数列的第m项，且mW",公差为d,则有a.=a„,+（〃一m）d

②.若n+m=p+q,贝lja”+a6=a0+a。。

③.S.是其前n项的和，kGN,那么S*,S^k—S卜,S3*—S2*成等差数列。

④.s奇是奇数项的和，s偶是偶数项的和，s“是前n项的和，

结论：（i）若有偶数项2“项，则S奇・":“a"；s^=^^-n=n-an+1

所以有仁一S奇=@N—a.4-i：a4—a3j-…+i>2r—J=~

（ii）若有奇数项20+i项，则s*=曳上多江9+1）=22（"+1）

2

a,+a2n/S奇+S禺=an+,-（2n+1）=（2n+1）at-

Sfffi=­：a=a"+L"S-S=a=a

2[?奇，禺_an+i_a中

n+1S+S

.n=«=2/7+1

S偶nS奇一S偶S奇一S偶

⑤.若等差数列｛a〃｝的前2〃-1项的和为Szi，等差数列他.｝的前2"T项的和为马1，

则乏.=2匕。（比如：阻=';9=a_）

472°.14117%「91

三.等比数列

1.定义:-^―=q（n>2,an=0,q工0）O｛%｝成等比数列

an-i

2.等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么？=色，即G?=ab。

aG

3.等比数列的判定方法：

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⑴定义法：对于数列｛a.｝,若况=q(qwo),则数列｛a.｝是等比数列。

%

⑵等比中项：对于数列｛a.｝,若a.a.+2=a>(a.WO),则数列｛a.｝是等比数列。

n

4.等比数列的通项公式：a.=ayq-'。

na,(g=1)

5.等比数列的前n项和：S.=｛a*1—q")_a】-a7,

Ii-Q-q

6.等比数列的性质：

⑴.笑比数列任意两项间的美系：如果3是等比数列的第0项，a.是等差数列的第m项,

且公比为9,则有a.=a„,q"f

⑵.对于等比数列｛a.｝,若=+m=p+q,则a.•a„,=a°•a°

⑶.若数列｛%｝是等比数列,s.是其前n项的和，kwN”，那么s«,slk-skts3k-s2k

成等比数列。

四.数列的通项求法：(1)等差，等比数列的通项公式；

⑵已知S.求a「则有a,=(3)累乘法：形如二J=g(〃)

S„-S,_v(n>2)an_,

(4)累加法:形如a“—a/_.=f(〃),(〃N2)；(5)构造法:形如a.+,—pan+q.

五.数列的求和方法：(1)公式法：即等差与等比数列的公式；

(2)裂项相消法：如：a..1=一；—=-一一—

n(n+1)n/7+1

(3)错位相减法:a.=b.-c“,应｝为等差数列.｛c,为等比数列

⑷倒序相加法：如an="c"；⑸分组求和法：a=b+c如：an=2n+3n

六.其他结论：

1、3.匕£等至数习O2一=4。+£OS_=a”=+fin

⑴｛a“｝成等差数列o/｝成等比数列

⑵a一成等比数列n｛a：｝成等匕傲列；⑸｝成等比数列支Qog,a,｝成等差数列

2、在等差数列｛a)中，⑴当a>o，d<0时，满足［%20的项数m使得取最大值.

InJ1I/cm

第6贡(共21时

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a<0

(2)当％<0,d>0时，满足皿m的项数m使得Sg取最小值。

[a—二0

3、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

4、三个数成等比的设法：a/q,a,aq;

第四章三角函数

一、基本概念和知识要点

、，yxyxrr

1.三角函数定义：sin,cosa--,tana--,cota--,sec<7=—,esc<?=—0

rrxyxy

2.同角三角函数的关系中，平方关系是：sin2^+cos2o=1；cos2a=——二一；

-----------------------------1+tan^7

sinQcosQ

倒数关系是：tanc•cot。=1,商数关系是：tan。=-----,cota=---------。

------------------------cosasina

3.诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限(二的奇、偶数倍)。

2

「3"15/7

如：sin(-------a)——cosa,cot(----------a)=tana,tan(3zr-67)=-tan<7o

2-----------2---------------------

4、三角函数的图象：

V-cos.

y=tanx（略）

5.函数y=Asin(%+0)+8(其中4>0,5>0)的最大值是4+8,最小值为8-Z,周期

是T=----,频率是，=------,相位是以+0,初相是0；其图象的对称轴是直线

cu2"------------

6dx+(p=k7T+—(kGZ),对称中心为(x0,0),其中横坐标满足为wZ)。

2

6.三角函数的单调区间：y=sinx的递增区间是(k€Z)递减区间是

22

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n3〃

2kn+—,2k〃H------(kwZ);y=cosx的递增区间是[2k"-",2k〃](k£Z),递减区间

22

=tanx的递增区间是（k〃一,，A〃+C）,

是2k"+〃](A€Z),y

22

7.y=Asin（cox+ip）五点法作图：依次取u）x+ip=0,一,n,—,2n.

22

8.三角变换：（A>0,u）>0）①先平移变换，再伸缩变化

②先伸缩变化，再平移变化。（注：平移多少个单位，一定要把解析式中x的系数提出）

如将函数y=2sin（3x-2）+3的图象按a平移后得函数y=2sin3x的图象，则a

3

9.两角和与差公式：sin(a±/3)=sinqcos£±cosz?sin(3

tana±tan/3

cos(。七⑨=cosacossinosin/3tan(a±(3)=

1+tanQ-tan/3

10、二倍角公式是：sin2〃=2sin，・cos4

COS2^7=cos22-sin2^7=2cos2a-A=1-2sin2a

八2tanaa1—cosasinQ

tan2o----------------tan—=-

1-tan2sina1+coso

a

11、升鬲公式是：1+cos^7=2cos2—1—cos67=2sin—

22

降募公式是：sin2。=I-"'2a21+cos2a

12、cosa=----------------o

22

a1-tan2°a

2tan2tan

2

13、万能公式：sina-------------cosa---------------tan<7=

O

1+tan2—1+tan2—1-tan2—

222

14、特殊角的三角函数值：（自己总结）

b

15、正弦定理：（其中R表示三角形的外接圆半径）：'一=^=^—=2/?

sinAsinBsinC

2,2_人2

222

16、余弦定理第一形式：b=a+c-2accosB；第二形式：COsB=--------°

2ac

17、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，贝IJ：

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II

①S=—a・??=…；②S=—bcsin4=3；@S=2/?,sin4sin8sinC；

22

abc1

③S=-----；⑤S=-p「(p为^ABC的周长)

4R2

18、在^ABC中，①b=a-cosC+c-cos4,…②AVSOsinAVsing(充要条件)

③分小一印=anCcxs'A一%tanA一用=OnC

A+BCA+BCA+BC

④sin---------=cos—cos----------=sin—tan----------=cot—

222222

⑤方--Bn5-^arS=zar=zarSBnS

19.解斜三角形的常规思维方法是：

(1)已知两角和一边，由正弦定理求；(2)已知两边和夹角，应用余弦定理求c边；

(3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,

(4)已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+B+C=TT,求角C.

20.弧度制：M|=:,弧长公式：/=「同；扇形面积公式：s=；/r=；国/；

21.几个重要的三角变换：sinacosa可凑倍角公式；1士cosa可用升的公式；

asr17*bcos(2=\a-bsir口一夕(其中tan0=—)这一公式应用广泛。

a

22.函数y=sin(cox+(p):奇函数oA"(A£z).偶函数<=>0=k〃+,(keZ)

2

函数y=cos(cox+(p):奇函数u>0=k"+'(AeZ).偶函数0cp=kn(keZ).

2

第五章平面向量

1.向量的概念

(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。

(2)几种向量：零向量，单位向量，共线向量(平行向量)，相等向量，相反向量。

其中A(xi,yi),B(xy2)/

向量的坐标表示：AB=(x2-xi,y2-yi),21

(3)向量的运算①向量的加法与减法:定义与法则(如图5-1)：y

2区bcos。a

aaa图5-3

图5-1

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②坐标运算：a+b=(xi+X2,yi+y2),a-b=(xi-X2,yi-y2)o其中a=(xi,yi),b=(x2,y2)o

2.平面向量的数量积定义与法则(如图5-3)：

①向量的夹角：(0、夕4180°)②两个向量的数量积：)公|•||teos.0

其中|Z|co的称为向量Z在Z方向上的投影.

③向量的数量积的性质：若2=(不，匕)工=(々，力)

贝Ija,&xyx2+yyy2a.b<X>-a=0bOx,+y,y2=0

-*x.x,+y.y,>0-*x.x+y.y^<Q

a与b夹角为锐角o12；@与匕夹角为钝角o120八「

.(%,y2)WA(X2,y2)“，y2)HA(x2,y2)

3.定理与公式

①共线定理：向量]与非零向量Z共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得2=人；

结论：nb(bG)的充要条件是Xiy2-X2yi=0

②平面向量基本定理：如果[是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的

任一向量Z，有且只有一对实数儿，入2使>A1译21

③两向量垂直的充要条件(i)n3o之=P(ii)±a]xt*+yry2=0

④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数a、B，

使褊=a禧+Boc其中a+B=1.。为平面内异于A、B、C的任一点。

=22

⑤两点间的距离公式：17(*,-^,)+(y2-yj'其中Fi(xi,yi),P2(x2,y2)]

⑥点的平移公式：若点Po(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x',y)贝ij『一、十"，

y'=y+k.

⑦定比分点公式：若与p=/。已；1，P,己的坐标分别为(4外)，(x,y)，(x2,y2)；

x4-XxX、+X2_占+X?+X3

x=--------------X=—

则：.1+入中点坐标公式:.2重心公式：.3

卜=2+人小

+y2+几+%

y=1y=

、1+X23

第六章不等式

一、不等式的性质

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(3)a>b<x>a+c>b+c(frD法单调性(5)a—3>c=a>c-b(移项法贝J)

a>b]

(6)>=>a+c>b+d(同向不寺式可加)

c>d

a>b>ol

(8)=>ac>bd(同向正数不等式可乘)

c>d>0

(12)a>b>0=>1v1(正数不等式两边取倒数)

ab

二、常用的基本不等式和重要的不等式：

(1)a,beR,则a?+必N2ab,当且仅当a=b时取"=”号；

(2)a,bGR+,贝IJa+bZ24r；当且仅当2=》时取“=”号；

注：山--算术平均数"京--几何平均数

2

22.________

a+b3b9ch__.AI""2~.,2

⑶——N(—)2;-S而，山H；

22a+b2V2

/八#uc..a+ma_^b+mb

(4)若a、b、meR*,且na<b,则nt----->一或------<-；

b+mba+ma

三、最值定理(均值不等式)

(1)如积号=P淀值：.则和x+F有最小直27'P

(2)如和x+y=S(定值)，则积"有最大值(号产

2

即；积定和最小，和定积最大。注；运用最值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相等”

四、恒成立问题

如：关于X的不等式(a-2)x?+2(a-2)x-4<0对xGR恒成立，贝Ia的取值范围

五、不等式的同解性

(1)当a>1时，afg>agg与f(x)>g(x)同解，当0<a<1时，>a9M与f(x)<g(x)同解.

(2)当aAl时.logaf(x)AJog.g(x)与同和

g(x)>0

f(x)<g(x)

^0<a<lHt.Iogaf{x)>log.g(x)^,f{x)>0同解.

g(x)>0

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第七章直线和圆的方程

一、解析几何中的基本公式

1、两点间距离：若A（X1,yJ,B（X2，y?）,则|AB|=J"?-X,）。+（%-%）2

2、平行线间距离：若/.：+分+C.=0.I:Ax+By+=0则d=—j=

VA2+B2

Ax。+By0+C

3、点到直线的距离：若I：Ax+By+C=0,则d=^~

VA2+B2

y=kx+m.

4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：消y:ax?+bx+c=0,注意△>（）.

F（x,y）=0

2

若A(*i，y,),B(X2,y2)贝：|狗=J(1+k：%j=/(1+/)(3+x2)-4x,x2

5、若直线11的斜率为ki,直线l2的斜率为k2,ki,k2都存在且kik2n-1

k-k

则li到L的角为a,ae(o,n),tana=———-

1+k也

＜一k,

若li与b的夹角为6,则tan6=—吟

1+AM

注意：⑴小时’夹角、到角

（2）当k与12中有一条斜率不存在时，画图求到角或夹角。

6、直线的倾斜角的取值范围：aei0,“）；

①每一条直线都有倾斜角a,但不一定有斜率。

（斜率k=tana,<7=90的，无斜率）

②若直线存在斜率k,而倾斜角为a,则卜池的。（如图）

二,线方程的五种形式

①斜截式:y=kx+b斜率不存在的直线不能用斜截式表示

②点斜式:y-y==k（x-x,）斜率存在时为y-九=k（x-x,）

③两点式：~~~—=—~~—(X1*X2)

y2-y.x、

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Xy

④截距式:-+-=1其中I交X轴于(a,0),交y轴于(O,b),a±o,b±o,

ab

Xy

当直线I坐标轴上的截距相等时应分：(1)截距=aHO设一+乙=1即x+y=a

aa

(2)截距=0设y=kx

⑤一般式:Ax+By+C=0(其中A、B不同时为零)

三、简单的线性规划线性规划问题一般用图解法.

四、.圆的方程(1)标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,(a,b)--圆心，r一一半径。

(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+£2-4F>0)

22

DE„xylD+E-4F

(---.---)---圆心，r=---------------

222

(3)参数方程①以(a,b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

,,,[x=a+rcos0、、,[x=rcos6?

(x-a)'+(y-b)2=r~o②*一+/=厂。｛参数)

y=b+rsin，[y=rsin3

2、直线+By+C=0与圆(x-a)?+(y-b)2=1的位置关系有三种：

d>r=相离O2\<0；d=ro相切OA=0；d<rO相交o△>0

3.圆*'+/+=•与圆*=•的公共弦所在

直线方程(巴一-EJ+g-F：)=0

第八章圆锥曲线定义、标准方程及性质

一、椭圆

1.定义I：若Fi,F2是两定点，P为动点，且|PF1|+|PF2|=2a>|F,F2|(豹常数)则

P点的轨迹是椭圆。

定义II：若Fi为定点，I为定直线，动点P到3的距离与到定直线I的距离之比为常数e

(0<e<1),则P点的轨迹是椭圆。

2

%/

2.标准方程：--H—=1(a>/?>0)

ab

长轴长二2a,短轴长=2b焦距：2c

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高中数学知识大全

2

准线方程：X=士一焦半径：

设P(Xi,yi),|PF」=e(Xi+J)=a+eX],|评2]=6(^---x,)=a-ex,(左加右减)

x=acos9

注意：（1）通径为一（2）椭圆上的点可设为

y=bsin9

（3）请自己补充当焦点在y轴上时，其相应的性质。

二、双曲线

⑴I.若Fi,F2是两定点，||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|（为常数），则动点P的轨迹是双曲线。

II.若动点P到定点F与定直线I的距离之比是常数e（e>1）,则动点P的轨迹是双曲线。

2222

（2）若双曲线方程为一一，=1=渐近线方程：——4=0=y=±-x

a2b2a2b2a

2v2

若渐近线方程为y=±6-x^-x±y-=0n双曲线可设为x二一彳=入

aaba2b2

2222

若双曲线与一—一=1有公共渐近线，可设为3•一/7