2021高考数学重要考点+必考知识

2021高考数学重要考点+必考知识

一、集合部分

1.集合相关

(1)集合性质：确定性、互异性'无序性

(2)〃个元素集合有2"个子集，有2"-1个真子集，有2"-2个非空真子集

(3)空集是任何一个集合的子集，是一切非空集合的真子集

(4)交集“A”；并集“U”;补集

交：A(}B<^>{x\xeA,fixGB}并：JU5o{x|xGA^xGB}补：C(J<=>{xGt7,Hx^A}

{5)AQB^AnB=A<^AUB=B-注意：讨论的时候不要遗忘了“二°的情况

⑹G(NU5)=(C,A)fl(C/8);C/(NA8)=(GN)U(C/8);

二、函数、导数

L函数的单调性

(1)设再、x2w[a,0,X|<X?那么

J\xx)-J\x2)<0。/(x)田。1]上是增函数；/(X,)-J\x2)>0。/(X)由a,0上是

减函数

⑵设函数y=/(x)在某个区间内可导，

若/(x)>0,则/(x)为增函数；若八x)<0,则/(x)为减函数。

2.函数的奇偶性

(1)定义：对于定义域内任意的X,若〃-X)=/(X),则/(X)是偶函数；若

/(-X)=-f(x),则/(X)是奇函数。

(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于j轴对称。

奇函数/(x)在原点有定义，则/(0)=0

3.函数的周期性：若/(x+T)=/(x),则T叫做这个函数的一个周期。(差为定

值想周期)

(1)三角函数的最小正周期：

.244T兀

y-Asin(&w+(p),y=Acos(tar+(p):T=---;y—tancux:1="--

㈤\a>\

4.两个函数图象的对称性(和为定值想对称)

⑴如果函数歹=/(X)对于一切XGR,都有/(a+x)=/(a-x),那么函数歹=/(x)

的图象关于直线x=a对称oy=/(x+a)是偶函数；

(2)若都有/(a-x)=/0+x),那么函数y=/(x)的图象关于直线丫=等对称；

5.极值、最值(极值点处的导数值为零，最值只在极值点处或端点处)

求函数y=/(x)的极值的方法是：解方程/(x)=0.当/(x0)=0时：

⑴如果在与附近的左侧/'(x)>0,右侧/'(x)<0,那么/(x0)是极大值；

(2)如果在与附近的左侧/(x)<0,右侧/'(x)>0,那么/(%)是极小值.

6.图象变换问题

⑴平移变换：i)y=f(x)^y=f(x±a),(a>0)------左右“一”；

n)y=f(x)->y=f(x)±k,(k>0)-----上”+，，下“一”；

(2)对称变换：

i)y=f(x)0。)>y=；ii)y=/(x)'邪1=-f(x)；

汨)歹=/(x)—=;iv)y=/(x)>x=/(y)；

(3)翻折变换:

i)>=/(x)f>=/(|x|)(去左翻右)y轴右不动，右向左翻(7(x)在y左侧

图象去掉)；

ii)y==|/(x)|"-----(留上翻下)x轴上不动，下向上翻(|/(x)|在x下面

无图象)；

(4)伸缩变换

i)V="X)fy=f(oix),(cy>0)-----纵坐标不变，横坐标变为原来的上倍;

CD

ii)y=/(x)->y="(x),(N>0)------横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍;

7.函数零点的求法：

(1)直接法(求/(x)=0的根);(2)图象法;(3)二分法.

(4)零点定理:若歹=/(x)在口们上满足〃a)./S)<0,则y=/(x)在(。力)内至

少有一个零点。

8.基本运算

(1)指数运算：am-an=am+niala"=L；(am)n=amn；ambm=(ab)m

M

⑵对数运算：log“A/+log”=log.(MV)；iogA/-logA^=log—；

uuN

log。"'=〃log“"；

logn

loga1=0；logaa=1；a»*=b；log。N=詈”；logb=­logab；

log„,am

(3)导数运算：①C'=0(C为常数)②a")："、特别地,«)'—，(-)'=-4

xx

③(e')=ev(4)(lnx)=—⑤(sinx)=cosx；(COSX)=—sinx

x

(4)导数的四则运算法则：(2/±v)r=u'±Vr；(7/V)r=(By=7-ZV>

V仁

(5)导数定义：f(X)在点X。处的导数记作训=/，c)=丽fGo+Ax)-/(戈0)

y卜="。-J<

⑹函数,v=Hx)在点x。处的导数的几何意义:函数y="幻在点/处的导数是曲

线V=/(x)在P(x0,/(x0))处的切线的斜率k=f'jxj,相应的切线方程是

原函数图象只看升降判增减；导函数图象只看上下定正负

9.二次函数：(1)解析式：①一般式：/(x)=ax?+/>x+c；

②顶点式：/(x)=a(x-+“，(〃,〃)为顶点；③零点式：/(x)=a(x-xj(x-x2)

(ar0).

⑵二次函数歹=妙2+bx+c的图象的对称轴方程是x=-段~,顶点坐标是

2a

'b4ac-b2\

---,-------°

12a4a)

(3)二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③判别式；④与

坐标轴交点；⑤端点值

10.指数函数图象

指数函数a>1,y=ax0<67<1,Ky=ax

J

图象\L

-i_X

(1)定义域:R

性质

(2)值域：(0,+oo)

(3)过点(0,1),艮Hx=o时y=l

(4)在火上是增函数(4)在R上是减函数

(5)x<0日寸,0〈yvl；x>0时,y>l(5)x<0日寸,y>l;x>0日寸,0〈y〈l

1L对数函数图象

a>10<a<1

y

图|t=iy=>ogax

象•/<...............一

愉,。)J

I：

(1)定义域：(0,+oo)

(2)值域：R

性

(3)过点(1,0),即当x=l时，»=0

质

(4)在(0,+8)上是增函数(4)在(0,+8)上是减函数

(5)0<x<l时y<0；x>l时y>0(5)0<x<l时y>0；x>l时y<0

12.几种幕函数y=x"的图象(分清a<0；a=0；0<a<l；a=1；a>1)

定义域RRR

1-1.11[-U]

值域{xIXWy+k/r.kGZ}

nx=2k7t,keZRi,h=1

x=2kn+—,AwZIFT,y.=1

最值x=24〃+乃，左eZlft,=-1

n

x=Ikn----eZHt.y=-1无

20

周期性7'=2兀7'=2%T=兀

奇偶性奇偶奇

在“C…勺上单调

［2£万-彳.2£”+小

在（既工）上单调

单调性在［-乃,2km上单调递增

22

递增；在匹3仆上

〔2*”+万,2%”+7］

keZ在［2左乃,+乃］上单调递减递增

单调递减

对称轴方程：

对称轴方程：x=ki无对称轴

对称性

71

x=kjr+一

71对称中心（红,0）

keZ2对称中心（氏+一,0）

22

对称中心（七r,0）

三、三角函数、三角恒等变换与解三角形

1.角度制与弧度制的互化：角度+180°x乃弧度+“180°角度

(1)%=180°,1°=—,1=(―)°«57.3°=57°18,

18071

(2)圆心角弧度：同=(；扇形面积公式：S=g/-A

2.三角函数定义：角a终边上任一点（非原点）P（xj）,设|OP\=r

则：sina=—,cosa=—,tana=—三角函数符号由才字（如右图）

尸rX，

3.诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

4.特殊角的三角函数值

717171乃3乃

a0712万

64I72

1

sioa0走走10-10

97

1

co$a1在0-101

27

、B

tana01后00

5.同角三角函数的基本关系：sin2X+cos2x=1;、亩“=tanx

cosx

6.两角和与差的正余弦，正切公式：

cos(a+p)=cosacosQ-sinasin°，sin(a+为=sinaoos/?+cosa^nP

<■<

cos(a-/7)=cosacos/?+sinasin£'[sin(。一£)=sinecos£-8sesin0

/c、tana+tanZ?

tan(a+优=-----------------

1-tanatan(3

<

,c、tana-tanZ7

tan(cr-J3)=-----------------

1+tanatan°

..〜2tana

7.倍角公式：sin2。=2sin。cos。；tan2a=---------------；

1-tana

cos2a=cos2a-sin*a=2cos2cr-1=l-2sin2a；

n(降幕公式)cos?夕=1+cos2crs，n2a=J。；2a,sjnacosa=gsinla

8.辅助角公式：asxnx+bcosx=yja2+b2sin(x4-(p),其中tan0=2

a

(brr龙••力TV.b71x

\一=73=>cp=_»_=—=①=_»—=1=(p——)

a3a36a4

9.正弦定理三=—=三=2R(2R是根以‘外接圆直径)

sinAsinBsinC

边化角：a=2/?sinA,b=27?sinB,c=2/?sinC

角化边：sinA--,sinB=—,sinC--

2R2R2R

222222

11.余弦7E理：在AABC中，a=b+c-2Z>ccosA,b=a+c-2accosBjC~=a~+b~—2dbCOSC.

推论：SSA=修，8SB=a2+c2-h~

lac2ab

12.三角形面积公式：Sg”='a/>sinC=—bcs\nA=—acsin5

MBC222

四、平面向量

L平面向量的坐标运算:设。=（石,%），。=（工2，8）>

①4+3=（士+》2，乂+8）；②4_3=（&_工2，必_>2）；a=（Ax,Ay）.

④设A（x/J,B（七2）,则AB=OB-OA=（x2-xx,y2-yx）,

凝=J（X]—X2了+（乂一%y

2.向量的三角形法则与平行四边形法则

（1）彳+而=万（尾首接，首尾连）

（2）方-方=在（同起点，后向前）

3.重要性质：设4=（不，凹）力=（工2，%）

①证明垂直：。_1_力<=>。6=00芭・％2+乂・必=0

②证明平行：a//boa=Ab<^>x}y2-x2y}=0

③求向量的模:a=向2=才+必2

④求夹角：ccdft=,W?

\a\-\b\亚+y；・"♦+一

®a-b=xlx2+yly2；a$=孙，卜os6（。为a与J的夹角）

五、不等式

1.均值不等式（一正二定三相等）（积定和最小，和定积最大）

（1）若a,beR,则/+〃之2"（当且仅当a=b时等号成立）

若x,yeR+,则x+＞22声\当且仅当x=y时等号成立）

⑵若a,beR,则帅＜旭也＜《±^（当且仅当。=人时等号成立）

42

2.目标函数的类型：（判断及+协+。＞0（或＜0）,观察台的符号与不等式开口

的符号，同上异下，或代点计算）①“截距”型：z=Ar+用，：的，斜率，，型：z=上

X

③“是巨离"型：z=x2+./或z=yjx2+y2;z=（x-a）2+（y-b）-或

z=yl（x-a）2+（y-b）2.

六、数列

1.数列的通项公式与前n项的和的关系

§77=]

（数列｛%｝的前n项的和为s〃=q+a,+…+4）

｛…〃＞2

2.等差数列的有关性质

（1）定义：。〃+1-%=4（常数）（2）通项公式：（=。]+（〃-1）4=4+（〃一加财

（3）前n项和公式：o/Xa.+flJ।»（»-1）

”212

（4）若/w+〃=p+q,那么叫+《,=4+%⑸等差中项：2A=a+b；2a„=an+l+anA

（6）｛%｝等差数列，则臬,S2k-5上,阳上-S2k仍成等差

3.等比数列的有关性质

⑴定义：常数)⑵通项公式：an=a｝q"~'=aniq"~""

an

(3)前n项和公式：,\na'q=，

S”=伯(l-g")_q-a“g

---------------U子1

i-q1-q

(4)若〃?+〃=，+夕，则(5)等比中项：G2=ab；a；=%%

(6)等比数列｛%｝，则既,$2"-S”'*-S2k仍成等比数列(分一1或攵为奇数)

七、立体几何

1.三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为2及：1。

2.表(侧)面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S例+2S底；②侧面积：S片2M?；③体积：V=S底h

(2)锥体：①表面积：S=SM+S底；②侧面积：SM=^r/;③体积：V=；S底h：

(3)台体：①表面积：S=S倒+S上底S下底；②侧面积：SM=^-(r+r')/；

③体积：V=；(S+而7+S')h；

(4)球体：①表面积：S=4成？；②体积：Y=士献o

3

3.位置关系的证明(主要方法)：

(1)直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定

理。

(2)直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行n线面平行。

(3)平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平

面平行。

(4)直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

(5)平面与平面垂直：①定义-两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科还可用向量法。

4.求角：(步骤-I.找或作角；II.求角)

(1)异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；

②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。

注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。

(2)直线与平面所成的角：

①直接法(利用线面角定义)；②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作

比,得sin0o

注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。

5.结论：

(1)长方体从一个顶点出发地三条棱长分别为a,b,c,则对角线长为

>ja2+b2+c2,全面积为2ab+2bc+2ca;

长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为a,民九则：

cos2a+cos20+cos2y=l；sin2a+sin2+sin2y=2

(2)正方体的棱长为a,则对角线长为扃，全面积为6/,体积为/

(3)长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长；

(4)正四面体的性质：设棱长为a,则正四面体的：@简单高中生

①高：力=逅。；②对棱间距离：旦;

32

②内切球半径：—a；外接球半径：—a；

124

八、解析几何

1.斜率公式：①人"二ZL=tana（aw吗（其中两点《（再,必）、上（々，8））

x2-x112）

②曲线」，=/（x）在点《（与，汽）处的切线的斜率％=/（.%）.

2.直线的五种方程（一般西点斜戴原）

（1）点斜式（一%=左（%一二）（直线/过点必）,且斜率为左）.

（2）斜截式y=^+6（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）一般式4x+By+r=0（其中A、B不同时为0）.

3.两条直线的平行和垂直

（1）若4=匕x+4,l2:y=k2x+b2

①11|（Qk、=k?,b\丰b2.（2）/,.L/2ok}k2=-1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（2）若'：4x+4〉+G=04：41+凡尸。2=。，且Ai.A2.Bi.B2都不为零,

①/J&u>4层=4瓦且4Gw%G；②人和4相交。4当/a与；

③（和（重合。4&=4及且4G=与6；@/,1/2。44+4生=o.

注：①与直线/:/x+为+C=0平行的直线可表示为4r+的+（；=0;

②与直线/:4c+刃+C=0垂直的直线可表示为-出+G=0；

4.距离公式

（1）平面两点间的距离公式：d《B=J（》2-阳>+（力-弘）2（4（西，必），台（*2,必））♦

（2）点到直线的距离：d=\Ax+By0+C\（点p（Xoj。）直线/：Ax+By+C^o

\IA2+B2

（3）平行线4x+欣+C]=0和4c+为+G=0的距离公式.=F/G|

5.圆的方程

⑴标准方程：。-。）2+（>-6）2=尸2,圆心（凡与；半径厂

⑵一般方程：X2+y2+l）x+Ey+F=O（D2+E2-4F>0）,圆心（2,与；半径

-2-2

VD2-E2-4F

Y------------2----------

6.直线与圆的位置关系：直线4r+8y+C=0与圆（1-。）::+（7-8）：!=r

->ro相禺oA<0；4=「0相切0A=0；

d<ro相交oA>0；弦长=2",其中d=|"：+劭+（］

7.两圆位置关系：设两圆圆心分别为01,02,半径分别为门，3Hal="

①d>八+々o外离O4条公切线；

②"="+%o外切o3条公切线

③卜I+々o相交o2条公切线；

④d=卜-G|0内切01条公切线；

⑤0<d<,-々©内含o无公切线.

注：①圆的切线方程：过圆/+/=/上的点的切线方程为

xox+yoy=r~^

②圆上的动点到圆外的点或直线的最长距离（d+r）或最短距离5-八

8.椭圆的几何性质

定义战局+痛|=2（2（常数20>|6园=勿）

标准方程1+方=l(a>1,>0）/=6时椭圆变成圆，/+/二优］■+=l(a>b>0)

aDap

l

yJ

图形

F))，x

中心(0,0)(0,0)

顶点(士a,0)(0,±Z>)(0,±a),(±6,0)

焦点(ic,0)(0,士c)

对称轴x轴，.1,轴；X轴，.1轴；

范围-a<x<a-b<y<b-b<x<b-a<y<a

x=±^,a2

准线方程

焦半径时r=（2+%;战鸟|二a-3廊|=a+"0；战鸟|=a-豺。

离心率e=—(0<e<1,其中c?=a2-b2)[e—>1,椭圆越扁：c-»0,越圆

长轴短轴2a叫做椭圆的长轴，a叫做长半轴；2b叫做椭圆的短轴，b叫做短半轴；

通径过焦点垂直于长轴的椭圆的弦。通径长=这

9.双曲线的几何性质

定义|四用-W阴卜小（常数2a<2c=W居|）

X*

标准方程=l(a>0,6>0)，-3=1（。>。力>。）

b2aD

\>4(*)

图形

7o

中心(0,0)(0,0)

顶点(土a,o)（0,土a）

焦点仕c,0）(0,士c)

对称轴x轴，.V轴X轴，.1•轴

范围国Na/eR\y\eR

,a2

准线方程:=±—y=±

cT

焦半径彭在右支上W4|=居+a,|Af骂|二"-a；回在上支上M耳|=佻+a；M1玛|="o-a；

跖£左支上照可|=-0;+。）,阿可|=一3三-a）M在下支上脚耳|=-（吩+。）；“玛卜-（%-。）

渐近线±乜y=土三x

y=n

实轴虚轴2a叫做双曲线的实轴长，a叫做实半轴长；2b叫做双曲线的虚轴长，b叫做虚半轴长；

离心率>L其中c?=a2+〃)e越大，双曲线开口越大，e越小开口越小。

_____a__

3.抛物线的几何性质

定义平面内到定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

标准方程y2=2Px[p>o)y2=-2px(p>o)X3=2py(p>0)/=?py[p>o)

I0x2°)

2b琳

简图

zlxIX/卜、&1%)

焦点H-0>M)

顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)

x=-£x,p/=f.

准线方程22、

通径端点-%p土P,W土p厂三

L,乙2

对称轴X轴X轴J轴J轴

范围x^.09yeRx40,yeRy>O,xeRy<O,xeR

=x四尸|=卜乂

焦半径Mo+y网=「一%M尸l=%+]

离心率e=l

注：①直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

|“用=J（I+〃>[（X]+X2）2_4X|XJ=1+二.音

②焦点三角形处理方法：定义+勾股定理+正余定理

③过抛物线焦点的弦长⑷9=X]+-^-4-x2+3=X]+X,+P

④若双曲线方程为W—渐近线方程：4-4=0oy=±—x.

a2h2a2b2a

⑤若渐近线方程为y=±*OJJon双曲线可设为直一己=Q

aaba2h