北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 （A卷·知识通关练）（解析版）

班级姓名学号分数第一章勾股定理（A卷·知识通关练）核心知识1利用勾股定理求面积【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.如图，以的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为、、．若，则的值是A．3 B．6 C．7 D．8【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．【解答】解：由勾股定理得：，，，，，故选：．如图，字母所代表的正方形的面积是A．12 B．13 C．25 D．194【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．【解答】解：由勾股定理得：字母所代表的正方形的面积．故选：．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是A．13 B．12 C．6 D．3【分析】由勾股定理求出，再由正方形的面积公式计算即可得到答案．【解答】解：在中，，，，，正方形的面积，故选：．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，记三个正方形的面积分别为，，，若，，则A．6 B．7 C．10 D．29【分析】利用勾股定理进行求解即可．【解答】解：分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，，，，．故选：．核心知识2判断直角三角形【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.满足下列条件的，不是直角三角形的是A． B． C． D．【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案．【解答】解：、，即，，故能判定是直角三角形；、设，，，，，故能判定是直角三角形；、，，故不能判定是直角三角形；、，，，故能判定是直角三角形．故选：．在中，所对的边为，所对的边为，所对的边为，下列选项中不能判定为直角三角形的是A． B． C．，， D．【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算即可解答．【解答】解：、，能判定为直角三角形，故不符合题意；、，，，，能判定为直角三角形，故不符合题意；、，，，能判定为直角三角形，故不符合题意；、，，，不能判定为直角三角形，故符合题意；故选：．已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是A． B． C． D．【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：、，，故是直角三角形；、，，故是直角三角形；、，，故不是直角三角形；、，，故是直角三角形．故选：．若的三边长分别为，，，则下列条件中能判定是直角三角形的有①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据三角形内角和定理求出最大的内角，即可判断①②，根据勾股定理的逆定理判断③④即可．【解答】解：①，，，，，是直角三角形，②，，最大角，不是直角三角形，③，整理得：，所以是直角三角形，④，所以，所以是直角三角形，即能判断是直角三角形的有3个，故选：．6．在中，三边长、、满足，则的形状是A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．不是直角三角形【分析】先根据题意得出、、的关系，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】解：的三边长，，满足：，，即，是直角三角形，且为斜边．故选：．如图，在中，，于点，，分别交，于点、，连接．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，求证：．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：为等腰直角三角形．理由：，，，垂直平分，，，，为等腰直角三角形；（2）证明：在上取一点，使，连接，在和中，，，，，，，，，，，，，中，由勾股定理得：，．核心知识3利用勾股定理求最短路径【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是A． B． C． D．【分析】根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可．【解答】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，由题意得：，．由勾股定理得：，答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是．故选：．如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，且，．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是．A．14 B．12 C．10 D．8【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求．【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示，圆柱的底面周长为，．，在中，，，即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是．故选：．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为．A．15 B． C．12 D．18【分析】将圆柱沿过的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点，使最小，则先作出关于杯口所在直线的对称点，连接与杯口的交点即为，此时，再利用勾股定理求的长即可．【解答】解：如图所示，将圆柱沿过的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点，使最小，故先作出关于杯口所在直线的对称点，连接与杯口的交点即为，此时，根据两点之间线段最短，即可得到此时最小，并且最小值为的长度，如图所示，延长过的母线，过作垂直于此母线于，由题意可知，，，由勾股定理得：，故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为，故选：．如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从点出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是A． B． C． D．【分析】把长方体展开为平面图形，分两种情形求出的长即可判断．【解答】解：当沿着平面、平面爬行时，如图所示，，当沿着平面、平面爬行时，，因为，所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是，故选：．核心知识4勾股数相关问题【方法点拨】勾股数的求法：（1）如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；（2）如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.下列各组数中，是勾股数的是A．0.3，0.4，0.5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．3，4，【分析】根据勾股数的定义即可求解．【解答】解：．，0.4，0.5均不是整数，不是勾股数，不符合题意；．，不是勾股数，不符合题意；．，是勾股数，符合题意；．不是整数，不是勾股数，不符合题意；故选：．下列各组数是勾股数的是A．5，12，14 B．6，8，12 C．4，5，6 D．7，24，25【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可．【解答】解：、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；、，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意．故选：．下列各组数中，是勾股数的是A．1，，3 B．0.3，0.4，0.6 C．9，12，15 D．5，6，7【分析】根据满足的三个正整数，称为勾股数判断即可．【解答】解：选项，不是正整数，故该选项不符合题意；选项，0.3，0.4，0.6不是正整数，故该选项不符合题意；选项，，故该选项符合题意；选项，，故该选项不符合题意；故选：．在下列四组数中，不是勾股数的一组是A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25【分析】根据勾股数的概念判断即可．【解答】解：、，，3，4不是一组勾股数，本选项符合题意；、，，4，5，6是一组勾股数，本选项不符合题意；、，，12，13是一组勾股数，本选项不符合题意；、，，25，7是一组勾股数，本选项不符合题意；故选：．下列各组数中为勾股数的是A．1，2，3 B．2，3，4 C．，， D．3，4，5【分析】勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．【解答】解：、，不是勾股数，不符合题意；、，不是勾股数，不符合题意；、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；、，是勾股数，符合题意．故选：．在下列各数中，不是勾股数的是A．5，12，13 B．9，40，41 C．8，15，17 D．8.12.15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：．，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意；．，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；．，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；．，不是勾股数，此选项符合题意；故选：．核心知识5利用勾股定理求长度如果3，4，是直角三角形三边长，则的值是A．5 B． C．5或 D．5或7【分析】根据题意和勾股定理，可以得到或，然后求解即可．【解答】解：，4，是直角三角形三边长，或，解得或，故选：．如图，在中，，平分，若，，则点到的距离是A．5 B．8 C．10 D．15【分析】作于，根据角平分线的性质可得，从而得出答案．【解答】解：作于，平分，，，，，，，点到的距离为5，故选：．在一个直角三角形中，如果斜边长是13，一条直角边长是5，那么另一条直角边长是A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据勾股定理直接计算即可．【解答】解：根据勾股定理得，另一条直角边为，故选：．如图，在中，，，于点，则的长为A．10 B．11 C．12 D．13【分析】由等腰三角形的性质可求的长，再利用勾股定理可求解的长．【解答】解：，，于点，，，故选：．如图，在中，，，，平分，，垂足为，则的周长为A．25 B．17 C．18 D．20【分析】先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再利用角平分线的性质得到，那么，进而求得的周长．【解答】解：在中，，，，，，，是直角三角形，且，平分，，，．在和△中，，，，，的周长．故选：．如图，在中，，，，点在上运动，，，为的中点，则的最小值为A． B． C． D．【分析】根据矩形的性质得出，求出，要使的值最小，只要的值最小即可，根据垂线段最短得出时，最小，再根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：过作于，交于，为的中点，，，，，，是直角三角形，，，，，，四边形是矩形，，，，，和重合，，要使值最小，只要最小就可以，当时，最小（垂线段最短），，，，的最小值是，故选：．核心知识6利用勾股定理作图根据图形（图1，图的面积关系，下列说法正确的是A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式 B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理 C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式 D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理【分析】根据图1可得：，根据图2可得，然后整理，即可发现它们说明的是什么，本题得以解决．【解答】解：由图1可得，，即图1可以说明平方差公式；由图2可得，，化简，得：，即图2可以说明勾股定理；故选：．如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，段和垂直于地面的段均由不锈钢管材打造，两段总长度为，矩形为一木质平台的主视图．经过测量得，，请求出立柱段的长度．【分析】延长交于点，则，米，米，设米，则米，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：延长交于点，则，，，设，则，在中，，，解得，，的长度为．核心知识7勾股定理的证明【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为A． B． C． D．【分析】根据勾股定理和题目中的数据，可以求得直角三角形的长直角边的长，然后根据图形可知，小正方形的边长为直角三角形的长直角边与短直角边的差，代入数据计算即可．【解答】解：由题意可得，直角三角形的长直角边为：，则小正方形的边长为：，故选：．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．若，，则13．【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．【解答】解：，，在和中，根据勾股定理得，，，，，，．故答案为：13．核心知识8勾股定理逆定理的应用【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.如图，在四边形中，，，，，．（1）连接，求的长；（2）求四边形的面积．【分析】（1）连接，利用勾股定理可求解的长；（2）利用勾股定理的逆定理可证得，再利用三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：（1）连接，在中，，，，，；（2）在中，，，，，．由（1）知，，，．．如图，在四边形中，，，，，．（1）求的长；（2）证明：是直角三角形．【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】（1）解：连接，，，，，的长为5；（2）证明：在中，，，，是直角三角形．绿都农场有一块菜地如图所示，现测得，，，，，求这块菜地的面积．【分析】连接，在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然后根据菜地的面积进行计算即可解答．【解答】解：连接，，，，，，在中，，，，，，，为直角三角形，，，菜地的面积，这块菜地的面积为．核心知识9勾股定理的实际应用【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米的长）处，升起云梯到火灾窗口，云梯长17米，云梯底部距地面3米的长），问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高的长）？【分析】根据勾股定理求出的长，即可得出结论．【解答】解：由题意可知，，米，米，米，在中，根据勾股定理得：（米，（米；答：发生火灾的住户窗口距离地面18米．今年第6号台风“