第09讲 二次函数中平行四边形的存在性问题专题探究(原卷版)

第9讲二次函数中平行四边形的存在性问题专题探究【知识总结】平行四边形存在性1.知识储备：①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式：2.方法策略：（1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。如，当A、B已知，点C在直线y=x上，点D在抛物线上，则设C（a,a）；分类还分别分①以AB为对角线，②以AC为对角线，③以BC为对角线；依其性质分别表示出D点坐标；将点D坐标再分别带入抛物线解析式，即可求出a的值，C、D坐标就都能求出来了。如，当A、B已知，点C在直线y=x上，点D在抛物线上，则设C（a,a）；分类还分别分①以AB为对角线，②以AC为对角线，③以BC为对角线；依其性质分别表示出D点坐标；将点D坐标再分别带入抛物线解析式，即可求出a的值，C、D坐标就都能求出来了。【类题训练】1．综合与实践如图，抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）如图2，当点D在第四象限时，连接BD，CD和BC，得到△BCD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）点E在x轴上运动，以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）若以点A为圆心，R为半径的圆与BC相切于点D，求切点D的坐标，以及R的值；（3）若点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与平面直角坐标系交于点A（0，﹣4），B（﹣4，0），C（1，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，作直线AB，点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AB于点E，过点P作PD⊥AB于点D，求PE+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PE+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移2个单位，点P'为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点A'，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P'，A'，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，点C、点D关于抛物线C，的对称轴对称．（1）求抛物线C，的函数表达式及点D的坐标；（2）将抛物线C，沿水平方向向右平移1个单位得到抛物线C1，C1与y轴交于点E，点D平移后的对应点为F，P为抛物线C，的对称轴上的动点．请问在抛物线C，上是否存在点Q，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．综合与探究如图1，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，若P是直线BC下方抛物线上的一动点，连接PB，PC，过点P作PD⊥BC于点D，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标和线段PD的长；（3）若E是抛物线上的任意一点，过点E作EQ∥y轴，交直线BC于点Q，抛物线上是否存在点E，使以E，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．​6．如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．（1）求该抛物线的表达式；（2）已知点F（0，1），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AC上方抛物线上任意一点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交直线AC于点Q，R，求QR的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中QR取得最大值的条件下，将该抛物线向右平移个3个单位，点B平移后的对应点为D，E为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线上确定一点F，使得以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．8．如图，二次函数的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（8，0），交y轴于点C（0，4），连接AC，BC，点P是线段OB上一动点，过点P作直线PD∥AC，交y轴于点D，交线段BC于点E，交x轴上方二次函数的图象于点F．（1）求二次函数的表达式；（2）当点P为线段DE的三等分点时，求点P的坐标；（3）在线段OB上是否存在点P，使得四边形AEFC为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．​​（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，作DE⊥x轴交BC于点E，作DF⊥DE，使DF＝OB，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．当矩形DEGF的面积最大时，求点D的坐标；（3）点P的坐标为（0，2），点Q的坐标为（2，3），点M在抛物线上，点N在直线BC上，当以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．抛物线的对称轴交抛物线于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）P（n，0）是x轴上一动点，过