人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第31讲 3.3.2抛物线的简单几何性质（原卷版）

第06讲3.3.2抛物线的简单几何性质课程标准学习目标①理解与掌握抛物线的几何性质。②通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的点、线、面积、周长的相关计算问题。③会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理。通过本节课的学习，要求掌握抛物线的性质，并能解决与之相关的计算与证明问题知识点01：抛物线的简单几何性质标准方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）图形范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对称轴SKIPIF1<0轴SKIPIF1<0轴SKIPIF1<0轴SKIPIF1<0轴焦点坐标SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0准线方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0顶点坐标SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0通径长SKIPIF1<0知识点02：直线与抛物线的位置关系设直线SKIPIF1<0:SKIPIF1<0,抛物线:SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当SKIPIF1<0时,直线与抛物线相切,有一个切点;当SKIPIF1<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若SKIPIF1<0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】A【详解】直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0内部，∴直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交，故选：A．知识点03：直线和抛物线1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为SKIPIF1<0.2、抛物线的焦点弦过抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点SKIPIF1<0的一条直线与它交于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.【即学即练2】（2023秋·四川成都·高二校考期末）已知抛物线SKIPIF1<0，其焦点SKIPIF1<0到其准线的距离为SKIPIF1<0，过焦点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程及其焦点坐标；（2）求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0；（2）8.【详解】解：（1）抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到其准线的距离为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0.（2）过焦点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.说明：抛物线的焦半径公式如下：（SKIPIF1<0为焦准距）（1）焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴，抛物线上任意一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴负半轴，抛物线上任意一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（3）焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴，抛物线上任意一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（4）焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴负半轴，抛物线上任意一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型01抛物线的简单性质【典例1】（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）抛物线C与抛物线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，则抛物线C的准线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）对抛物线SKIPIF1<0，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为SKIPIF1<0 B．开口向上，焦点为SKIPIF1<0C．开口向右，焦点为SKIPIF1<0 D．开口向右，焦点为SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是SKIPIF1<0；（2）准线方程是SKIPIF1<0；（3）焦点到准线的距离是SKIPIF1<0．【变式1】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）对抛物线SKIPIF1<0，下列描述正确的是A．开口向上，焦点为SKIPIF1<0 B．开口向上，焦点为SKIPIF1<0C．开口向右，焦点为SKIPIF1<0 D．开口向右，焦点为SKIPIF1<0【变式2】（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）若抛物线SKIPIF1<0的焦点与双曲线SKIPIF1<0的右焦点重合，则SKIPIF1<0的值．题型02直线与抛物线的位置关系【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知直线SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0，l与SKIPIF1<0有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条D．1条、2条或3条【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）若经过点SKIPIF1<0的直线与抛物线SKIPIF1<0恒有公共点，则C的准线可能是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知M是抛物线SKIPIF1<0上一点，则点M到直线SKIPIF1<0的最短距离为．【典例4】（2023秋·广西北海·高二统考期末）已知抛物线SKIPIF1<0，其准线方程为SKIPIF1<0．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)不过原点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线交于不同的两点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0有且仅有一个交点，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．2 C．0或4 D．8【变式2】（多选）（2023秋·安徽阜阳·高二统考期末）若直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个交点，则SKIPIF1<0的可能取值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0【变式3】（2023秋·广东广州·高二校考期末）已知拋物线SKIPIF1<0的一条切线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的准线方程为．【变式4】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0，设直线l同时与椭圆和抛物线SKIPIF1<0各恰有一个公共交点，求直线l的方程．题型03抛物线的弦长【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知抛物线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交抛物线于SKIPIF1<0两点，且弦SKIPIF1<0被点SKIPIF1<0平分.(1)求直线SKIPIF1<0的方程；(2)求弦SKIPIF1<0的长度.【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，求线段AB的长．【变式1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）已知动圆SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，圆心SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0．(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹方程；(2)过点SKIPIF1<0作倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交轨迹SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0．【变式2】（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)直线SKIPIF1<0交抛物线于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，求弦长SKIPIF1<0.题型04抛物线的中点弦和点差法【典例1】（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）已知抛物线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0引抛物线的一条弦，使它恰在点SKIPIF1<0处被平分，则这条弦所在的直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知抛物线SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)已知直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程.【变式1】（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）已知点SKIPIF1<0，若抛物线SKIPIF1<0的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是．【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）已知顶点在原点，焦点在SKIPIF1<0轴上的抛物线过点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点SKIPIF1<0作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．题型05抛物线的焦点弦【典例1】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）过抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，过点SKIPIF1<0向抛物线SKIPIF1<0的准线作垂线，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．18 D．20【典例2】（2023春·湖北孝感·高二统考开学考试）已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点SKIPIF1<0的距离比它到y轴的距离大1．(1)求曲线C的轨迹方程；(2)若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且SKIPIF1<0，求直线l的方程．【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，记SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与抛物线SKIPIF1<0的准线相切．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)记抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求弦SKIPIF1<0的长．【变式1】（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）过抛物线SKIPIF1<0的焦点且倾斜角为SKIPIF1<0的直线被抛物线截得的弦长为.【变式2】（2023春·广东汕尾·高二统考期末）已知抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．(1)求C的方程；(2)若斜率为SKIPIF1<0的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段SKIPIF1<0的长度．【变式3】（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0关于抛物线SKIPIF1<0的准线的对称点为SKIPIF1<0．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作斜率为4直线SKIPIF1<0，交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0．题型06抛物线的定值、定点、定直线问题【典例1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）过点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0在第一象限部分的切线，切点为A，F为SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0的面积为1．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于C，D两点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．【典例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到焦点的距离为3.

(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)设SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上除SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点外的任意一点，过SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，分别与曲线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.【典例3】（2023·广西·统考一模）已知抛物线SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，倾斜角为45°的直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的焦点且与SKIPIF1<0相切．(1)求p的值：(2)点M在SKIPIF1<0的准线上，动点A在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在A点处的切线l2交y轴于点B，设SKIPIF1<0，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．

【变式1】（2023春·河北·高二校联考期末）已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作直线交曲线E于点M、N，点SKIPIF1<0为直线l：SKIPIF1<0上一动点．问是否存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0为正三角形？若存在，求出点SKIPIF1<0坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点，纵坐标为2的点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，以SKIPIF1<0为圆心、SKIPIF1<0为半径的圆交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：SKIPIF1<0（p>0），过点SKIPIF1<0的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0(1)求E的标准方程：(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．题型07抛物线的向量问题【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0右侧的点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．

(1)求点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交轨迹SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为定值．【典例2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点SKIPIF1<0的距离比它到直线l：SKIPIF1<0的距离小SKIPIF1<0，记动点M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若过点F的直线交E于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且SKIPIF1<0？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0.(1)当弦SKIPIF1<0的中点横坐标为3时，求SKIPIF1<0的一般方程;(2)设SKIPIF1<0为原点，若SKIPIF1<0，求证:SKIPIF1<0为定值.【变式2】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交y轴于点H，点M是l上的动点，过点M且垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P．(1)求点P的轨迹C的方程：(2)若A、B为轨迹C上的两个动点，且SKIPIF1<0，证明直线AB必过定点，并求出该定点．题型08抛物线的三角形问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线C上，且SKIPIF1<0.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的面积.【典例2】（2023春·浙江杭州·高二统考期末）设抛物线SKIPIF1<0，过焦点SKIPIF1<0的直线与抛物线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0.

(1)求抛物线SKIPIF1<0的标准方程.(2)已知点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与抛物线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①求证：直线SKIPIF1<0过定点；②求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0面积之和的最小值.【变式1】（2023春·四川内江·高二威远中学校校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0，其焦点F到准线的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求SKIPIF1<0的面积.【变式2】（2023春·四川达州·高二统考期末）已知抛物线SKIPIF1<0上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．(1)求E的标准方程；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交E于A，C两点，SKIPIF1<0交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．

A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·北京·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的交点，则SKIPIF1<0点的横坐标为（

）A．3 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于A，B两点，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<04．（2023春·河南焦作·高二统考期末）已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．65．（2023秋·高二课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点SKIPIF1<0到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<06．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0作直线，交抛物线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023春·浙江·高二校联考期末）过点SKIPIF1<0作两条直线分别交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，记直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，分别在点SKIPIF1<0处作SKIPIF1<0的两条切线，两条切线交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，点P为C上任意一点，若点SKIPIF1<0，下列结论错误的是（

）A．SKIPIF1<0的最小值为2B．抛物线C关于x轴对称C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为410．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知SKIPIF1<0为坐标原点，抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到其准线的距离为4，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则（

）A．SKIPIF1<0的准线为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的大小可能为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为8 D．SKIPIF1<0三、填空题11．（2023春·安徽·高二统考期末）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0与抛物线交于SKIPIF1<0两点，满足SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0有且仅有一条，则SKIPIF1<0．12．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过抛物线SKIPIF1<0的焦点作一直线交抛物线于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的值是．四、解答题13．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为准线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的三点，若SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的最大值．14．（2023春·福建福州·高二校联考期中）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，抛物线SKIPIF1<0上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．(1)求抛物线的方程；(2)若直线SKIPIF1<0交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且SKIPIF1<0，求证：直线l必过定点．B能力提升1．（2023秋·广西河池·高二统考期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，一条平行于SKIPIF1<0轴的光线从点SKIPIF1<0射出，经过抛物线上的点SKIPIF1<0反射后，再经抛物线上的另一点SKIPIF1<0射出，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·河北·校联考三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线SKIPIF1<0，过焦点的弦SKIPIF1<0的两个端点的切线相交于点SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0点必在直线SKIPIF1<0上，且以SKIPIF1<0为直径