直角三角形全等的判定（基础练+提升练）（解析版）

PAGE119.7直角三角形全等的判定（基础练+提升练）一、单选题1．（2022上·上海浦东新·八年级校联考期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，则△DEB的周长为（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出BE=DE，由角平分线的性质可得出DE=DC、AE=AC，根据周长的定义即可得出C△DEB=BE+DE+BD=AB=10，此题得解．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵DE⊥AB，即∴∴DE=BE∴△BDE为等腰直角三角形，∴BE=DE．∵AD平分∠CAB交BC于D，∴DE=DC，又∠C＝90°，

∴在和中，∵∴∴AE=AC，∴C△DEB=BE+DE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=10cm．故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形以及角平分线的性质，根据角平分线的性质结合等腰直角三角形的性质找出BE=DE、DE=DC、AE=AC是解题的关键．2．（2020上·上海奉贤·八年级校考期末）已知下列说法，其中结论正确的个数是（

）①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】分别根据等腰三角形三线合一的性质、等腰三角形的对称性、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理分别对各项进行判断即可．【详解】解：①等腰三角形底边上的高就是这条边上的中线，故原说法错误；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线所在的直线，故原说法错误；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，只能说明这个点在这条线段的垂直平分线上，此说法错误；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，正确．故选：A．【点睛】本题考查轴对称的性质、轴对称图形、全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．3．（2020上·上海普陀·八年级统考期中）如图，在中，，为上一点，联结，点在上，过点作，，垂足分别为M、N．下面四个结论：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正确的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①，，根据等腰三角形的性质，可证得是的角平分线，又由，，根据角平分线的性质，即可证得；②根据证明，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出；③根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出；④根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质得出．【详解】解：①∵，，∴，∵，，∴，故①正确；②∵，，∴，∵，∴；故②正确；③∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；故③正确；④∵，，∵，，∴，∴，∴，∴．故④正确；故选：D．【点睛】此题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2022上·上海松江·八年级统考期末）下列命题中，假命题是（

）A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等【答案】C【分析】由线段的垂直平分线的性质可判断A，由三角形的角平分线的性质可判定B，由判定两个三角形全等可判断C，由判定两个直角三角形全等可判断D，从而可得答案.【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A不符合题意；三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B不符合题意；两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C符合题意；如图，则一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.5．（2022上·上海·八年级校考期末）下列命题中，是假命题的是（

）A．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；B．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．C．每个命题都有逆命题；D．每个定理都有逆定理．【答案】D【分析】根据全等三角形的判定、角平分线的判定、命题和定理的定义判断即可．【详解】A、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题；B、根据角平分线的判定：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，是真命题；C、每个命题都有逆命题，是真命题；D、每个定理不一定都有逆定理，每个定理都有逆命题，而命题有真有假，故每个定理都有逆定理是假命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．6．（2023上·上海普陀·八年级校考期中）下面四个命题中，真命题的个数是（

）①腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等；②有两角及一边对应相等的两个三角形全等；③有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定可进行求解．【详解】解：①腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等，正确；理由：如图所示，在等腰与等腰中，，于点H，于点G，且，求证：；

证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；②有两角及一边对应相等的两个三角形全等，根据或可知其正确；③有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；理由：如图所示，在与中，，、分别是上的中线，且，求证：；

证明：∵、分别是上的中线，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确，理由：如图所示，在与中，，，、分别为、上的中线，且，求证：．

证明：延长至，使，连接，延长至，使，连接．，．为的中点，．在和中，，．同理，．，．在和中，，，，同理可得．．．综上所述：真命题的个数是4个；故选D．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．二、填空题7．（2021上·上海金山·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上DE⊥AB，点E为垂足，且DC=DE，连接AD，则∠ADB的大小为．【答案】112.5°【分析】根据等腰直角三角形性质求∠CAB=∠B=，再证明Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出∠CAD=∠EAD=即可【详解】解：∵∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=，∵DE⊥AB∴∠DEA=90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠CAD=∠EAD=，∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-22.5°-45°=112.5°．故答案为：112.5°．【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角平分线判定，三角形内角和，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角平分线判定，三角形内角和是解题关键．8．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，如果，且，那么的度数是．【答案】/36度【分析】根据证明，可得，，根据求出，进而可求出的度数．【详解】解：，∴．在和中，∴，∴，．∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，证明是解答本题的关键．9．（2020上·上海·八年级校考阶段练习）如图，点A为的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与的两边相交于B、C，P为中点，过P作的垂线交射线于点D，若，则的度数为度．【答案】75【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据线段垂直平分线性质求出BD＝CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF，即可得出答案．【详解】如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEB＝∠DFC＝∠DFO＝90°，∵∠MON＝105°，∴∠EDF＝360°−90°−90°−105°＝75°，∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD∠MON，∴DE＝DF，∵P为BC中点，DP⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB＝∠CDF，∴∠BDC＝∠BDF＋CDF＝∠BDF＋∠EDB＝∠EDF＝75°．故答案为：75．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．10．（2022上·上海·八年级专题练习）如图，是的高，，，，则．【答案】/20度【分析】：证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可．【详解】解：是的高，，在和中，，，，在中，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．三、解答题11．（2022上·上海·八年级上海市南洋模范初级中学校考期中）如图，在中，(1)用直尺和圆规作的平分线，交边于点（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点）；(2)如果在（1）条件下点是的中点，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据尺规作已知角的角平分线的作图方法进行作图即可；（2）作交于点；作交于点；构造；即可得出结论；【详解】（1）解：作图如下：（2）证明：如图，作交于点；作交于点；由（1）可知：平分∴∵点是的中点∴在和中∴∴【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．12．（2022上·上海·八年级上海市南洋模范初级中学校考期中）已知：如图，在中，，为的外角平分线，交的延长线于点，且．求证：．【答案】见解析【分析】作交的延长线于点；构造，通过转化线段得出结论；【详解】证明：如图，作交的延长线于点；∵∴∵为的外角平分线；∴在和中∴∴

，∴∵∴∴∵∴【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练运用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．13．（2022上·上海金山·八年级校联考期末）如图，在与中，，，与交于点F，且，求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据AAS证明即可；（2）解法一：连接证明，进而可证明结论成立；解法二：连接，利用等腰三角形的性质和判定方法证明即可．【详解】（1）∵，∴，即，在和中，∴∴（2）解法一：连接∵∴在与中，∴∴，∴，即解法二：连接∵，∴，∴，∴，即，∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定方法有：、、、和；全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等．14．（2022上·上海宝山·八年级校考期中）五边形中，，平分，，求证：．【答案】见解析【分析】在上截取，连接，过点A作，根据全等三角形的判定分别证明，，，然后再由其性质即可证明．【详解】解：如图所示，在上截取，连接，过点A作，∴，∵平分，∴，在与中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，在与中，，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴，即．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，运用全等三角形的判定和性质是解题关键．15．（2021上·上海普陀·八年级校联考期末）已知，如图，中，平分，，，垂足分别为E、F，且．求证：．【答案】见解析【分析】根据角平分线性质得，根据（斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等）证明，，求出，即可得出证明．【详解】证明：平分，，，在和中（），在和中（）【点睛】本题考查角平分线性质，全等三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．16．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．(1)按照上述方法所作的线段是的________；（在横线上填上正确的序号）①中线；②角平分线；③高．(2)求作：点，使得点到直线与直线的距离相等，且；（保留作图痕迹，不写作法，但要写出结论）(3)过点分别作，，垂足分别为点、．求证：．【答案】(1)②(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据作图方法可得答案；（2）作线段的垂直平分线，交于点M即可；（3）连接，，根据证明即可．【详解】（1）由作图方法可知线段是的角平分线．故答案为：②；（2）∵点到直线与直线的距离相等，∴点在的平分线上．∵，∴点在的垂直平分线上．如图，点M即为所求；（3）如图，连接，．∵点在的平分线上，，，∴．∵点在的垂直平分线上，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的作图及性质，线段垂直平分线的作图及性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．17．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，垂直平分边，交于点E，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H．求证：．【答案】证明见解析．【分析】根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】证明：∵平分的外角，，，∴，∵垂直平分边，∴，在和中，，∴（HL），∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，是熟练正确全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．18．（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，已知在中，，点是内部的一点，，，垂足分别为点，且．求证：．

【答案】见解析【分析】连接，利用可证明，可得，利用可证明，进而可证得结论．【详解】证明：连接，

∵，，∴，又∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决问题的关键．19．（2020上·上海静安·八年级上海市市西初级中学校考期末）已知：如图，，分别为垂足，的垂直平分线交于点，交于点，.求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据条件可以得出△ADF≌△FCB就可以得出∠DAF=∠CFB；（2）根据∠DAF+DFA=90°可以得出∠AFB=90°，就可以得出△AFB是等腰直角三角形，从而求解．【详解】证明：（1）∵的垂直平分线交于点，交于点，∴AF=BF，AE=BE．∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴∠D=∠C=90°．在Rt△ADF和Rt△FCB中，∴△ADF≌△FCB（HL），∴∠DAF=∠CFB；（2）∵∠D=90°，∴∠DAF+∠DFA=90°，∴∠CFB+∠DFA=90°，∴∠AFB=90°．∴．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键、20．（2019上·上海青浦·八年级校考期中）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．（1）求证：PM＝PN；（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．【答案】（1）见解析

（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可得到答案；（2）利用“HL”证明Rt△PDM≌Rt△PDN，根据全等三角形对应边相等可得DM＝DN，然后根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理即可得到结论；【详解】解：(1)∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，,∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）在Rt△PDM和Rt△PDN中，，∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），∴DM＝DN，∴D在MN的垂直平分线上，∵PM＝PN，∴P在MN的垂直平分线上，∴PD是MN的垂直平分线．【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB和DM=DN是解题的关键．21．（2021上·上海闵行·八年级校考期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．【答案】(1)，证明见解析(2)成立，证明见解析(3)【分析】（1）设，先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，，都是等边三角形，从而可得，由此即可得出结论；（2）在上截取，连接，先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得出结论；（3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据旋转角即可得．【详解】（1）解：，证明如下：设，在中，，，由旋转的性质得：，，和都是等边三角形，，，是等边三角形，，；（2）解：成立，证明如下：如图，在上截取，连接，由旋转的性质得：，，，在和中，，，，，，；（3）解：如图，当点三点在一条直线上时，由旋转的性质得：，，在和中，，，，则旋转角．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．22．（2021上·上海普陀·八年级统考期末）如图，在△ABC中，(1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；(2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用尺规作出的角平分线，线段的中垂线即可；（2）证明，可得．【详解】（1）解：如图，点即为所求；（2）解：证明：如图，连接，，点在的垂直平分线上，，平分，，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．23．（2021上·上海宝山·八年级校考期中）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；(2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由轴，轴，可得A、C的纵坐标和横坐标，代入即可得出点A、C的坐标；（2）设，由（1）同理得，即可得出△ABC的面积；（3）延长BC交x轴于D点，利用角平分线的性质可得CD＝CB'，再证Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），得S△OCD＝S△OB'C，从而解决问题．【详解】（1）解：（1）∵轴，B（1，2），∴当x＝1时，y＝1，即C（1，1），∵轴，∴当y＝2时，x＝，即；（2）解：当点B是（x＞0）的图象上任意一点时，设，由（1）同理得，∴S△ABC＝AB×BC＝；（3）解：延长BC交x轴于D点，∵轴，轴，则∠ABC＝90°，∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴CD⊥x轴，∵将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，∴∠CB'O＝∠ABC＝90°，∴CB'⊥OA，∵OC平分∠AOD，CD⊥x轴，CB'⊥OA，∴CD＝CB'，在Rt△OCD和Rt△OCB'中，，∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），∴，由（2）知，S△OCD＝，S△ABC＝，∴四边形OABC的面积为．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，坐标与图形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练的运用反比例函数的性质是解本题的关键．24．（2022上·上海松江·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．(1)求证：CE=CDBE；(2)如果CE=3BE，求的值．【答案】(1)证明见详解；(2)=．【分析】（1）过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，先根据AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，得出AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，再证Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE=DF，然后证明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）即可；（2）先求出BC=4BE，CD=2BE,，然后S△ABC=，S△ADC=即可．【详解】（1）证明：过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴CE=CF，∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；（2）解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，∴S△ABC=，∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE，∴S△ADC=，∴=．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分是解题关键．25．（2022上·上海·八年级校考期末）已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且．(1)求证：；(2)当点是边的中点时，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，先根据，且可知，再根据，即可得出，进而可得出，由等角对等边可知；（2）先根据（1）中可知，由