2022-2023学年河南省信阳某中学高一上学期1月测试（一）数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省信阳高级中学高一上学期1月测试（一）数学

试题

一、单选题

1.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=的定义域和值域相同的是（）

1

A.y=xB.y=bvcC.y=exD.y=-^j=

【答案】D

【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案.

【详解】解：函数y=*'的定义域和值域均为（0,+oo）,

函数y=X的定义域为R,值域为R,不满足要求；

函数y=lnx的定义域为（o,E）,值域为R,不满足要求；

函数y=d的定义域为R,值域为（。,田），不满足要求：

函数丫=七的定义域和值域均为（。,+8）,满足要求；

故选：D.

【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域,

是解答的关键.

2.己知必=一5,则0旧+方旧的值是

A.245B.0

C.—25/5D.±26

【答案】B

【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意知必＜0,

ab

由于必＜0,则原式=0.

故选B.

【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题.

3.区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为

5128,则密码一共有2512种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行25口次运算.现在有一台计

算机，每秒能进行1.25x1()13次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为

()(参考数据：1g2ao.3,Vi0«3.16)

A.6.32x10&B.6.32x10140sC.3.16xlOl4l5D.3.16xlO,405

【答案】D

【分析】根据题意所求时间为,利用对数的运算进行求解即可.

1.25xl0'3

2512

【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为x秒，则有x=

1.25xl013'

,512

两边取常用对数,得1gx=1g——a=lg2512-lgl.25xio'3；

1.ZDX1U

Igx-5121g2-(lgl.25+13)-5121g2-(31g5+ll)

=5121g2-3(l-lg2)-ll=5151g2-14«14().5；

所以x=IO1405=IO140x10°5«3.16xlO,40.

故选：D.

4.已知a=sin53°,5=logs2,c=0.5°",则a,b,c的大小关系为()

A.a<c<bB.a<b<C

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】c

【分析】利用正弦函数、对数函数、指数函数的图像和性质求解即可.

【详解】因为sin530>sin450=t，Iog52<log42=g,1=0.51<O.508<O.505=,

所以logs2<0.5°$<sin53°,

故选：C

5.己知函数/*)=粤里见的图象如图所示，当》<〃时，有则下列判断中正确的是

2x+b••

()

C.0<«<l,/?7<0,/?>0D.0<a<l,〃z<06<0

【答案】B

【分析】根据/(X)的定义域为XH2得到机<0,排除A选项；

根据/(〃)=*盥言1=0,得到〃=1,再结合x<l时，〃x)>0得到。>0,排除D选项；

根据〃0)=粤2，>>0得到”>1,排除C选项.

b

【详解】由图象可得，/(X)定义域为XH2,所以XW2可能是2/+6/0的解，也可能是|x+〃?*0的

解，

当xw2是2f+匕工0的解时，〃=一8,此时2f+匕/0的解为xw±2,跟题意不符；

当工工2是|工+同工0的解时，6=-2,符合要求，所以m<0,故A错；

因为〃z=-2,〃<2,/(〃)=log”卜+同=0,所以"=1,

当X<1时，=1Mm>0,而卜一2|>1,所以log.k—2|的符号在X<1时不变，贝IJ2/+〃的

符号也不变，所以21+〃只能大于零，即6>0,故D错；

因为〃0)=g齐，b>0,所以log“2>0,即故B正确，C错.

故选：B.

6.已知〃x)是定义在R上的增函数，且对任意xeR,都有〃N)〃W)=/a+N),则不等式

/(%-2)>f(x+£|］的解集为()

A.(—3,+oo)B.(2,+oo)

C.(-co,-3)D.y,2)

【答案】C

【分析】根据题意，分析可得原不等式可以转化为/(X-2)>/(2X+1),由函数的单调性解不等式，即

可得答案.

【详解】根据题意，/(X)满足/(^)/(X2)=/(X,+々)，

则1/(•*■+-)]2=f(x+—)x/(-V+—)=/(2x+1),

则f(x-2)>lf(x+^)]2f(x-2)>f(2x+l),

又由/")是定义在R上的增函数，

则有x-2>2x+l,解可得x<-3,

即不等式的解集为(―,-3).

故选：C.

7.若函数丫=1<唱](62-4%+12)在区间[1,2]上单调递增，则实数”的取值范围()

3

A.(-1,1]B.[-1,1]C.(0,1]D.[0,1]

【答案】A

【分析】根据复合函数的单调性可得u=cvc-4X+12(M>0)在区间[1,2]上单调递减，

分a=0、a>0、〃<0讨论，根据在xe[l,2]上单调性可得答案.

【详解】因为yTogl”是减函数，函数y=l°g|(以2一以+12)在区间[1,2]上单调递增，

33

所以〃=方2_41+12(〃>0)在区间[1,2]上单调递减，

当〃=0时，〃=Tx+12在XE[1,2]单调递减，XE[1,2]时〃44,8],符合题意；

当〃>0时，若〃=办2-4%+12(〃>0)在工£[1,2]单调递减，

\—>2,

则,2a,解得OvoWl；

4a-4x2+\2>0

当。<0时,若”=加-4犬+12(〃>0)在xe[l,2]单调递减，

_241皿

则,2a,解得一1<。<0；

4。-4x2+12>0

综上所述，实数。的取值范围(-15.

故选：A.

8.已知函数/3=(,-4+力”巾+4，a,bwR,若在定义域上恒成立，则。一2人的值是

()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】首先将函数分成两部分，ln|x+d和卜-4+人，然后考察m|x+a|的零点，利用两部分同号

相乘为正数的原则，可知两部分的零点相同，代入并讨论去绝对值，即可求解。,尻

【详解】由题设，/(%)定义域为{无|无力-〃}

令1巾+同=0,可得x=-a+l或

y=ln|x+a]在(一a-l,-(一。，一〃+1)上y<0,在(一co,--a,+oo)上y20,

若g(x)=|x-4+Z?,

，要使〃力20在定义域上恒成立，则在(一〃一1,一。)口(一〃,一。+1)上8(%)《0,在

(-O0,-6Z-I]u[l-6Z,+C0)]_hg(x)>0,

工=-。+1或3二一〃一1也是g(X)的零点，则：

11

a<————1<a</—1a>—

2222

4=0

<1-2〃+Z?=。,无解；<1一2。+h=0,JW得:2a-\+h=0,无解.

b=-\'

-2a+b-\=02。+h+1=02。+b+1=0

：.a-2b=2

故选：D

二、多选题

9.下列三角函数值为负数的是()

B.tan505°C.sin7.6%D.sin186°

【答案】BCD

【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案.

【详解】对于A,tan卜彳卜-tan1--(-1)=1,故A为正数；

对于B,tan505°=tan(360°+145°)=tan145°=-tan35°<0,故B为负数;

24

对.于C,sin7.6%=sin(8^--0.4^-)=-sin—<0,故C为负数；

对于D,sin186°=sin(l80°+6°)=-sin6°<0,故D为负数;

故选：BCD

10.已知实数a,h,c满足：。+6=。且0&>0,贝！］()

2

A.a2<c2B.ab<—c

2

C.2a+2h>2cD.a2+b2>c2

【答案】AB

【分析】对于A：利用不等式的乘方直接判断；

对于B：由°2=〃+2”8+〃>2az，即可判断；

对于C：取特殊值“=1力=2,否定结论；

对于D：由/+2必+炉>2成>即可判断.

【详解】因为实数a,b,c满足：a+h=c5.ab>0,所以a、％、c同号.

对于A：若a<0,/?<(),贝！］c=a+Z?<a<(),所以“2</;若a>0,b>0,贝iJc=a+%>a>0,所

以/VC?；故A正确；

对于B：因为a+A>=c,a630,所以/=(“+。)2=储+？々/^〃>2,力，所以成立.故B正确；

对于C：可取。=1,6=2,则2“+2"=2+4=6,2'=23=8,所以2"+2”>2,不成立.故C错误；

对于D：因为a+6=c,所以。2=(4+。『="2+2"+。2.因为油>0,^fl^c2=a2+2ab+b2>a2+b2.

故D错误.

故选：AB

2x„

-^—7,x20

11.已知函数/(%)=7+,则下列说法正确的是()

——，x<0

X

A.函数/(X)的单调减区间是［1,+8)；

B.函数/(x)在定义域上有最小值为0,无最大值;

C.若方程/(x)-f=0有1个实根，则实数f的取值范围是(1,”)

D.设函数g(x)=f+2皿+3,若方程g［f(x)］=l有四个不等实根，则实数"的取值范围是1-8,-j

【答案】ABD

.2

---px>0

x+一

【分析】函数变形得/("=X,即可根据函数形式得出函数的单调性及值域，即可判断

,x<0

X

AB；由数形结合即可判断C；对D,方程g［/（x）］=l等价于＜②，结合①解的个数的情况,

即可判断②中解的个数及范围，即可根据零点存在定理列不等式求解.

—,x＜0

.x

19

由于y=X+：在（0,1）上单调递减，在（1,一）上单调递增，且＞=:在（0,+8）单调递减，

所以由复合函数单调性可得当*20时，'（x）=工工在（0,1）上单调递增，在（1,抬）上单调递减,

故"X）的图象如图所示,

对AB,在（—8,0）,/（X）单调递增，值域（0,+8）；

在［0,+8）,当X、nx=l时，“X）有最大值，即在［0,1）单调递增，在（1,位）单调递减,值域为［0』,

综上，f（x）的值域为［0,也），故AB对；

对C,方程〃x）T=0有1个实根等价于y=/（x）与V=f有一个交点，则实数f的取值范围是

{0}（1,+力）,C错;

「/、i［/（%）=，①

对D,方程g［/M=l等价于［；"=］②，

由于代{0}"1,+8）时方程①一解：r=l时方程①两解：fw（0,l）时方程①三解.

故g［f（*=1有四个不等实根等价于如）=8（。-1=r+2皿+2=0有两根：耳,其中H（0,1）,

e{0}u（l,+（x＞）.

o2

V/z（0）＞0,区=2,，只需力（1）=2相+3＜0=机＜一巳即可，此时乙«0,1）,Z2=-e（2,+oo）,故相

2乙

的取值范围为1D对.

故选：ABD

“+fO,O<x<1

12.定义“正对数”：ln+x=〈t,若〃>0,b>0,则下列结论中正确的是()

[lnx,x>1

A.ln+(a/?)=Z?ln+tz

B.ln\ab)>In+o+ln'Z?

C.ln+(a+b)>ln+6r+ln+b

D.In*(。+。)<ln+^4-In+/?+ln2

【答案】AD

【分析】根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解

析式不一样，故需要对〃力进行分类讨论，判断出每个命题的真假.

【详解】对A,当6>0时，有从而ln+(/)=0,/21n+a=6*0=0,

所以In*(a")=6In+a；

当a21,Z?>0时，有从而ln+(a")=lna"=Z?lna,b\n+a=b\na,

所以ln+(a")=Z?ln+a.

所以当a>0,b>0时，ln+(/)=〃n+a,故A正确.

对B,当a=；,b=2时满足a>0,i>>0,ifi]ln+(at>)=In*=0,In1«+In'ft=In4-^+In'2=In2,

所以ln+(曲)<ln+a+ln”,故B错误；

对C,令a=2,b=4,则ln+(2+4)=ln6,In+2+ln+4=ln2+ln4=ln8,显然In6<ln8,故C错

误：

对D,由“正对数”的定义知，当当4々时，有皿占41底与，

当Ovavl,Ovbvl时，有0va+/?<2,

从而ln*(a+人)<ln+2=ln2,ln+«+ln+*+ln2=0+0+ln2=ln2,

所以In*(a+b)<In+a+In"+In2；

当aZl,0<万<1时，有a+%>l,

从而In+(〃+/?)=In(〃+/?)<In(Q+〃)=In(勿)，ln+^4-ln+/?+ln2=ln6Z4-0+ln2=ln(26f),

所以IrT(〃+b)<In+。+In+/?+In2；

当Ovavl,时，有。+方>1,

从而In+(〃+/?)=ln(〃+/?)<In(/?+/?)=ln(2b),ln+6z+ln+Z?+ln2=O+ln/?+ln2=ln(2Z?),

所以In+(〃+/?)<ln+a+ln+b+ln2；

当时，ln+(tz+/?)=ln(6z+Z?),ln+6f+ln+/?+ln2=lna+ln/?+ln2=ln(26f/?),

因为2曲-(〃+/?)=出?-。+〃/?-/?=〃仅-1)+/?(々-1)NO,

所以助力之〃+力，所以ln+(a+b)41n+a+ln+b+ln2.

综上所述，当。>0,b>0时，ln+(6^+/?)<ln+6/+ln+/?+In2,故D正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，考查分类讨

论思想、转化与化归思想的灵活运用，考查运算求解能力，注意本题容易因为理解不清定义使解题

无法入手.

三、填空题

13.计算+7（lg4）2-lgl6+l-1g；+logs35-logs7=

【答案】5

【分析】根据对数和指数的运算求解即可.

【详解】'+J（lg4）2—1g16+1-1g；+logs35-logs7

2

=（；）+7（lg4）-21g4+l+Ig4+log535-log57

=3+|lg4-l|+lg4+logs5

=3+l-lg4+lg4+l=5.

故答案为：5.

(4冗47r)

14.在平面直角坐标系中，若角a的终边经过点尸［sin可,C0S7J,则cos(兀+a)=

【答案】正

2

【分析】由诱导公式求出点尸的坐标，由三角函数的定义求出cosa的值，再由诱导公式即可求解.

4兀.714兀7171

【详解】因为sin」=sin2+兀=-sin—=cos—=cos—+兀=-cos-=

33323332'

(c

因为角a的终边经过点P~2

一也

因为|OP|=1，所以必。=偏"手，

所以cos(兀+a)=-cosa=《-

故答案为：B

2

15.设函数〃x)=x和函数g(x)=x]元-4|,若对任意的不^e[0,r],当工产々时，都有

瑞第乜则.的最大值为

【答案】1

【分析】将条件进行整理，最后转化为一个函数的在区间[。川上的单调性问题.

【详解】不妨设

对丁g(xj-g(w)_g(%)-g(X2)

>2,.・.ga)-g㈤<2(再一巧),

，(西)-/(々)王一马

.,.5(^)-2^<g(x,)-2x,,即/z(x)=g(x)_2x=x|x_4|_2x,xe[0,f]单调递增；

二;I：：：。，一x?+2x在(f』上单调递增，故*=L

故答案为：1

•Jx,O<x<2

16.己知函数对于任意xeR均满足/(x)=〃4—x),且当x42时，f[x)=<2，若

存在实数4,6,C',d(a<6<c<")满足/(4)=/(/?)=/(c)=/("),则。一〃)(c-"+4)的取值范围为

【答案】(一8,0)

【分析】由抽象函数关系式可知〃X）关于直线X=2对称，由此可得人a=d-c；作出〃x）在（Y>,2]

上的图象，采用数形结合的方式可确定“=且。«0,2）,令t=A-a,将问题转化为二次函数值域

的求解问题，结合对勾函数性质可得，的范围，进而确定结果.

【详解】/（x）=/（4—x）,\/（x）关于直线x=2对称，.•2—a=d—c,令f=6-a；

作出〃x）在（—,2]上的图象如下图所示，

由图象可得：~^=瓜：.（!=-',且。€（0,2）,.」=匕-。=6+石€（4,+8）,

4-jj=r（-r+4）=-?+4r=-（r-2）2+4,则y<-22+4=0,即一/+4/G（9,0）,

二（A—a）（c—d+4）的取值范围为（―8,0）.

故答案为：（-8,0）.

四、解答题

17.设aeR,集合A={x|log2（x+a）<2},B=1x|x2-（o+3）x<0j,

⑴若。=1,求AcB

（2）若2eAc（4B）,求a的取值范围.

【答案】⑴AB={x|0<x<3}

（2）—2<aW—1

【分析】（1）根据对数函数定义域与单调性，结合二次不等式与交集的定义求解即可;

（2）由题意2c力且再分别代入求解不等式即可.

【详解】（1）当a=l时，

A=|log2(x+1)<2}={x|-1<x<3},8{%Ix?-4xv0}={犬10<x<4},

所以Ac8={x|Tvx<3}c{x[0<x<4}={x[0<x<3}

（2）集合8={x|九2一（a+3）x<o},所以=-（々+3）x2。}

因为2eAc（45）,所以且2£4反

log2（2+tz）<20<2+。<4

则解得—2vaW—1.

22-2（6/+3）>04-2a-6>0

18.在平面直角坐标系北。了中，O是坐标原点，角。的终边。4与单位圆的交点坐标为

A（my-j\（m<0）,射线。4绕点0按逆时针方向旋转，处度后交单位圆于点2,点5的纵坐标y关

于。的函数为y=/（。）.

⑴求函数y=/（。）的解析式.并求的值;

⑵若〃。）=手,匹（0,乃），求tan（0+的值.

【答案】⑴/（9）=sin,+V）,./•卜£|=g

【分析】（1）根据题意，得到sina=-；,而/（e）=sin（a+6）,根据a所在象限，得出a,进而求出

/（，），再代入。=-三JT，即可求得A-17T）；

（2）由/•⑹邛，得到sin（e+2W，根据6e（（U）,得你装｝利用平方关系解

得cos（6»+?）,进而可求出tan（6+看）的值.

17TT

【详解】（1）因为sina=_；,且机<0,点A在第三象限，所以a=?+2br住eZ）,

26

由此得/(e)=sin1(9+V

(2)由于/(O)=/知sin[V+=-sin(0+.)=手,即sin(0+1)=-哼

由于6€(0,%)，得6+会信高，与此同时sin(e+V)<0,所以cos[e+"<0

由平方关系解得:

19.2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆

预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采

样并返回地球的国家，标志着我国探月工程”绕，落，回''圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载

火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，

可以用公式丫=%/n”计算火箭的最大速度v(m/s),其中%(m/s)是喷流相对速度，〃?(kg)是火箭(除

m

推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对

速度为1000(m/s).

(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

3

(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1倍，总质比变为原来

的(，若要使火箭的最大速度至少增加500(m/s),求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.

参考数据：In200*5.3,2.718<e<2.719.

【答案】(1)5300m/s;(2)在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.

【解析】(1)代入公式u=%-ln”M中直接计算即可

tn

△〜取上".।M…5M3,M一皿M,

(2)由题意得K=%ln—=1000In—,v=—vIn—=1500In—,n则i

mtn22()3m3m

v2-v,=15001n--lOOOln—>500,求出”的范围即可

3机mtn

【详解】(1)v=vln—«1000x5.3=5300m/s,

om

（2）=voln—=10001n—,v2=—voln—=15001n-^-.

mm23m3m

因为要使火箭的最大速度至少增加500m/s,

MM

所以匕一%=1500In——lOOOln—>500,

3mm

即：31n竺-21n丝21,

3/nm

即所以一227e,

27/nm

M

因为2.718vev2.719,所以一N27”73.38.

m

所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.

【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等

式，属于中档题

20.已知sin6+cos9=&sin（9+；）=f,Oe

⑴当r=；,求sirPe-cos”的值；

⑵求函数/（6）=a（sin夕+cos（9）-sinOcos〃的最大值g（a）.

【答案】⑴一些

16

-a,a<-V!

\p2a--,a>1?

2

【分析】⑴根据sinO+cos”!得到sinOcos"-],sin9-cos，=-立，代入计算得到答案.

282

(2)确定摩[-1,&],化简得到Mr)=-g2+0+g,讨论-I/"/夜和血三种情况,

分别计算得到答案.

【详解】（1）sin0+cos<9=—,故（sin6+cos（9）'=sin20+cos26+2sin（9cos0=—,

2

贝！］

sin6cos0=——，sin0cos0<0,又9w-|-,oj,cos0>O,sind<0,

8122,

(sin6-cos夕丫=sin2，+cos2^-2sin^cos^=l+—=—,故sin6-cos0=,

442

sin30-cos30=(sin0-cos^)(sin28+cos%+sin0cos=—R=_亚.

（2）isin（2+；）‘©一卦，故。++-分'故1-1，勾，

J—]

f(0)=6r(sin0+cosO')-sin0cos0-at----

22

设〃（f）=-g『+a/+g,二次函数的对称轴为r=a,

当a<-1时，h(t)irm=/?(-1)=-a；

当-IVaV应时,=〃(")=#+g；

当a>近时,//("max=M夜)=收4一：.

—a,a<—1

综上所述:g（a）=<—crH—IKiW>/2

22

yf2a——,a>1

2

21.已知定义在R上的增函数.f(x),函数尸(x)=/(》)—/(r),G(x)=/(x)+/(-x).

⑴用定义证明函数尸（力是增函数，并判断其奇偶性；

⑵若/（"=2、，不等式G（2x）+4>帆G（x）对任意xeR恒成立，求实数机的取值范围；

⑶在（2）的条件下，函数8（X）=尸（》）+4（/（1-了）-4）有两个不同的零点4与，且1+3"+三,

求实数a的取值范围.

【答案】⑴证明详见解析，*打是奇函数

(2)(-00.3)

【分析】（1）根据函数单调性的定义证得尸（x）是增函数，根据函数奇偶性的定义判断出尸（x）是奇

函数.

（2）由G（2x）+4>mG（x）分离常数加，结合基本不等式以及函数的单调性求得，”的取值范围.

(3)利用换元法，将g(x)=O转化为一元二次方程的形式，结合二次函数零点分布的知识列不等式,

从而求得。的取值范围.

【详解】(1)设内，&eR,且玉<*2.因为/(x)是R上的增函数，贝I/&)</(%),

又F>F，则/(—与)>/(一电)，则/(xJ-/(f)</(X2)-“F),

即尸(5)〈尸(々),所以尸(x)是增函数；

F(x)的定义域是R,且对于VreR,F(-x)=/(-x)-/(x)-F(x),故尸(x)是奇函数.

(2)由G(2x)+4>，〃G(x),即22*+22+4>皿2'+27),则(2'+2-'『+2>，"(2,+2-*),即

m<(2"+2-')+五*,对VxeR恒成立.

令f=2'+2T,2*+2T226子=2,当且仅当2、=2丁户0时等号成立，即d2,

2

则"zvr+7，对任意d2恒成立.

2

对于函数u(x)=x+—(xN2),

任取2<Xj<x2,

v(xl)-v(x2)=xl+—-X,-—

X[x2

2(%一』)(%F)(中2-2)

=X|—---------=--------------,

"x1x2XxX2

当2«斗时，由于%—王<O,x)x2-2>0,x1x2>0,

所以丫(苔)一丫(引<：0,丫(再)<丫(电)

所以U(x)在区间[2+8)上递增.

22

所以，-I—N2H—=3,故机<3.

t2

故实数阳的取值范围为(f,3).

(3)由1+石毛<%+斗，即(%7)(七一】)<°,贝|JX]V1VX2.

因为g(x)=2*_2-*+a(2j_q)