高一数学幂函数1

2.3幂函数1:如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要付的钱数y（元）和购买的蔬菜量x（千克）之间有何关系？2:如果正方形的边长为x，那么正方形面积y＝？3:如果正方体的棱长为x，那么正方体体积y＝？4:如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长y＝？5:如果某人x秒内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度y=？（千米/秒）问题情境

你能发现这几个函数解析式有什么共同点吗?探索发现注意以下几点:（1）系数是1;（2）底是自变量;（3）指数是常数.一、幂函数定义：

一般地，形如的函数称为幂函数，其中为自变量，α为常数．问题:你能说出幂函数与指数函数的区别吗?注意:幂函数的解析式必须是y=ｘa的形式，其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”．指数函数：解析式

，底数为常数a，a>0，a≠1，指数为自变量x；幂函数：解析式

，底数为自变量x，指数为常数α，α∈R；√√√××1.判断下列函数哪些是幂函数？（1）(2)

(3)(4)

(5)2.若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3,27)则f(2)＝＿＿＿＿8例１.写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：定义域为R，奇函数定义域为，非奇非偶定义域为，偶函数

研究函数的定义域和奇偶性,对作函数图象有什么作用?二、幂函数的图象试作出下列函数的图象

y=x3y=x2xOy=x2yy=x311y=x（1）图象都过（0，0）点和（1，1）点；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在[0，+∞)上是增函数。α>0观察图象，说一说它们有什么共同性质？?xyOy=x-2y=x-1y=x-2y=x-111观察图象，说一说它们有什么共同特征？（1）图象都过（1，1)点；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在（0，+∞）上是减函数。（3）在第一象限，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。α<0?公共点单调性奇偶性值域定义域y=x-1y=x3y=x2y=x

函数性质五个特殊的幂函数的性质(-∞,0)减(1,1)(0,+∞)减奇(1,1)增非奇非偶[0,+∞)[0,+∞)(1,1)增奇RＲ(-∞,0]减(1,1)[0,+∞)增偶[0,+∞)Ｒ(1,1)增奇RＲ例1如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。解:依题意,得解方程,得m=2或m=-1检验:当m=2时,函数为符合题意.当m=-1时,函数为不合题意,舍去.所以m=2例2.利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3

(3)解:(1)y=x0.8在(0,+∞)内是增函数,∵5.2<5.3

∴5.20.8<5.30.8(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数∵2.5<2.7∴2.5-2/5>2.7-2/5

练习21）2）3）4）＜＜＞≤练习.比较下列各组数的大小：<>>>知识应用：解后反思两个数比较大小时，何时用幂函数模型，何时用指数函数模型？练习3:如图所示，曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________

一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x=1之间正好相反。

C4C2C3C11例3、证明幂函数在[0,+∞)上是增函数．证明：任取x1,x2∈[0,+∞)，且x1＜x2，则除了作差，还有没有其它方法呢？

证明2:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1<x2则x1/x2<1

所以

所以

所以例3、证明幂函数f(x)=x1/2

在［0，+∞）上是增函数.(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式(2)作比法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则推不出ｆ(x1)<ｆ(x2)小结：

⒈幂函数概念，常见幂函数的图像，幂函数图像变化情况和性质；

⒉应用常见