材料力学课件

第二章轴向拉伸和压缩第二节内力、截面法、轴力及轴力图第一节轴向拉伸和压缩的概念第三节横截面及斜截面上的应力第五节拉（压）杆的应变能第七节强度条件·安全系数·许用应力第八节应力集中的概念第六节材料在拉伸和压缩时的力学性能第四节拉（压）杆的变形·胡克定律1、受力特点：外力或其合力的作用线沿杆轴2、变形特点：主要变形为轴向伸长或缩短3、轴向荷载（外力）：作用线沿杆件轴线的荷载拉杆压杆FFFF第一节轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩FF

1、内力F原有内力材料力学中的内力F'附加内力第二节内力、截面法、轴力及轴力图轴向拉伸和压缩FF+F'

2、截面法、轴力FIFFIIIFIIFNxSFX=0：+FN-F=0

FN=FxSFX=0：-FN’+F=0

FN’=FFN’截面法①切取②代替③平衡单位：N(牛顿)或kN(千牛)轴力规定：轴力拉为正，轴力压为负。轴向拉伸和压缩注意：（1）在采用截面法之前不允许使用力的可传性原理；思考题：在下列哪些计算时，可应用“力的可传性原理”：（A）支反力（B）内力（2）在采用截面法之前不允许预先将杆上荷载用一个静力等效的相当力系代替。轴向拉伸和压缩3、轴力图（1）集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力，作轴力图。

150kN100kN50kN

（2）轴力图中：横坐标代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。标出轴力值及正负号（一般：正值画上方，负值画下方）。（3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。FN

+-轴向拉伸和压缩例一

作图示杆件的轴力图，并指出|FN|maxIIIIII|FN|max=100kNFN2=-100kN100kNIIIIFN2FN1=50kNIFN1I50kN50kN100kN第三节横截面及斜截面上的应力一、应力的概念应力：杆件截面上的分布内力集度平均应力一点处的总应力正应力σ切应力τ应力特征：（1）必须明确截面及点的位置；（2）是矢量，1)正应力：拉为正，

2)

切应力顺时针为正；（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕)

1MPa=106Pa轴向拉伸和压缩FF1122假设：

①平面假设②横截面上各点处仅存在正应力并沿截面均匀分布。轴向拉伸和压缩拉应力为正，压应力为负。

对于等直杆

当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面-----危险截面。危险截面上的正应力----最大工作应力FF二、拉压杆横截面上的应力50轴向拉伸和压缩

例二作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应力。f30f20f3550kN60kN40kN30kN1133222060+横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面----是指任意方位的截面。FFF①全应力：②正应力：③切应力：1）

α=00时，σmax＝σ2）α＝450时，τmax=σ/2

轴向拉伸和压缩三、拉压杆斜截面上的应力

杆原长为l，直径为d。受一对轴向拉力F的作用，发生变形。变形后杆长为l1，直径为d1。其中：拉应变为正，压应变为负。轴向(纵向)应变：

研究一点的线应变：取单元体积为Δx×Δy×Δz该点沿x轴方向的线应变为：x方向原长为Δx，变形后其长度改变量为Δδx第四节拉（压）杆的变形·

胡克定律横向应变：轴向拉伸和压缩胡克定律

实验表明，在比例极限内，杆的轴向变形Δl与外力F及杆长l成正比，与横截面积A成反比。即：引入比例常数E，有：----胡克定律其中：E----弹性模量，单位为Pa;

EA----杆的抗拉（压）刚度。胡克定律的另一形式：

实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数ν----称为横向变形系数（泊松比）轴向拉伸和压缩

例三图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E，试计算D点的位移。

解：解题的关键是先准确计算出每段杆的轴力，然后计算出每段杆的变形，再将各段杆的变形相加即可得出D点的位移。这里要注意位移的正负号应与坐标方向相对应。轴向拉伸和压缩P3P++D点的位移为：

例四图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆，②杆为2×No.5槽钢。材料均为Q235钢，E=210GPa。已知F=60kN，试计算B点的位移。1.8m2.4mCABF①②F轴向拉伸和压缩解：1、计算各杆上的轴力2、计算各杆的变形3、计算B点的位移（以切代弧）B4B3PPΔLP

利用能量守恒原理：U（应变能）=W（外力所做的功）单位体积内的应变能----比能u(单位：J/m3)对拉杆进行逐步加载（认为无动能变化）第五节拉(压)杆的应变能轴向拉伸和压缩

材料力学性质：材料在外力作用下，强度和变形方面所表现出的性能。第六节材料在拉伸和压缩时的力学性能

轴向拉伸和压缩I、低碳钢(C≤0.3%)拉伸实验及力学性能Oσεσeσpσsσb线弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段工作段长度l试件应力-应变（σ-ε）图σp----比例极限σe----弹性极限σs----屈服极限σb----强度极限1.延伸率2.断面收缩率d≥5%—塑性材料d＜5%—脆性材料塑性指标轴向拉伸和压缩Oσε应力-应变（σ-ε）图l1----试件拉断后的长度A1----试件拉断后断口处的最小横截面面积冷作硬化现象冷作硬化

在强化阶段卸载后，如重新加载曲线将沿卸载曲线上升。

如对试件预先加载，使其达到强化阶段，然后卸载；当再加载时试件的线弹性阶段将增加，而其塑性降低。----称为冷作硬化现象123OseA0.2%Ss0.24102030e(%)0100200300400500600700800900s(MPa)1、锰钢2、硬铝3、退火球墨铸铁4、低碳钢特点：d较大，为塑性材料。

Ⅱ、其它金属材料拉伸时的力学性能

无明显屈服阶段的，规定以塑性应变es=0.2%所对应的应力作为名义屈服极限，记作s0.2

轴向拉伸和压缩Ⅲ、测定灰铸铁拉伸机械性能

sbOPDL强度极限：Pb

①

sb—拉伸强度极限，脆性材料唯一拉伸力学性能指标。

②应力应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很小且sb很低。轴向拉伸和压缩Ⅳ.金属材料压缩时的力学性能

比例极限spy，屈服极限ssy，弹性模量Ey基本与拉伸时相同。1.低碳钢压缩实验：s(MPa)200400e0.10.2O低碳钢压缩应力应变曲线低碳钢压缩应力应变曲线轴向拉伸和压缩seOsbL灰铸铁的拉伸曲线sby灰铸铁的压缩曲线

sby>sbL，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面为与轴向大致成45o～55o的滑移面破坏。2.铸铁压缩实验：轴向拉伸和压缩

塑性材料的特点：断裂前变形大，塑性指标高，抗拉能力强。常用指标---屈服极限，一般拉和压时的sS相同。脆性材料的特点：断裂前变形小，塑性指标低。常用指标是sb、sbc且sb《sbc。Ⅴ.非金属材料的力学性能1)混凝土近似匀质、各向同性材料。属脆性材料，一般用于抗压构件。2）木材各向异性材料3）玻璃钢各向异性材料。优点是：重量轻，比强度高，工艺简单，耐腐蚀，抗振性能好。轴向拉伸和压缩第七节强度条件·

安全因数·许用应力根据强度条件可进行强度计算：①强度校核

(判断构件是否破坏)②设计截面

(构件截面多大时，才不会破坏)③求许可载荷

(构件最大承载能力)[σ]----许用应力σu----

极限应力n----安全因数轴向拉伸和压缩强度条件Ⅰ、拉（压）杆的强度条件轴向拉伸和压缩

例五图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆，②杆为2×No.5槽钢。材料均为Q235钢，E=210GPa。求该拖架的许用荷载[F]。1.8m2.4mCABF①②F解：1、计算各杆上的轴力2、按AB杆进行强度计算3、按BC杆进行强度计算4、确定许用荷载l=30mF=3000kNxg解：按等直杆设计桥墩，并计算轴向变形危险截面：底面(轴力最大)横截面面积为：桥墩总重为：轴向变形为：轴向拉伸和压缩

例六石桥墩高度l=30m，顶面受轴向压力F=3000kN，材料许用压应力[s]C=1MPa，弹性模量E=8GPa，容重g=2.5kN/m3，按照等直杆设计截面面积和石料重量，并计算轴向变形。

例七图示空心圆截面杆，外径D＝20mm，内径d＝15mm，承受轴向荷载F＝20kN作用，材料的屈服应力σs＝235MPa，安全因数n=1.5。试校核杆的强度。

解：杆件横截面上的正应力为:材料的许用应力为:可见，工作应力小于许用应力，说明杆件能够安全工作。FFDd轴向拉伸和压缩Ⅱ、许用应力和安全系数①塑性材料：②脆性材料：3）材料的许用应力：材料安全工作条件下所允许承担的最大应力，记为1、许用应力

1）材料的标准强度：屈服极限、抗拉强度等。

2）材料的极限应力：轴向拉伸和压缩确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面：①理论与实际差别：材料非均质连续性、超载、加工制造不准确性、工作条件与实验条件差异、计算模型理想化②足够的安全储备：构件与结构的重要性、塑性材料n小、脆性材料n大。

安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。各种材料在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为1.5～2.2；对于脆性材料通常取为3.0～5.0，甚至更大。轴向拉伸和压缩2、安全因数----标准强度与许用应力的比值，是构件工作的安全储备。第八节应力集中的概念

应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧烈，应力集中程度越剧烈。

静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑。动载下，塑性和脆性材料均需考虑。

应力集中现象：由于截面骤变而引起的局部应力发生骤然变化的现象。理想应力集中系数:其中：----最大局部应力----名义应力（平均应力）轴向拉伸和压缩第三章扭转第五节等直圆杆在扭转时的变形、刚度计算第一节概述第二节传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图第三节薄壁圆筒的扭转第四节等直圆杆在扭转时的应力、强度条件ABA'B'jgmmg：剪切角g(剪应变)j：相对扭转角外力偶作用平面和杆件横截面平行第一节概述扭转δ<<R0---薄壁圆筒规定：矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正mm第二节薄壁圆筒的扭转mT11扭矩切应力对应扭转扭转实验前平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切。纵线圆周线扭转实验后结论扭转得：其中：Mer0x由几何关系知：……剪切胡克定律（线弹性范围适用）OTφOτγ另外有：G为材料的剪切弹性模量扭转

一、传动轴上的外力偶矩第三节传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图转速：n(转/分)输入功率：P(kW)T1分钟输入功：1分钟me作功扭转

例一传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。MAMBMCBCADMD解：计算外力偶矩扭转

二、扭矩及扭矩图1.横截面上的内力：扭矩(T)2.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。例二计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBCADMD解：已知477.5N·m955N·m637N·mT+-作扭矩图如左图示。扭转abdxabTT

一、横截面上的应力1、变形几何关系第四节等直圆杆在扭转时的应力强度条件扭转gMeMedxO2grgr2、物理关系(剪切虎克定律)Or3、力学关系—极惯性矩dAdA应力公式1)横截面上任意点：2)横截面边缘点：其中：d/2ρOT抗扭截面模量D/2OTd/2空心圆实心圆扭转

二、斜截面上的应力单元体：微小的正六面体ottdydzdxxyz′

在扭转时，左右两侧面（杆的横截面）上只有切应力，方向与y轴平行，前后无应力。由平衡知：τ′=τ

切应力互等定理：两个相互垂直平面上的剪应力τ和τ′数值相等，且都指向（或背离）该两平面的交线。注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。

纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有剪应力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）扭转t′tt′tabxnat′tαtσα得：低碳钢扭转破坏铸铁扭转破坏扭转

三、强度条件强度条件：，[t]—许用切应力；

轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。根据强度条件可进行：强度校核;选择截面;计算许可荷载。

理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[t]与许用正应力[σ]之间存在下述关系：对于塑性材料．[t]＝(0.5一0.577)[σ]对于脆性材料，[t]＝(0.8—1.0)[σl]

式中，[σl]代表许用拉应力。扭转

例三某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，试校核轴的强度。解：计算截面参数：

由强度条件：故轴的强度满足要求。

同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。若将空心轴改成实心轴，仍使，则由上式解出：d=46.9mm。空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：

扭转一、扭转时的变形计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。相对扭转角：GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。II、刚度条件

其中：[q]—许用扭转角，取值可根据有关设计标淮或规范确定。扭转第五节等直圆杆在扭转时的变形刚度条件单位长度的扭转角：

例四图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC

作用，试计算该轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。解：1．扭转变形分析利用截面法，得AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180N·m，T2＝-140N·m设其扭转角分别为φAB和φBC，则：扭转

各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。

由此得轴AC的总扭转角为

2刚度校核轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度符合要求。扭转第四章弯曲内力第一节对称弯曲的概念及梁的计算简图第二节梁的剪力与弯矩第三节剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图第四节弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用第五节按叠加原理作弯矩图一、弯曲的概念

1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。第一节对称弯曲的概念及梁的计算简图弯曲内力FqFAFB纵向对称面二、梁的荷载及计算简图

研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。1.梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。

2.梁的支座简化(平面力系)：弯曲内力a)滑动铰支座b)固定铰支座c)固定端弯曲内力3.静定梁—仅用静力平衡方程即可求得反力的梁(a)悬臂梁(b)简支梁(c)外伸梁4.作用在梁上的荷载可分为:(a)集中荷载F1集中力M集中力偶(b)分布荷载q(x)任意分布荷载q均布荷载第二节梁的剪力与弯矩弯曲内力一、截面法过程：切取、替代、平衡FAB剪力CFC弯矩弯曲内力①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)；MMMMFSFSFSFS②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩为正)。剪力为正剪力为负弯矩为正弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力：例一求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。弯曲内力2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：1、求支反力2、计算1-1截面的内力3、计算2-2截面的内力F=8kNFAFBq=12kN/m1.剪力、弯矩方程：2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。例二作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。第三节

剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图

弯曲内力xFSFFlMFlABFSM例三图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。弯曲内力qlAB解：1、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程

例四在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。

由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。弯曲内力FabClAB解：1、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程FAFBFSM弯曲内力

由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。

例五在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解：1、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程FAFBFSM一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系1.假设：规定q(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为其上q(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。2.微分关系推导：第四节弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用弯曲内力yxMF1q(x)ABxdxq(x)dxOM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)1.微分关系的几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。

2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：二、讨论微分关系的几何意义弯曲内力外力情况q<0(向下)无荷载段集中力F作用处：集中力偶M作用处：剪力图上的特征↘(向下斜直线)水平线突变，突变值为F不变弯矩图上的特征(下凸抛物线)斜直线有尖点有突变，突变值为M最大弯矩可能的截面位置剪力为零的截面剪力突变的截面弯矩突变的某一侧3.其它规律：①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；

③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。1.先利用计算法则计算分段点FS、M值；2.利用微分关系判断并画出分段点之间的FS、M图。三、利用微分关系作剪力弯矩图例六外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的FS----M图。弯曲内力解：1、求支反力2、判断各段FS、M图形状：CA和DB段：q=0，FS图为水平线，

M图为斜直线。AD段：q<0，FS

图为向下斜直线，

M图为上凸抛物线。DABC3、先确定各分段点的FS

、M值，用相应形状的线条连接。FS+__3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kN·m)3.81.4132.2_+FAFB当变形为微小时，可采用变形前尺寸进行计算。1、叠加原理：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。2、区段叠加法作弯矩图：

设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：第五节按叠加原理作弯矩图+MAMBM0++MAMBM0弯曲内力BMAAqMBlB

注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。d图中的纵坐标如同M图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线AB。（1）选定外力的不连续点(如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等)为控制截面，求出控制截面的弯矩值。（2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。

例七作图示简支梁的弯矩图。利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：弯曲内力2FCl/2ABFl/2l/2M第五章弯曲应力第一节引言第二节纯弯曲时梁横截面上的正应力第三节梁的正应力强度条件第四节梁横截面上的切应力、梁的切应力强度条件第五节梁的合理设计

梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。第一节引言弯曲应力MFSFSMstI、试验与假设第二节纯弯曲时梁横截面上的正应力1122cabd1122cabdMMMM假设①平截面假设②单向受力假设中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。中性轴：横截面与中性层的交线。弯曲应力MM

II、弯曲正应力一般公式

1.几何条件

弯曲应力m2n2sysLyO1O2ra2'dxn2m2n1m1O曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性层z中性轴y对称轴oa2a1ydqdldqxe2e12.物理条件(虎克定律)弯曲应力3.力学条件dAyz(中性轴)xzyOsdAM中性轴通过截面形心②梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：

—抗弯截面模量。

4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)：

①距中性层y处的应力5.横截面上正应力的画法：

MsminsmaxMsminsmax弯曲应力①线弹性范围—正应力小于比例极限sp；②精确适用于纯弯曲梁；③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。6.公式适用范围：1.矩形截面III、三种典型截面对中性轴的惯性矩2.实心圆截面3.截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:

例5-1

如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面B--B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。

解：1．确定截面形心位置选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为:2．计算截面惯性矩弯曲应力2012020120单位：mmIII3计算最大弯曲正应力截面B—B的弯矩为:

在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：弯曲应力①拉压强度相等材料：

②拉压强度不等材料：

根据强度条件可进行：第三节梁的正应力强度条件弯曲应力1、强度校核:2、截面设计:3、确定梁的许可荷载:弯曲应力

例5-2已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[s]=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变,求F并校核梁正应力强度。CNO.16FAB第四节梁横截面上的切应力切应力强度条件一、矩形梁横截面上的切应力1、公式推导：弯曲应力n1m'n'2m1'ze11'1'11ye2e1x2112dxBAyyxdxxM+dMMFSFSss+dst'mnmm'dxtyt'A

例5-3

求图示矩形截面梁横截面上的切应力分布。

OyzbhtmaxyOt代入切应力公式：解：将

切应力t呈图示的抛物线分布，在最边缘处为零在中性轴上最大，其值为：—平均切应力

弯曲应力xdx二、工字形截面梁上的切应力腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：式中：d为腹板厚度三、薄壁环形截面梁上的切应力假设：1、切应力沿壁厚无变化；2、切应力方向与圆周相切式中：A为圆环截面面积四、圆截面梁上的切应力式中：A为圆截面面积对于等直杆，最大切应力的统一表达式为：弯曲应力五、梁的切应力强度条件

与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：1、强度校核，2、截面设计，3、确定梁的许可荷载但通常用于校核。特殊的：1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。需进行切应力强度计算。弯曲应力例5-4

T形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知[s]y=100MPa，[s]L=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_弯曲应力该梁满足强度要求一、合理配置梁的荷载和支座1、将荷载分散2、合理设置支座位置第五节梁的合理设计Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M图+Pl/8M图Pl/8qlABql2/8M图+q3l/5ABl/5l/5M图+--ql2/40ql2/50ql2/50弯曲应力二、合理选取截面形状

从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。在一般截面中，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比。因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；环形优于圆形。

同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。弯曲应力smaxsmin三、合理设计梁的外形（等强度梁）

梁内不同横截面的弯矩不同。按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均末得到充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。

各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际构件往往设计成近似等强的。弯曲应力FABFAB第六章梁弯曲时的位移第一节概述第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分第三节叠加法求梁的位移第四节梁的刚度校核提高梁的刚度措施第五节梁内的弯曲应变能1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。第一节概述梁弯曲时的位移B1Fxqqvyx2.梁位移的度量：②挠度：梁横截面形心的竖向位移v，向下的挠度为正①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数—v=f(x)④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系—3.计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施一、挠曲线近似微分方程1.力学关系：2.几何关系：3.挠曲线近似微分方程：梁弯曲时的位移第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分yxyx二、积分法求梁的挠曲线2.支承条件与连续条件:1.式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。1)支承条件：2)连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的梁弯曲时的位移lFABqmaxfmax解：建立坐标系如图x处弯矩方程为：梁弯曲时的位移

例一图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。

yxFx例二求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。FabClABFAFB解：1、求支反力梁弯曲时的位移

几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。第三节叠加法求梁的位移梁弯曲时的位移例三如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。FqvBqvCqqBFvBPFq1.在F作用下：2.在q作用下：3.在F和q共同作用下：一、梁的刚度校核

除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。

在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：梁的刚度条件为：通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。

但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。第四节梁的刚度校核提高梁的刚度措施梁弯曲时的位移

例四一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160MPa，许用挠度[δ]=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。

解：1、作出梁的弯矩图2、根据弯曲正应力强度条件，要求3、梁的刚度条件为：由此得

由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数Wz＝3.09xl0-4m3，惯性矩Iz=3.40x10-5m4，可见．选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。梁弯曲时的变形F=35kN2mAB2ml=4mM二、提高梁的刚度措施2.调整跨长和改变结构；缩短跨长：如将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。1.增大梁的抗弯刚度EI；主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱形等。梁弯曲时的变形qlABqlABqAB纯弯曲时梁的弯曲应变能为：横力弯曲时梁的弯曲应变能为：梁弯曲时的位移第五节梁内的弯曲应变能F

例五计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度vB，已知梁的弯曲刚度为EI。

解：1、梁任一截面的弯矩为：2、弯曲应变能为：3、计算B点的挠度vB第七章剪切与连接件的实用计算

第四节铆钉连接的计算第一节概述第三节挤压的实用计算

第二节剪切实用计算m键连接铆钉（或螺栓）连接榫齿连接连接件

在构件连接处起连接作用的部件。（如：螺栓、销钉、键、铆钉、木榫接头、焊接接头等。）

第一节概述剪切与连接件的实用计算工程实用计算方法1、假设2、计算名义应力3、确定许用应力①按照破坏可能性②反映受力基本特征③简化计算直接试验结果FF剪切与连接件的实用计算①受力特点：外力大小相等、方向相反、相距很近、垂直于轴线②变形特点：在平行外力之间的截面，发生相对错动变形。1.剪切受力和变形特点2.剪切计算只对联接件进行3.名义切应力FFS=FAS剪力受剪面面积第二节剪切实用计算

剪切与连接件的实用计算FF剪切面FFFFS上刀刃下刀刃nnFFFFS剪切面剪切与连接件的实用计算3.剪切强度条件剪切破坏条件4.许用剪（切）应力5.双剪(两个剪切面)试验试件压头FFSFS剪切与连接件的实用计算[例一

]

图示装置常用来确定胶接处的抗剪强度，如已知破坏时的荷载为10kN，试求胶接处的极限剪（切）应力。③①②胶缝30mm10mmF①FSFSF解：剪切与连接件的实用计算[例二]

如图螺钉，已知：[t]=0.6[s]，求其d:h的合理比值。解hFd

当s，t分别达到[t]，[s]时，材料的利用最合理剪切面dh剪切与连接件的实用计算1.挤压的概念FF挤压面FF压溃(塑性变形)挤压计算对联接件与被联接件都需进行第三节挤压的实用计算

剪切与连接件的实用计算3.挤压强度条件：

4.挤压许用应力：由模拟实验测定

①挤压面为平面，计算挤压面就是该面②挤压面为弧面，取受力面对半径的投影面2.挤压应力tdFbs挤压力计算挤压面Abs=td剪切与连接件的实用计算h/2bldOFSnnQFbsFMennOMe校核键的剪切强度：校核键的挤压强度：

[例三]

图示轴与齿轮的平键联接。已知轴直径d=70mm，键的尺寸为b×h×l=20×12×100mm，传递的力偶矩Me=2kN·m，键的许用应力[t]=60MPa，[s]bs=100MPa。试校核键的强度。强度满足要求剪切与连接件的实用计算AF

[例四]某钢桁架的一个结点如图所示。斜杆A由两个63×6的等边角钢组成，受力P=140kN的作用。该斜杆用螺栓连接在厚度为t=10mm的结点板上，螺栓直径为d=16mm。已知角钢、结点板和螺栓的材料均为Q235钢，许用应力为〔σ〕=170MPa,〔τ〕=130MPa,〔σbs〕=300MPa。试选择螺栓个数，并校核斜杆A的拉伸强度。FA

解：分成三个步骤：1、由剪切强度条件选择个数；2、用挤压强度条件校核；3、校核斜杆的拉伸强度。

当螺栓直径相同、外力作用线通过形心时，可假定每个螺栓受相同的力。即每个螺栓所受力等于P/n螺栓有两个受剪面剪切与连接件的实用计算FFbsFbsFbsmm1.由剪应力强度条件：得：取：2、校核挤压强度满足挤压强度条件3、校核角钢的拉伸强度取两根角钢为分离体，作出受力图和轴力图。可知m-m为危险截面斜杆满足拉伸强度的要求+F2F3F3FN图剪切与连接件的实用计算铆钉连接方式：单剪-----搭接、单盖板对接双剪-----双盖板对接。一、铆钉组承受横向荷载

假设：1.不考虑弯曲的影响；2.外力通过铆钉组的形心，且各铆钉直径相同，则每个铆钉的受力也相等。计算方法：与上一节方法相同FFFF每个铆钉受相同的力F1=F/n

其中：n为铆钉组中的铆钉个数第四节铆钉连接的计算

剪切与连接件的实用计算二、铆钉组承受扭转荷载

此时每个铆钉的受力不相同，每个铆钉上所受的力与到形心的距离成正比，方向垂直于该点与形心O点的连线。其中：m为钢板所受的转矩；

Fi为每个铆钉所受的力；

ai为铆钉截面中心至铆钉组形心的距离FFe剪切与连接件的实用计算

承受偏心荷载的铆钉组，可将偏心荷载P向形心简化为一个过O点的荷载和一个绕O点的转矩。

则每个铆钉上所受的力为由横向力引起的力和转矩引起的力两者的矢量和。剪切与连接件的实用计算第九章应力与应变分析第一节应力状态的概念

第二节平面应力状态下的应力研究、应力圆

第三节三向应力状态下的最大应力

第四节广义虎克定律

第五节三向应力状态下的变形比能一、一点的应力状态1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。第一节应力状态的概念二、研究应力状态的方法—单元体法

1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。应力与应变分析xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz应力与应变分析

（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示3.截取原始单元体的方法、原则①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体②单元体各个面上的应力已知或可求；③几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量应力与应变分析PMeMePPMeMec)同b)，但从上表面截取Ctssb)横截面，周向面，直径面各一对Ba)一对横截面，两对纵截面As=P/Ast=Me/WnABCBCAPCABtBtCsCsCsAsA三、应力状态分类(按主应力)

1.①主平面：单元体上剪应力为零的面；②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，有s1≥s2≥s3。应力与应变分析旋转y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy2.应力状态按主应力分类：

①只有一个主应力不为零称单向应力状态；②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应力状态又称复杂应力状态。应力与应变分析一、平面应力分析的解析法

1.平面应力状态图示：第二节平面应力状态下的应力研究、应力圆

sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyx应力与应变分析2.任意a角斜截面上的应力sxtxysysysxtyxABxyantasαtαsxtxytyxsyxdAsxsytxytyx

得

应力与应变分析符号规定：a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负s—拉为正，压为负t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负3.主应力及其方位：

①由主平面定义，令tα

=0，得：

可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。②令得：即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。应力与应变分析③主应力大小：④由s'、s"、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3

⑤判断s'、s"作用方位(与两个a0如何对应)txy箭头指向第几象限(一、四)，则s'(较大主应力)在第几象限，即先判断s'大致方位，再判断其与算得的a0相对应，还是与a0+90o相对应。

⑥txys's"a0*txys"s'a0*应力与应变分析4.极值切应力：

①令：，可求出两个相差90o

的

a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。②极值切应力：③(极值切应力平面与主平面成45o)应力与应变分析403020单位：MPaasata40203014.9os"s's"s'

例一图示单元体，试求：①a=30o斜截面上的应力；②主应力并画出主单元体；③极值切应力。tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圆轴扭转时的应力状态4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成±45o斜截面上，它们数值相等，均等于横截面上的剪应力；5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。例9-2分析圆轴扭转时的应力状态。二、平面应力分析的图解法—应力圆

1.理论依据：①②以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx‘、tx’y‘为：以)为半径的圆。2.应力圆的绘制：

①定坐标及比例尺；②取x面，定出D()点；取y面，定出D‘()点；③连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1s'B1s"2a(sa,ta)EG1t'G2t"D'(sy,tyx)BAD(sx,txy)sata3.应力圆的应用①点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；②角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a;③旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同；④求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点，按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。⑤用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向A1点代表s‘所在主平面，其转过角度为2，转至s轴负向B1点代表s"所在主平面；⑥确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t’，纵轴坐标最小的G2点为t”，作用面确定方法同主应力。求：1)a=30o斜截面上的应力；

2)主应力及其方位；

3)极值剪应力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020单位：MPaxasata40.3-40.3

例9-3

用应力圆法重解例9-1题。

1.三向应力状态应力圆：①平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定；②平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定；③平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定；④由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。一、三向应力状态下的应力圆2.三向应力状态下的最大剪应力

tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。二、例题

第三节三向应力状态下的最大应力s3s2s1s2s3s1s2s1s3s3C1C3s1s2Otst12t23t13C2

例9-4试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。x300150y140z90解：①给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPaxzyxzy90300150140Asy=140txy=150sx=300A视s2y'31o31os1x's3④主应力方位：

最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。⑤单元体内的最大剪应力：一、广义虎克定律1.有关概念：①主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1≥e2≥e3表示；②正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；2.广义虎克定律：①推导方法：叠加原理②主应变与主应力关系：③一般情况：第四节广义虎克定律s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2s1方向上的应变：s2方向上的应变：s3方向上的应变：IIIs3④用应变表示应力：上式中：

二、例题

例9-5在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，n=0.30。PpPP/Apppp④柱内各点的三个主应力为：

求得：③由广义虎克定律：②在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e2的值为：

解：①在柱体横截面上的压应力为：一、总应变比能1.有关概念：

①应变能(变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的能量。用U表示；②比能：单位体积的应变能，用u表示；2.总应变比能：①取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值，则该单元体所储存的应变能为：②比能：

③代入虎克定律：第五节三向应力状态下的变形比能

s2s1s3e1e2e3dxdydz二、体积改变比能uv与形状改变比能ud1.有关概念：①单元体的变形：体积改变和形状改变。②体积改变比能：与体积改变相对应的那一部分比能，用uv表示；③形状改变比能：与形状改变相对应的那一部分比能，用ud表示；④2.uv、ud公式①体积改变比能：s3s2s1体积应变只与平均正应力有关，则体积改变比能只与平均正应力有关。体积改变smsmsms3-sms2-sms1-sm形状改变②形状改变比能：

一般情况：

强度理论的概念

四个强度理论

摩尔强度理论

各种强度理论的适用范围强度理论1.简单应力状态下强度条件可由实验确定

2.一般应力状态下，材料的失效方式不仅与材料性质有关，且与其应力状态有关，即与各主应力大小及比值有关；

3.复杂应力状态下的强度准则不能由实验确定(不可能针对每一种应力状态做无数次实验)；4.强度准则：①金属材料的强度失效分为：屈服与断裂；②强度准则(强度理论)：材料失效原因的假说

(假说—实践—理论)；③通过强度准则，利用单向拉伸实验结果建立各种应力状态下的失效判据和相应的设计准则。强度理论的概念强度理论两类强度理论：1.第一类强度理论（以脆性断裂破坏为标志）2.第二类强度理论（以塑性屈服破坏为标志）四个强度理论

准则：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是单元体中的最大拉应力s1达到某个共同极限值sjx。1.断裂原因：最大拉应力s1（与应力状态无关）3.强度条件：

2.破坏条件：一、第一强度理论（最大拉应力理论）4.应用情况：符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向拉伸和扭转中的脆断；但未考虑其余主应力影响且不能用于无拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。强度理论二、最大伸长线应变理论（第二强度理论）

准则：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是单元体中的最大伸长线应变e1达到某个共同极限值ejx。1.断裂原因：最大伸长线应变e1（与应力状态无关）；

3.强度准则：

2.破坏条件：4.应用情况：符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合大多数脆性材料的脆性破坏。

强度理论三、最大切应力理论（第三强度理论）

准则：无论在什么样的应力状态下，材料发生屈服流动的原因都是单元体内的最大切应力tmax达到某一共同的极限值tjx。

1.屈服原因：最大切应力tmax（与应力状态无关）；

2.屈服条件：

3.强度准则：

4.应用情况：形式简单，符合实际，广泛应用，偏于安全。

强度理论四、第四强度理论（形状改变比能理论）

准则：不论应力状态如何，材料发生屈服的共同原因是单元体中的形状改变比能ud达到某个共同的极限值udjx。1.屈服原因：最大形状改变比能ud（与应力状态无关）；

2.屈服条件：

3.强度准则：

4.应用情况：对塑性材料比最大剪应力准则符合实验结果。

强度理论摩尔强度理论一、摩尔强度理论（修正的最大切应力理论）准则：剪应力是使材料达到危险状态的主要因素，但滑移面上所产生的阻碍滑移的内摩擦力却取决于剪切面上的正应力s的大小。1.摩尔理论适用于脆性剪断：2.材料的剪断破坏发生在(t-fs)值最大的截面上(这里f为内摩擦系数)。①在一定应力状态下，滑移面上为压应力时，滑移阻力增大；为拉应力时，滑移阻力减小；

脆性剪断：在某些应力状态下，拉压强度不等的一些材料也可能发生剪断，例如铸铁的压缩。强度理论②由实验确定剪断时的tjx、sn关系：

极限应力圆：材料达到屈服时，在不同s1和s3比值下所作出的一系列最大应力圆(摩尔圆)。

③不考虑s2的影响，每一种材料可通过一系列的试验，作出极限应力圆，它们的包络线就是曲线，当最大应力圆恰好与包络线相接触时，则材料刚刚达到极限状态；若最大应力圆位于包络线以内时，则它代表的应力状态是安全的。2.莫尔强度准则：①公式推导：

②强度准则：

[sl]—拉伸许可应力；[sy]—压缩许可应力。如材料拉压许用应力相同，则莫尔准则与最大剪应力准则相同。st极限应力圆O1拉伸拉伸纯剪切压缩st压缩O2stOD2D1用单向拉伸和压缩极限应力圆作包络线tjx=F(sn)用单向拉伸、压缩和纯剪切极限应力圆作包络线tjx=F(sn)O1[sl][sy]O2D2D1s3s1O3O1E2E3D3stO

1、不论是脆性或塑性材料，在三轴拉伸应力状态下，均会发生脆性断裂，宜采用最大拉应力理论（第一强度理论）。

2、脆性材料：在二轴拉伸应力状态下，应采用最大拉应力理论；在复杂应力状态的最大、最小拉应力分别为拉、压时，由于材料的许用拉、压应力不等，宜采用摩尔强度理论。

3、塑性材料（除三轴拉伸外），宜采用形状改变比能理论（第四强度理论）和最大剪应力理论（第三强度理论）。

4、三轴压缩状态下，无论是塑性和脆性材料，均采用形状改变比能理论。各种强度理论的适用范围由强度理论可从推知如纯剪时，由第四强度理论得：强度理论二、应用举例强度准则的统一形式：其中：

例一某结构危险点的应力状态如图所示，其中s＝120MPa，t=60MPa。材料为钢，许用应力[s]=170MPa，试校核此结构是否安全。ts解：

钢材在这种应力状态下会发生屈服失效，故可采用第三和第四强度理论作强度计算。两种理论的相当应力分别为：两者均小于[s]=170MPa。可见，无论采用第三或是第四强度理论进行强度校核，该结构都是安全的。主应力为:强度理论

例二等厚钢制薄壁圆筒如图所示，其平均直径d=100cm，筒内液体压强p=3.6MPa。材料的许用应力[s]=160MPa，试设计圆筒的壁厚。强度理论dtpxyzsxLzyxstpsxst

在d>>t的条件下，p与st相比很小可略去不计，故主应力为：钢材在这种应力状态下会发生屈服失效按第四强度理论有：

可以看出，第三强度理论较第四强度理论偏向安全一方。

强度理论按第三强度理论有：

例三图示一T型截面的铸铁外伸梁，试用摩尔强度理论校核B截面胶板与翼缘交界处的强度。铸铁的抗拉和抗压许用应力分别为[sl]=30MPa，[sy]=160MPa。

52208020120zO1m1mB9kNA1m4kNts解：由上图易知，B截面：M=-4kN·M，Q=-6.5kN。根据截面尺寸求得：

从而算出：

强度理论由于铸铁的抗拉、压强度不等，应使用莫尔准则，有：

故满足摩尔理论的要求。

在截面B上，翼缘b点的应力状态如上图所