202022学年福建省泉州市九年级期末数学试卷

2022-2022学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卡上相应题目的答题区域内作答）1．（4分）下列根式是最简二次根式的是A． B． C． D．2．（4分）下列事件中是必然发生的事件是A．任意画一个三角形，其内角和是 B．某种彩票中奖率是，则买这种彩票100张一定会中奖 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数3．（4分）用配方法解方程：，下列配方正确的是A． B． C． D．4．（4分）小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为A．1 B． C． D．5．（4分）现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，某家快递公司，今年5月份与7月份完成投递的快递总件数分别为8.5万件和10万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是A． B． C． D．6．（4分）一张矩形纸片，已知，，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段长为A． B． C．2 D．17．（4分）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是A． B． C． D．8．（4分）已知，，则的值为A． B． C．8 D．29．（4分）如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为A． B． C． D．10．（4分）设，，则与的关系为A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题,每小题4分,共24分把答案填在答题卡的相应位置)11．（4分）二次根式有意义，则的取值范围是．12．（4分）如图，在中，，是两条中线，则．13．（4分）某坡面的坡比为，则它的坡角是度．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若，则．15．（4分）若一元二次方程中，．则此方程必有一根为．16．（4分）如图，等腰中，，．点在线段上运动（不与、重合），将与分别沿直线、翻折得到与，连接，则面积的最小值为．三、解答题（本大题9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在答题卡上相应题目的答题区城内作答）17．（8分）计算：18．（8分）解方程：19．（8分）先化简，再求值：，其中．20．（8分）某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整．（2）此次比赛有三名同学得满分，分别是甲、乙、丙，现从这三名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丙的概率．21．（8分）已知关于的方程．（1）若该方程的一个根为2，求的值及该方程的另一根．（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22．（10分）某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游，旅行社给出了如下收费标准（如图所示）设参加旅游的员工人数为人．（1）当时，人均费用为元，当时，人均费用为元；（2）该单位共支付给旅行社旅游费用27000元，请问这次参加旅游的员工人数共有多少人？23．（10分）阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么．通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含角的直角三角形中，存在着的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在中，，，，，请判断此时“”的关系是否成立？答：（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角中，，，，请判断此时“”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点作于，过点作，再结合定义或其它方法证明）．24．（12分）如图，在中，点是边上的一个动点（不与、重合），，．（1）求证：；（2）设，，求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；（3）当是等腰三角形时，求的长．25．（14分）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与交于、两点．（1）求的值；（2）连接、，若．①当不等式时，请结合图象求的取值范围；②设点在轴上，且满足，求点的坐标．

2022-2022学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卡上相应题目的答题区域内作答）1．（4分）下列根式是最简二次根式的是A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可．【解答】解：、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，故此选项错误；、是最简二次根式，故此选项正确；故选：．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件．2．（4分）下列事件中是必然发生的事件是A．任意画一个三角形，其内角和是 B．某种彩票中奖率是，则买这种彩票100张一定会中奖 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．【解答】解：、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故此选项正确；、某种彩票中奖率是，则买这种彩票100张一定会中奖，是随机事件，故此选项错误；、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故此选项错误；故选：．【点评】此题主要考查了概率，以及随机事件和必然事件，关键是掌握①必然事件发生的概率为1，即（必然事件）；②不可能事件发生的概率为0，即（不可能事件）；③如果为不确定事件（随机事件），那么（A）．3．（4分）用配方法解方程：，下列配方正确的是A． B． C． D．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．【解答】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，配方得．故选：．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（4分）小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为A．1 B． C． D．【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，故选：．【点评】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．5．（4分）现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，某家快递公司，今年5月份与7月份完成投递的快递总件数分别为8.5万件和10万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是A． B． C． D．【分析】利用7月份完成投递的快递总件数月份完成投递的快递总件数，进而得出等式求出答案．【解答】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，根据题意，得，故选：．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出五月份完成投递的快递总件数是解题关键．6．（4分）一张矩形纸片，已知，，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段长为A． B． C．2 D．1【分析】首先根据折叠的性质求出、和的长度，进而求出线段的长度．【解答】解：，，，，，，，故选：．【点评】本题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是求出的长度．7．（4分）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．8．（4分）已知，，则的值为A． B． C．8 D．2【分析】设比值为，用表示出、、，然后代入等式求出的值，再求解即可．【解答】解：设，则，，，，，解得，．故选：．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设法”求解更简便．9．（4分）如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为A． B． C． D．【分析】直接连接，得出，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：连接，由网格可得：，则，，故．故选：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键．10．（4分）设，，则与的关系为A． B． C． D．【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质．二、填空题（本大题共6小题,每小题4分,共24分把答案填在答题卡的相应位置)11．（4分）二次根式有意义，则的取值范围是．【分析】二次根式的被开方数．【解答】解：根据题意，得，解得，；故答案为：．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．（4分）如图，在中，，是两条中线，则．【分析】利用三角中位线的性质得出，进而求出即可．【解答】解：在中，，是两条中线，，，故答案为：．【点评】此题主要考查了三角形中位线的性质以及相似三角形的性质，得出是解题关键．13．（4分）某坡面的坡比为，则它的坡角是30度．【分析】利用坡角的定义直接得出求出即可．【解答】解：如图所示：某坡面的坡比为，，则它的坡角是：．故答案为：30．【点评】此题主要考查了坡角的定义，正确把握坡角的定义是解题关键．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若，则2.5．【分析】利用以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或得到位似比为，然后根据相似的性质计算的长．【解答】解：，，，与位似，原点是位似中心，．故答案为2.5．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．15．（4分）若一元二次方程中，．则此方程必有一根为．【分析】根据一元二次方程的解的定义进行解答．【解答】解：当时，，则此方程必有一根为．故答案是：．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16．（4分）如图，等腰中，，．点在线段上运动（不与、重合），将与分别沿直线、翻折得到与，连接，则面积的最小值为．【分析】作于．首先证明是顶角为的等腰三角形，根据此线段最短可知的最小值为3，延长即可解决问题；【解答】解：作于．，，，，，，，由翻折不变性可知：，，，，是顶角为的等腰三角形，当的长最短时，的面积最小，根据垂线段最短可知，当与重合时，，，故答案为．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在答题卡上相应题目的答题区城内作答）17．（8分）计算：【分析】先化简二次根式、取绝对值符号、计算零指数幂，再去括号、合并同类二次根式即可得．【解答】解：原式．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、绝对值性质、零指数幂．18．（8分）解方程：【分析】将方程整理成一般式后，利用因式分解法求解可得．【解答】解：，，则，或，解得：或．【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．（8分）先化简，再求值：，其中．【分析】根据多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：，当时，原式．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．20．（8分）某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为144度，并将条形统计图补充完整．（2）此次比赛有三名同学得满分，分别是甲、乙、丙，现从这三名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丙的概率．【分析】（1）先画出条形统计图，再求出圆心角即可；（2）先画出树状图，再求出概率即可．【解答】解：（1）条形统计图为；；扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角是，故答案为：144；（2）画树状图：由树状图可知：所有等可能的结果有6种，其中符合条件的有2种，所有（甲、丙），即选中的两名同学恰好是甲、丙的概率是．【点评】本题考查了树状图、条形统计图和扇形统计图等知识点，能画出条形图和树状图是解此题的关键．21．（8分）已知关于的方程．（1）若该方程的一个根为2，求的值及该方程的另一根．（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【分析】（1）解：设方程的另一根为，利用根与系数的关系得到，，然后通过解方程组可得到和的值；（2）先计算判别式的值得到△，然后利用非负数的性质得到△，则根据判别式的意义可判断不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：设方程的另一根为，根据题意得，，所以，解得，所以；（2）证明：△，△，不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．22．（10分）某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游，旅行社给出了如下收费标准（如图所示）设参加旅游的员工人数为人．（1）当时，人均费用为元，当时，人均费用为元；（2）该单位共支付给旅行社旅游费用27000元，请问这次参加旅游的员工人数共有多少人？【分析】（1）求出当人均旅游费为700元时的员工人数，再根据给定的收费标准即可求出结论；（2）由可得出，由总价单价数量结合（1）的结论，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）（人，当时，人均费用为元，当时，人均费用为700元．故答案为：；700．（2），．由题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点评】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．（10分）阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么．通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含角的直角三角形中，存在着的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在中，，，，，请判断此时“”的关系是否成立？答：成立（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角中，，，，请判断此时“”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点作于，过点作，再结合定义或其它方法证明）．【分析】（1）因为，，，推出“”成立，（2）作于．在和中，，可得，，推出，，可得，同理，作于，可证，即可解决问题；【解答】解：（1），，，“”成立，故答案为成立．（2）作于．在和中，，，，，，，同理，作于，可证，．【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考创新题目．24．（12分）如图，在中，点是边上的一个动点（不与、重合），，．（1）求证：；（2）设，，求关于的函数关系