初一数学上知识点总结

第一讲 有理数与数轴知识点一、正数和负数：正数：大于0的数叫做正数。如：3，1.8%，+3.5，π等负数：在正数前加上符号“—”（负）的数叫做负数。如：—3，—π等0：既不是正数，也不是负数。规定0是最小的自然数。<小结>：初中我们把数分成两部分“符号”和“绝对值”，数：符号+绝对值。如：—3.14符号绝对值相反意义的量：有两层含义1>相反的意义，如支出与收入，节约与浪费等，表现为符号相反2>相反意义的基础上要有量，表示为要有同一类型单位和数值，如+5m与-2dm表示的是相反意义的量。（同学们在做题时一定要注意单位不要漏掉）<易错>带负号的都是负数，带正号的都是正数 （×）比如说（+0=0）（-0=0）知识点二、有理数的概念及分类：有理数：正数与分数统称为有理数。有理数分类：正整数自然数整数零1>按定义分类：有理数负整数<注>0是整数但不是正数正分数分数有限小数和无限循环小数负分数正整数正有理数正分数2> 按符号分类：有理数零负整数负有理数负分数<注意>正数和负数与有理数的概念区分。例：有理数分为正数和负数。（×）正数都是有理数。（×）π也是正数但是它不是有理数。有限小数 可化成分数形式，是有理数3> 小数无限循环小数无限不循环小数——不可化成分数形式，不是有理数<易错>小数都是分数（×）无限不循环小数不能化成分数<难点>：1、正数和零统称为非负数；最小非负数是0；2、负数和零统称为非正数；最大非正数是0；3、正整数和零统称为非负整数；最小非负整数是0；4、负整数和零统称为非正整数。最大非正整数是0知识点三、数轴：1>定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。2>三要素：原点，正方向，单位长度3>有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不是都代表有理数。4>利用数轴比较有理数大小：<难点>A B C D数轴上右边的点所对应的数，总比左边的点所对应的数要大。观察上图可以得到：D>C>B>A大数—小数为正，D—B>0，即数轴上右边的数—左边的数为正数小数—大数为负，A—C<0，即数轴上左边的数—右边的数为负数<注>负数+负数为负，正数+正数为正。5>数轴上点的移动：A先向右5单位长度，再向左15点位长度得a。求A?这类问题采用的是“还原思想”从后往前推。a+15-5=A，得A=a+10知识点四、相反数：1>定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。 <注>0的相反数还是02>几何意义：互为相反数的两个数，距离原点的距离相等，并且这两个数关于数轴的原点对称。如下图所示：b -a 0 a -b3>求法：数：直接改变符号1、添加括号式子 2、括号前加“—”号3、去括号如：求a—b的相反数：a—b（a—b—（a—b—a+b或b—a<难点>—a一定是负数吗？ 答：不一定负数，a>0 ，当a是正数时，—a是负数。a 0， a=0 ，当a是0时，—a是0。正数，a<0 ，当a是负数时，—a是正数。总结：当式子中含有字母时，并且字母的范围不确定，并且不同范围本题有不同的结果，所以在求解的时候就要分情况讨论，这种思想就是中考中常考的“分类讨论”数学思想。4>性质：互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a与b互为相反数。例：|x|与|y|互为相反数，则可以得到|x|+|y|=0进而得到x=0，y=0.5>多重符号化简若数值前有奇数个“—”时，则化简后只有一个“—”若数值前有偶数个“—”时，则化简后是“+”满足 “奇负偶正”知识点五、绝对值：几何：表示a到原点的距离。正数的绝对值等于它本身。 即，|a|=a，a>0代数：0的绝对值等于0。 即，|a|=0，a=0负数的绝对值等于它的相反数。 即，|a|=-a，a<0|a|定义<易错>求|a|？解析：题目中含有字母，而字母的范围不确定，有多种可能，并且不同可能下题目的结果不一样。所以要通过分类讨论来解决这道问题。a， a>0|a|= 0， a=0—a，a<0知识点六、倒数、负倒数：1>定义：乘积为1的两个数叫互为倒数。2>意义：一个正数的倒数仍然是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数。3>特性：若a，b互为倒数（a≠0，b≠0），则ab=1；反之，若ab=1，则a，b互为倒数。4>求法：分子，分母颠倒位置。第二讲 有理数综合运算知识点一、有理数加法法则：(一)有理数加法法则：1>同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例：3＋5=8-3＋（-5）=-82>绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.例：-5＋3=-22＋（-6）=-47＋（-7）=0-a＋a=03>一个数同0相加，仍得这个数。例：0＋（-4）=-4(二)有理数加法的运算律：1>加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。例：a＋b=b＋a2>加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。例：（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知识点二、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数例：a－b=a＋（-b）<总结>根据有理数的减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算。知识点三、有理数的乘法法则：(一)乘法法则:1>两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。2>任何数乘以0都得0.例：3×4=12-3×（-4）=12-3×4=-12-3×0=0(二)有理数乘法运算律：1>乘法交换律：ab=ba2>乘法结合律：（ab）c=a（bc）3>乘法分配律：a（b＋c）=ab＋ac 例：3×4＋7×4=（3＋7）×4=40(三)有理数乘法法则的推广：1>几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；当负因数的个数是奇数时，积为负数。（奇负偶正）<例>：﹣3×（﹣5）×（﹣7）×2=﹣210负因数的个数为3，又因为3是奇数所以结果应该是负的（根据奇负偶正），确定符号后再计算绝对值！2>几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.<例>：（2016－1）×（2016－2）×···×（2016－4015）×（2016－4016）=0本题当中必有一项是（2016－2016）=0，所以计算结果应该为0.3>在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可以简化计算。知识点四、有理数的除法法则：1除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。a÷b=a×（b≠0）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.知识点五、有理数乘方：1>概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。2>表示：在中，a叫做底数，n叫做指数。<注>：（）0=1（a≠0）<易错>：①35表示5个3相乘，②（﹣3）4表示4个（﹣3）相乘，先定符号结果应该是正的，再定数值为34③﹣34表示4个3相乘的相反数，即：﹣（3×3×3×3）35333333④（）表示5个相乘，即：××××7777777⑤35表示5个3相乘再除以7，即：3×3×3×3×3773>乘方中“奇负偶正”的应用：这里奇、偶指的是指数是奇数还是偶数。当底数是负数时，指数为奇数，则幂为负；指数是偶数，则幂为正。例：（﹣3）2=9（﹣3）3=﹣27<注>：注意负数以及分数的乘方是否带有括号。知识点五、有理数混合运算由高到低（混合运算）一级：＋、－运算顺序由小到大（含有括号）运算优先级二级：×、÷由左到右（同级运算）三级：乘方、开方解析：“由高到低”是指在混合运算中，计算顺序由高级到低级<例>：2(3)2512=﹣22“由小到大”是指做含有括号的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。<例>：18÷{1-[0.4+(1-0.4)]×0.4}=30“由左到右”是指同级运算，从左到右进行。<例>：13-21+56-23+41=14<总结>：在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值！第三讲 绝对值知识点一、绝对值定义几何：表示a到原点的距离。正数的绝对值等于它本身。 即，|a|=a，a>0|a|定义代数：0的绝对值等于0。 即，|a|=0，a=0负数的绝对值等于它的相反数。 即，|a|=-a，a<0<易错>求|a|？解析：题目中含有字母，而字母的范围不确定，有多种可能，并且不同可能下题目的结果不一样。所以要通过分类讨论来解决这道问题。a， a>0|a|= 0， a=0—a，a<0知识点二、绝对值性质1>绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，常见利用非负性的题目有：<例>：|x+4|+|y－5|=0可得x=﹣4y=52>|a|=a，则a≥0；一个数的绝对值等于它的本身，则这个数是非负数3>若|a|=﹣a，则a≤0；一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数第四讲整体思想求值知识点一、代数式1>定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或者表示数的字母链接在一起的式子叫做代数式。<注>单独的一个数或字母也是代数式。字母可以表示任何数。<例>2x＋1，3ab2，10，a2>分类：单项式整式有理式 多项式代数式 分式无理式知识点二、单项式1>定义：像﹣2a，πr2，﹣abc，他们都是数与字母的积，这样的式子叫做单项式。<注>单项式中不存在数字与字母的加、减关系，且单项式的分母中不含有字母。单独的一个数或一个字母也是单项式。2>单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。<例>πr2的系数是π，42的系数是4773>单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数<例>单项式42它的指数是2＋1=3，是三次多项式。7422单项式它的指数是2＋1=3，是三次多项式。5<易错>①单项式的系数包括单项式前面的符号。②π是一个数，不要将它当做字母。知识点三、多项式1>定义：几个单项式的和叫做多项式2>多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。多项式中的各项包括它前面的符号。多项式中不含字母的项叫做常数项。<例>多项式2x2－3x＋1中，2x2、﹣3x、1是多项式的项，1是常数项。3>多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式次数。<例>2x2－3x＋1的次数是二次 ﹣5x2y－y4＋9的次数是四次4>多项式的命名：几次几项式，注意这里的几次几项中的几要写成汉字。<例>2x2－3x＋1是二项三项式 ﹣5x2y－y4＋9是四次三项式5>把多项式按照某个字母升幂、降幂排列：<例>3x2－5x3－6－7xx升幂排列：－6－7x＋3x2－5x3 x的指数从低到高排列x降幂排列：－5x3＋3x2－7x－6 x的指数从高到低排列6>整式：单项式与多项式统称整式知识点四、同类项1>同类型：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类型2>合并同类型：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类型。合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变。<易错>：①去括号，负括号问题：[解决办法]：应用乘法分配律、括号前看成整体。<例>﹣2a（a＋b）=﹣2a2－2ab②相似单项式看错：[解决办法]：做标记认准，切勿想当然。<例>2a2b3c－2a3b2c注意观察他们并不是同类项所以不可以合并计算。③合并同类项，系数相加减，字母部分不变。知识点五、整体思想1>a－b与b－a的关系，互为相反数。<例>（a－b）2=（b－a）2 （a－b）3=﹣（b－a）32>x＋y－2z与2z－x－y的关系，互为相反数。<总结>：求一个式子的相反数，实际上就是每个字母的符号都改变。4>若|a|=|b|，则a=b或a=﹣b5>|a|=|﹣a|知识点三、解绝对值方程<注>解绝对值方程的主要思路是通过绝对值的定义入手。1>|x|=5x=±5可以理解为，已知x到原点的距离为5，则x应该是多少。2>|2x-1|=52x-1=5或2x-1=﹣5x=3 x=﹣2本题中的绝对值方程要考虑到绝对值中的式子整体。3>|2x-1|=3x-23x－2≥0x≥2绝对值具有非负性32x－1=3x－2或2x－1=﹣（3x－2）绝对值的定义。x=1x=3（舍去）检查是否满足x≥2534>|2x-1|=|3x-2|2x-1=3x-22x-1=﹣（3x-2）绝对值性质4>x=1x=53知识点四、在数轴上化简绝对值步骤：①先定绝对值内的正负性；②去掉绝对值a0bc从数轴中获得的信息有：a<b<c a<0 b>0 c>0|a－b|=﹣（a－b）=b－a |b＋c|=b＋c |a＋c|=a＋c知识点五、绝对值几何意义的作用1>|a－b|表示的几何意义是a到b的距离；|a＋b|也可以表示为|a－（﹣b）|表示的是a到﹣b的距离2>|﹣a﹣1|也可以表示为|a＋1|，故表示a到﹣1的距离。3>|x－1|＋|x＋3|的最小值。表示x到1的距离和x到﹣3的距离的和，当x在﹣3到1之间时，距离和最小值为4.4>|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值。表示x到1的距离，x到2的距离和x到3的距离的和，当x在2时，距离和最小为2.5>若a1<a2<⋯<a2n＋1，当x=an＋1，|x－a1|＋|x－a2|＋⋯＋|x－a2n＋1|取得最小值。6>若a1<a2<⋯<a2n，当x=an，|x－a1|＋|x－a2|＋⋯＋|x－a2n|取得最小值。第五讲 知识点总结知识点一、常见数列：数列名称具体形式第n个数自然数列1、2、3、4……n偶数数列2、4、6、8……2n奇数数列1、3、5、7……2n－1平方数列1、4、9、16……n2平方数列变形2、5、10、17……n2＋1立方数列1、8、27、64……n3立方数列变形2、10、29、66……n3＋2斐波那契数列0、1、1、2、3、5……后一项等于前两项和带符号数列-1、1、-1、1……（-1）n带符号数列1、-1、1、-1……（-1）n＋1知识点二、等差数列：通项公式：an=a1＋（n－1）d<注>：an：第n项；a1：第1项；d：公差（相邻两项之间的差）n：项数求和公式：sn=12（a1＋an）n求法：<例>：数列，2、5、8、11、14……求第n项。1>直接套用公式进行求解：a1=2d=3所以按照等差数列可得，an=2＋（n－1）3=3n－12>利用公差直接求解：由于这个数列的公差是3，因此我们设他们的通项公式为3n，再通过第一项去验证一下！明显我们假设的通项公式比实际的第一项多了1，因此通项公式为3n－1.知识点三、等比数列：通项公式：an=a1−1<注>：an：第n项；a1：第1项；q：公差（相邻两项之间的商）n：项数求和公式：sn=(1−)当q<1，n无限大时，sn=11−11−知识点四、定义新运算：解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算。<注>：新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但是它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。第六讲含参一元一次方程的解法知识点一：一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程。即是一元一次方程要满足五个条件，其中化简前需要满足的是：⑴是整式，⑵是方程，⑶是一元的，化简后需要满足的是：⑷未知数前的系数不为0，⑸未知数的最高次数为1。例如：①x+4=x+4,此方程化简后系数为0，所以不是一元一次方程②x+y=y+4,此方程化简前不是一元的，所以不是一元一次方程③x+|x|=|x|+4,此方程不是整式，因为|x|不是整式，所以不是一元一次方程④x+2=2+4,是整式，是方程，是一元的，化简后为x=4，系数不为0，次数最高为一次的，所以此方程是一元一次方程知识点二：一元一次方程的解法：最基本的解方程步骤：⒈去分母；⒉去括号；⒊移项；⒋合并同类项；⒌把系数化为1。−1−+1=1例如：321、去分母得：2(x−1)−3(x+1)=62、去括号得：2x−2−3x−3=63、移项得：2x−3x=6+3+24、合并同类项得：−x=115、系数化为1得：x=-11知识点三：同解方程问题：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。解题步骤：1、无视参数解方程2、将方程的两个解建立相等关系例如：若关于x的方程3x=52−4和12−2=4+5有相同的解，求a的值5①无视参数解方程，解得：x=-8和x=12−945②将方程的两个解建立相等关系，即-8=12−941解得：a=2知识点四：方程解的个数问题解题步骤：1、把已知方程化为：ax=b这样的标准形式2、①当a≠0时，方程有唯一解②当a=0,b=0时，方程有无数个解③当a=0,b≠0时，方程无解（理解并记忆）知识点五：解绝对值方程类型一：形如|ax+b|=c，（c≥0）则ax+b=±c类型二：形如|ax+b|=cx+d则ax+b=±(cx+d)且cx+d≥0(绝对值的非负性)类型三：形如|ax+b|=|cx+d|则ax+b=±(cx+d)类型四：多重绝对值问题解题方法：由外向内逐一去掉绝对值符号例如：||x+1|+2|=3|x+1|+2=±3|x+1|+2=±3−2当|x+1|=−5时，由绝对值的非负性知，方程无解当|x+1|=1时，解得x=0或-2第八讲方程中的设元知识点一、解方程的步骤：审（审题）→设（设元）→列（列方程）→解（解方程）→验（检验）→答其中设元一共有三种方法：1、直接设元：即问什么设什么。2、间接设元：即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系。3、辅助设元：有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析。知识点二、列方程的技巧：列方程的技巧：在于找题目中的等量关系，例如：题目中出现的和，差，多，少，谁是谁的几倍，谁和谁一样等等。解应用题的基础是阅读，阅读是以理解为核心的认知活动．在解题过程中，应耐心细致地进行阅读，弄清每个段落所表达的意思，在关键词句上作上标记，把较长的关键语句压缩简化，突出问题的实质。知识点三、方程中常见的名词解释：打折：原价×（折扣÷10）例如：打八折，就是：原价×80%利润=收入-成本（支出）利润≠收入利润率=利润÷成本×100%本息和=本金+利息知识点四、方程中常用的公式：路程=速度×时间工作总量=工作效率×工作时间位置原理：即数123=1×100+2×10+3，数abc=100*a+10*b+c第九讲图形的初步认识知识点一、七种基本图形圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球、圆台、棱台常用的体积和表面积公式正方体体积公式V=a3表面积公式S=6a2设h为高，a为长，b为宽，r为半径长方体 体积公式V=abh表面积公式S=2(ab+ah+bh)圆柱 体积公式V=2表面积公式S=22+2πrh重点：棱柱与棱锥的区别棱柱和棱锥底面都是多边形，但棱锥上面交于一点，而棱柱仍是与底面相同的一个多边形。知识点二、三视图定义：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。主视图、左视图、俯视图统称三视图。知识点三、展开图与截面图牢记：正方体的十一个展开图第十讲直线、射线和线段知识点一、概念及对比直线:两端都可以无限延长的线。特点:两端都没有端点；直线是无限长的；直线是不可测量长度的。射线:直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线或半直线。特点:只有一个端点，另一边可无限延长。射线可无限延长。不可测量。有反向延长线。线段:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。特点:有限长度,可以测量；有两个端点。有延长线以及反向延长线。知识点二、线段中点及线段中分类讨论思想A C B中点：把线段分成两条相等线段的点。特点：只有线段有中点。123ABAB=10，BC=2，则C在2或3段。AB=10，AC=3，则C在1或2段。AB=10，AC=15，则C在1或3段。<总结>题目中出现“C在直线AB上”时，要注意分类讨论。知识点三、计数问题由简单情形入手，由简入繁，归纳发现规律，是解决计数问题的关键。分类（1、按照线段来分；2、按照点数来分）计数要求不重复不遗漏<例如>有一条线段有50条线段链接而成，则共有多少条线段？方法一：按照线段来分可得，一个线段一组：总共有50条线段；二个线段一组：总共有49条线段；三个线段一组：总共有48条线段；……50个线段一组：总共有1条线段。所以，总共有1+2+3+…+50=1275方法二：按照点来分可得：首先，50条线段组成的线段有51个点。由第一个点出发，还剩下50个点选择组成线段，故第一个点出发有50条线段；由第二个点出发，还剩下49个点选择组成线段，故第二个点出发有49条线段；由第三个点出发，还剩下48个点选择组成线段，故第三个点出发有48条线段；……由第50个点出发，还剩下1个点选择组成线段，故第50个点出发有1条线段；所以，总共有1+2+3+…+50=1275知识点四、图解应用题赋予点、线实际意义，更直观地解决应用问题。 甲乙<例>四个小朋友，甲乙丙丁，两两握手需要握手多少次？点表示小朋友，点与点之间线段的个数表示握手的次数。丁 丙第十一讲角的计算与证明知识点一、角的概念：角的定义：1>具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。（静态定义）2>一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。（动态定义）特殊角：1平角=180°，1周角=360°角的分类锐角：锐角，指大于0°而小于90°的角。直角：角度为90度的角。钝角：大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角。平角：等于180°的角。知识点二、角的计算1°=60′，1′=60″例如：54.12°=54°+0.12×60′=54°7.2′=54°7′+0.2×60″=54°7′12″知识点三、余角与补角若两个角的和为90°，那么我们就说这两个角互为余角（互余）若两个角的和为180°，那么我们就说这两个角互为补角（互补）注意：互补、互余只与他们的度数有关，与他们的位置无关。