求数列通项公式方法总结

基本数列通项公式及其求法等差数列对于一个数列｛an｝，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为d；从第一项a1到第n项an的总和，记为Sn。那么，通项公式为an=a1+(n-1)*d,其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：a2=a1+d,a3=a2+d,a4=a3+d,````````an=an-1+d,将以上n-1个式子相加，便会接连消去很多相关的项，最终等式左边余下an,而右边则余下a1和n-1个d,如此便得到上述通项公式。此外，数列前n项的和Sn=n*a1+n*(n-1)*d/2,其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。值得说明的是，（Sn)/n=a1+(n-1)*d/2，也即，前n项的和Sn除以n后，便得到一个以a1为首项，以d/2为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。等比数列对于一个数列｛an｝，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比q；从第一项a1到第n项an的总和，记为Tn。那么，通项公式为an=a1*q(n-1)(即a1乘以q的（n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：a2=a1*q,a3=a2*q,a4=a3*q,````````an=an-1*q,将以上（n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下an,右边余下a1和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。此外，该数列前n项的和Tn=a1*(1-q(n))/(1-q).一阶数列通项公式求法概念不妨将数列递推公式中同时含有an和an+1的情况称为一阶数列，显然，等差数列的递推式为an=an-1+d,而等比数列的递推式为an=an-1*q；这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶递归数列形式为：a(n+1)=A*an+B········☉,其中A和B为常系数。那么，等差数列就是A=1的特例，而等比数列就是B=0的特例。若干求法思路基本思路与方法：复合变形为基本数列（等差与等比）模型；叠加消元；连乘消元思路一：原式复合（等比形式）可令a(n+1)-ζ=A*(an-ζ)········①是原式☉变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出ζ的值，整理①式后得a(n+1)=A*an+ζ-A*ζ,这个式子与原式对比可得，ζ-A*ζ=B即解出ζ=B/(1-A)回代后，令bn=an-ζ,那么①式就化为b(n+1)=A*bn,即化为了一个以（a1-ζ)为首项，以A为公比的等比数列，可求出bn的通项公式，进而求出{an}的通项公式。思路二：消元复合（消去B）由a(n+1)=A*an+B········☉有an=A*a(n-1)+B··········◎☉式减去◎式可得a(n+1)-an=A*（an-a(n-1））······③令bn=a(n+1)-an后，③式变为bn=A*b(n-1)等比数列，可求出bn的通项公式，接下来得到an-a(n-1)=f(n)(其中f(n)为关于n的函数）的式子，进而使用叠加方法可求出an二阶数列通项公式求法概念类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有a(n+2)、a(n+1)、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式：a(n+2)=A*a(n+1)+B*an,（同样，A，B常系数）求法基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项原式复合：令原式变形后为这种形式a(n+2)-ψ*a(n+1)=ω(a(n+1)-ψ*an)将该式与原式对比，可得ψ+ω=A且-（ψ*ω）=B通过解这两式可得出ψ与ω的值，令bn=a(n+1)-ψ*an,原式就变为b(n+1)=ω*bn等比数列，可求出bn通项公式bn=f(n)，即