2022-2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 08 切线的性质与判定重难点题型分类(含详解)

专题07切线的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题

专题简介：本份资料包含《切线的性质与判定》这一节在没涉及相似之前各名校常考的主流题型，具体包

含的题型有：切线的性质、切线长定理、切线的判定这四类题型；其中，重点是切线的判定这一大类题型，

本资料把证明切线的判定方法归纳成四种类型：第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°：第II

类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于9。。；第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90"；第IV

类：没标出切点时，证圆心到直线的距离等于半径。本份资料所选题目均出自各名校初三试题，很适合培

训学校的老师给学生作切线的专题复习时使用，也适合于想在切线的性质与判定上有系统提升的学生自主

刷题使用。

切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹角等于90。。

1.如图，是。0的切线，点B为切点，连接AO并延长交。。于点C,连接BC.若NA=26°,则

NC的度数为()

题图)

2.如图，在平面直角坐标系中，点尸在第一象限，。尸与x轴相切于点Q,与y轴交于M(0,2),

N(0,8)两点，则点P的坐标是()

A.(5,3)B.(3,5)C.(5,4)D.(4,5)

3.(长郡)如图，Rt^ABC中，ZC=90°,。为直角边8c上一点，以。为圆心，0c为半径的圆恰好与

斜边AB相切于点。，与BC交于另一点E.

(1)求证：

(2)若BE=1,BD=3,求。。的半径及图中阴影部分的面积S.

B

C4.(师大)如图，在RtZ\ABC中，NABC=90°,斜边AC的垂直平分线

DE交BC于点、D,交AC于点E,连接BE,经过C、D、E三点作。0,

(1)求证：是。。的直径;

（2）若BE是。。的切线，求NAC8的度数;

5.如图，PA,P8分别切。。于点A,B,0P交。。于点C,连接A8,下列结论中，错误的是（)

Z1=Z2B.PA=PBC.ABLOPD.OP=20A

6.（长郡）如图，PA.PB切。。于点A、B,雨=10,CQ切OO于点£交布、PB于C、。两点，则4

（第6题图）

7.如图，四边形A8CO是。0的外切四边形，且A8=I0,CD=12,则四边形ABC。的周长为（）

A.44B.42C.46D.47

8.(青竹湖)如图，在梯形ABC。中，AD//BC,NB=90°,以48为直径作。0,恰与另一腰8相切

于点E,连接。£＞、0C,BE.

(1)求证：0D〃BE；

(2)若梯形A8C£＞的面积是48,设0D=x,0C=y,且x+y=14,求8的长.

9.两直角边长分别为6a"、的直角三角形外接圆半径是cm.

10.已知，RtZ\4BC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,则三角形内切圆的半径为.

11.在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=6,ZUBC的内切圆半径为1,则△ABC的周长为()

A.13B.14C.15D.16

12.(雅礼)已知三角形三边分别为3、4、5,则该三角形内心与外心之间的距离为.

13.(长沙中考)如图，在△ABC中，AO是边8c上的中线，ZBAD=ACAD,CE//AD,CE交BA的延

长线于点E,BC=8,AD=3.

(1)求CE的长;

(2)求证：aABC为等腰三角形.

(3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心。之间的距离.

AC为矩形对角线,DGLAC

于点G,延长OG交回于点E,已知AD=6,8=8。(1)求/IE的长;

(2)NACZ)的角平分线CF交AO于点F,求tan/ZXT的值;

(3)若。、。2分别是△AOG、/XOCG的内心，求。1、O,两点间的距离.

切线的判定：①有切点，用几何方法：证半径与直线的夹

角等于90°(含三小类);

②无切点，用代数方法：证圆心到直线的距离等于半径。

第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°

15.(长郡)已知：如图，在△ABC中，。是AB边上一点，圆O过。、B、C三点，ZDOC-=2ZACD=

90°.

(1)求证：直线AC是圆。的切线；

(2)如果乙4cB=75°,圆。的半径为2,求的长.

(青竹湖)已知如图，以RtAABC的AC边为直径作。。交斜边AB于点E,连接

EO并延长交BC的延长线于点。，点尸为BC的中点，连接EF.(1)求证：£尸是。。的切线;

(2)若。。的半径为3,ZEAC=60°,求的长.

。。为AABC的外接圆，。为。。与A3的交

点，E为线段OC延长线上一点,且ZEAC=ZABC.

(1)求证：直线AE是。。的切线.

(2)若。为的中点，CD=6,AB=16.

①求0。的半径；

②求AABC的内心到点。的距离.

E

第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°

18.(青竹湖)如图，ZVIBC内接于CA^CB,C£>〃AB且与04的延长线交于点ZX

(1)判断CQ与。。的位置关系并说明理由;

(2)若NACB=120°,0A=2.求CD的长.DC

19.(南雅)如图，点8、C、。都在。。上，过点C作AC〃BO交0B延长线于点A,连接CD,且NCDB

=/08。=30°,BD=6®m.

(1)求证：AC是。。的切线.

(2)求。0的半径长.

(3)求由弦C。、8。与弧8C所围成的阴影部分的面积(结果保留7T).

20.(北雅)如图，在RtZxABC中，ZC=90°,/BAC的角平分线A。交BC边

于。.以48上某一点。为圆心作。。，使OO经过点A和点£>.

(1)判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若4c=3,ZB=30°,①求的半径；

②设与48边的另一个交点为E,求线段80、BE与劣弧OE所围成的阴影部分的图形面积.(结果

保留根号和n)

Bl\.如图,点C在以AB为直径的。。上，BO平分NABC交。。于点。,

过。作8c的垂线，垂足为£

(1)求证：OE与。。相切；

(2)若AB=5,BE=4,求8。的长;

(3)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由.

第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90°

22.如图，在ABCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的。。与CE相切于点。，AO〃OC,点尸为

OC与的交点，连接4F.

(1)求证：CB是。。的切线；

(2)若NECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.

23.如图，已知AB为。。的直径，AD,8。是。0的弦，BC是。0的切线，切点为B,OC//AD,BA,

的延长线相交于点E.

(1)求证：OC是OO的切线;

(2)若。0半径为4,ZOCE=30°,求△OCE的面积.

(长郡)如图，A3是。O的直径，点尸在。。上，且B4=P8,点M是

。。外一点，MB与。。相切于点B,连接OM,过点A作AC〃OM交。。于点C,连接8c交OM于

点D.

(1)求证：OO=L1C；

2

(2)求证：MC是OO的切线；

(3)若ML>=8,BC=12,连接尸C,求尸C的长.

第IV类：用代数方法：证圆心到直线的距离等于半径

25.(长郡)如图，△ABC中，ZACB=90°,NBAC的平分线交8C于点O,以点O为圆心，OC长为半

径作圆.

(1)求证：他是。。的切线；

(2)若/C4O=30。，OC=4,求阴影部分面积.

26.(青竹湖)如图，已知PC平分NMPM点0是PC上任意一点，以

点0为圆心作圆交PC于A,B两点,与。。相切于点E.

(I)求证：PN与。。相切；

(2)如果/MPC=30。，PE=2y/3,求劣弧BE的长.

27.(广益)如图1,已知。。与aABC的边8C、AC分别相切于点。、

E,80是N4BC的平分线，与。。相交于点G.

(1)求证：直线4B是的切线;

(2)已知。。的半径为2,如图2,点F是A8与。。的切点，连接OF、FG、DG,若OF//DG.

①求证：四边形OFGO是菱形;

②求阴影部分的面积.图1图2

专题07切线的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题

专题简介：本份资料包含《切线的性质与判定》这一节在没涉及相似之前各名校常考的主流题型，具体包

含的题型有：切线的性质、切线长定理、切线的判定这四类题型；其中，重点是切线的判定这一大类题型，

本资料把证明切线的判定方法归纳成四种类型：第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°：第II

类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90"；第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90"；第IV

类：没标出切点时，证圆心到直线的距离等于半径。本份资料所选题目均出自各名校初三试题，很适合培

训学校的老师给学生作切线的专题复习时使用，也适合于想在切线的性质与判定上有系统提升的学生自主

刷题使用。

切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹角等于90。。

1.如图，AB是。0的切线，点8为切点，连接AO并延长交。。于点C,连接BC.若NA=26°,则/

C的度数为（）

B.32°C.52°D.64°

【解答】解:连接08,TAB是。。的切线，..,.NA8O=9（T,；NA=26°,

.../4。8=90°-26°=64°,由圆周角定理得，NC=-1/AO8=32°,

2

故选：B.

2.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，0P与x轴相切于点。，与y轴交于M（0,2）,N（0,

(5,3)B.(3,5)C.(5,4)D.(4,5)

轴相切于点Q，与y轴交于M（0,2）,N（0,

8)两点，：.OM=2,NO=8,:.NM=6,'：PDLNM,：.DM^3：.OD^5,/.OQ1=OM'ON=2X^^]6,

OQ=4.：.PD^4,PQ=O£>=3+2=5.即点P的坐标是(4,5).

故选：D.

3.（长郡）如图，Rt^ABC中，NC=90°,。为直角边BC上一点，以。为圆心，0c为半径的圆恰好与

斜边AB相切于点。，与BC交于另一点E.

(1)求证：ZVIOC会△AOQ；

(2)若BE=1,BD=3,求。。的半径及图中阴影部分的面积S.

【解答】(1)证明：:AB切。。于O,：.OD±AB,：RtZ\ABC中，NC=

90°,

在RtZ\AOC和RtZ\A。。中，J0C=0D.*.RtAAOC^RtA71C?DCHL).

IAO=AO

(2)解：设半径为r,在Rt/XODB中，a+3?=(r+1)2,解得，-=4；

由(1)有AC=AD,AB=AD+DB^AC+DB^AC+3,BC=BE+2r=1+8=9,

在直角三角形A8C中，根据勾股定理得：AC2+92=(AC+3)2,解得AC=12,

.•.S=Lc・8C-%”=工义12X9-AnX42=54-8Tt.

2222

4.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,斜边AC的垂直平分线。E交BC于点£),交AC于点E,连接

BE,经过C、D、E三点作。0,

(1)求证：C。是。。的直径；

(2)若BE是。0的切线，求NACB的度数；

(3)当AB=2j§,BC=6时，求图中阴影部分的面积.

【解答】(1)证明：..FC的垂直平分线是。£,，/(;9二乡。。，...C。是

。0的直径；

(2)解:连接OE,VOE=OC,:.NC=NOEC,：若8E是。。的切线，：.BE±OE,

ZBED+ZDEO=ZDEO+ZO£C=90°,:.NBED=/OEC,是RtZ\A8C斜边中线，:.BE=EC,

：.NEBC=NC=NOEC,在△BEC中，ZEBC+ZC+ZOEC+ZB£O=180°,AZC=30°.(3)解：：

A8=2«,BC=6,，tanC=2Zl,ZC=30°,4C=2AB=4«,:.EC=2«,：cos/C=丝，

3CD

/.cos3002M:.CD=4,.•.OC=JLCO=2,♦.*/C=/CEO=30°,/.ZCOE-120°,扇形OEC

CD,2

2

的面积为120T乂2=£,作o凡LEG垂足是广，•../C=3O°,.,.OF=_1OC=1,.,.△OCE的面积

36032

为」X2«X1=«,即阴影部分的面积为刍r-

23

切线长定理:

5.如图，PA,PB分别切00于点A,B,。尸交于点C,连接AB,下列结论中，错误的是（)

A.Nl=/2B.PA=PBC.ABLOPD.OP=2OA

【解答】解：由切线长定理可得：Z1-Z2,PA=PB,从而AB_LOP.因此A.B.C都正确.

无法得出=可知：。是错误的.综上可知：只有。是错误的.

故选：D.

6.（长郡）如图，PA.切00于点A、B,%=10,8切00于点E,交必、PB于C、D两点，则4

PCC的周长是（）

【解答】解：•••©1、P8切。。于点A、B,C。切。。于点E,...附=PB

1(),CA=CE,DE=DB,

二△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20.

故选：C.7.如图，四边形ABC。是00的外切四边形，且AB=10,CZ）=12,则四边形ABC。的周长为

()

A.44B.42C.46D.47

【解答】解：...四边形A6CQ是。。的外切四边形，.•.AO+BC=AB+CO=22,

四边形ABCD的周长=AD+8C+A8+CD=44,

故选：A.

D

.(青竹湖)如图，在梯形4BCO中，AD//BC,NB=90°,以48为直径作。0,恰

与另一腰CD相切于点E，连接。。、OC、BE.

(1)求证：0D〃BE；

(2)若梯形A8CD的面积是48,设OD=x,OC=y,且x+y=14,求CD的长.

【解答】(1)证明：如图，连接。£,

0A=ClE.,.RtAOAD

0D=0D

丝RtZXOEQ(HL)

；.NAOD=NEOD=1/AOE,在。0中，ZABE^^ZAOE,：.ZAOD^ZABE,

22

OD//BE(同位角相等，两直线平行).

(2)解：与(1)同理可证：RtACOE^RtACOB,:.NCOE=NCOB=L/BOE,,:NDOE+NCOE

2

=90°,是直角三角形，S^DEO—SADAO,SAOCE=S&COB,-'.s^ftiAHCD=2(.S^DOE+SACOE)

=2SACW=OUOD=48,即孙=48,又：x+y=14,，/+/=(x+y)2-2xy=142-2X48=100,

在Rt^COD中，C£)={oc2+QD2={x2+y2=^/7^=I。，，CD=10.

内切圆与外接圆半径问题

9.两直角边长分别为6c〃?、8cm的直角三角形外接圆半径是cm.

【解答】解：；直角边长分别为6cm和8a",.•.斜边是10a”，.•.这个直角三角形的外接圆的半径为5。〃.

故答案为：5.

10.已知，RtA^ABC中，ZC=90°,4c=6,AB=10,则三角形内切圆的半径为

【解答】解：•••/C=90°,AC=6,AB=10,A-AC2=V102-62=8,

...△A8C的内切圆半径/=6+8-10=2.故答案是：2.

2

11.在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=6,△A8C的内切圆半径为1,则△4BC的周长为（）

A.13B.14C.15D.16

【解答】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得』（AC+BC-AB）=1,；.AC+BC=8.

则三角形的周长=8+6=14.

故选：B.

12.（雅礼）已知三角形三边分别为3、4、5,则该三角形内心与外心之间的距离为.

【解答】解：,••三角形三边分别为3、4、5,.•.三角形是直角三角形，如图，设RtZ\ABC,/C=90°,

AC=3,BC=4,AB=5,如图，设Rt/XABC的内切圆的半径为r,则OD=OE=r,VZC=90°,；.CE=CD=r,

AE=AN=3-r,BD=BN=4-r,Z.4-r+3-r=5,解得r=l,，AN=2,在RtZ\OMN中，MN=AM-AN=-,

2

：.0M=旦,则该三角形内心与外心之间的距离为好.

22

EX13.（长沙中考）如图，在△A8C中，AO是边BC上的中线，ZBAD=ZCAD,CE//AD,

CE交84的延长线于点E,BC=8,AO=3.

（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形.

（3）求aABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.

【解答】（1）解：是边8c上的中线，.,.BDuCD,

为△BCE的中位线，

.•.CE=24D=6；

（2）证明：'：CE//AD,:.NBAD=NE,ZCAD^ZACE,而NBAO=NCA。，/ACE=/E,

：.AE=AC,[IffAB=AE,：.AB=AC,为等腰三角形.

（3）如图，连接8P、BQ、CQ,在RtZsABZ）中，AB-=J^2^2^5,设。尸的半径为R,。。的半径为r,

在中，（R-3）2+42=W,解得R=空，：.PD=PA-AD=2^.-3=-L,

666

*.*SMBQ+S/XBCQ+SMCQ=S/XABC,A«/-5+A*8+/-5=A*3•8,解得r=2,EPQD=—,

222233

PQ=PD+QD=l.+^-=^-.

632

答：△48C的外接圆圆心尸与内切圆圆心。之间的距离为

14.(青竹湖)如图，在矩形ABC。中，AC为矩形ABCD对角线，£)GJ_AC于点G,延长0G交他

于点E,已知AQ=6,8=8。

(1)求AE的长；

(2)若。1、。2分别是△ADG、Z^DCG的内心，求0「0?两点间的距离.

Aaa。

【解答】(1);ZADG=ZACD/.tanZ.ADE=tanZACD=—二二AE=AF-tanZ.ADE=6•—=—

8442

「八人「1824么3224Q

(2)q=G+干”『二—6=6,rCG+GD-CD行+了一］,连接GQ,G02,VO,,

2_2―W牲―2_2-5

O,分别为△A£»G、△DCG的内心，AZOtGO2=90°,GO,=|^2,G<92=-V2,

002=JGO；+GO；=2V2.

切线的判定：①有切点，用几何方法：证半径与直线的夹角等

于90。（含三小类）；

②无切点，用代数方法：证圆心到直线的距离等于半径。

第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°

15.（长郡）己知：如图，在△ABC中，。是AB边上一点，圆。过。、B、C三点，ZDOC=2ZACD=

90°.

（1）求证：直线AC是圆。的切线；

（2）如果/ACB=75°,圆。的半径为2,求8。的长.

【解答】（1）证明：'：OD=OC,NOOC=90°,

：.ZODC=ZOCD=45°.'：ZDOC=2ZAC£>=90°,

/.ZACD=45°.：.ZACD+ZOCD=ZOCA=90°.,点C在圆。上，，直线AC是圆。的切线.(2)

解：方法1：'：OD=OC=2,ZDOC=90°,:.CD=2®.VZACB=75°,NACO=45°,

ZBCD=30Q,作OE_LBC于点E,则N£>EC=90°,：.DE=DCsm30°=血.；/B=45°,

：.DB=2.

方法2：连接8。：/AC2=75°,ZACD=45°,AZBCD=30°,：.ZBOD^60Q；OD=OB=2

...△80力是等边三角形；.8£>=0。=2.

16.（青竹湖）己知如图，以RtZ^ABC的AC边为直径作。0交斜边4B于点E,连接EO并延长交BC的

延长线于点。，点F为BC的中点，连接EF.

（1）求证：EF是。。的切线;

（2）若00的半径为3,/E4C=60°,求AO的长.

【解答】证明：（1）如图1,连接FO,TF为BC的中点，AO=

CO,：.OF//AB,

是。。的直径，：.CE±AE,'：OF//AB,：.OFLCE,二。尸所在直线垂直平分CE,：.FC=FE,OE

=OC,；.NFEC=NFCE,ZOEC=ZOCE,VZACB=90°,即：NOCE+NFCE=9Q°,AZOEC+Z

FEC=90：即：NFEO=90°,为。。的切线；

(2)如图2,：。0的半径为3,，AO=CO=EO=3,；/EAC=60°,OA=OE,：.ZEOA^60°,

二/COO=/EtM=60°,;在RtZ\OC力中，ZCOD=60°,OC=3,：.CD^373.V^ERtAACD

中，ZACD=90°,CD=3>/3，AC=6,：.AD=35/7.

上图1图217.（周南）如图，。0为△ABC的外接圆，。为0c与

A8的交点，E为线段OC延长线上一点，且NE4c=N4BC.

（1）求证：直线AE是。。的切线.

（2）若。为A3的中点，C£>=6,A3=16.①求。。的半径；

②求AABC的内心到点0的距离.

【解答】证明：（I）连接AO,并延长AO交0O于点尸，连接CF

.AF是直径，.-.ZACF=90°,

:.ZF+ZFAC=90°,•.,NF=ZABC,ZABC=ZEAC,;.NEAC=NF,

.­.ZEAC+ZFAC=90°,.\ZEAF=9Q°,且AO是半径，二直线AE是G)O的切线.

(2)①如图，连接AO,为他的中点，8过圆心，:.ODA.AB,AD=BD=-AB=4^

2

7575

AO1=AD1+DO2,AO2=16+(AO-CD)2,..AO=3二O。的半径为三

66

②如图，作NC4B的平分线交8于点H,连接3”,过点”作HM_LAC,HN工BC,

-.-ODLAB,AD=BD:.AC=BC,且4)=3。..CD平分NACB,且4/平分NC4B,

..点H是A43c的内心，且MW_LAC,HN1.BC，HD1.AB:.MH=NH=DH,

22

在RtAACD中，AC=VAD+CD=5=BC,­：S^.BC=1cH+S^BH+^&BCH,

-xSx3=-x5xMH+-x8xDH+-x5xNH,DH=-,-/OH=CO-CH=CO-(CD-DH)

22223

第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°

18.（青竹湖）如图，AABC内接于。0,CA^CB,CD//AB且与OA的延长线交于点D.

（1）判断C。与。0的位置关系并说明理由;

(2)若/ACB=120°OA2.

【解答】解：（1）C£>与OO相切.理由如下：如图，连接OC,：CA=C5,；.AC=CB

AOCA.AB,'.'CD//AB,：.OC±CD,：0C是半径，二8与。。相切.

（2）：C4=CB,ZACB=120°,/.ZABC=30°,：.ZDOC=f>Oa二/。=30°,

/.oc=AooOA^OC^2,；.OO=4,二。。=而衣^^=2相

19.（南雅）如图，点8、C、。都在。0上，过点C作AC〃BO交。8延长线于点4,连接C。，且NCDB

=NOBD=30°,BD=6^m.

（1）求证：AC是。。的切线.

（2）求。0的半径长.

（3）求由弦C。、BO与弧8c所围成的阴影部分的面积（结果保留TT）.

【解答】（1）证明：连接CO.'：ZCDB=ZOBD=30a,，N8OC=60°,

NOHB=9G°.

■：AC//BD,ZACO=ZOHB=90°.；.AC为。0切线.

解：(2)；/ACO=90°,AC//BD,/BEO=/ACO=90°"E=BE=/BD=3正.

在RtZXBE。中，sin/O=sin60°=理，返亚巨.：.OB=6.

OB2OB

即。。的半径长为6cm.

(3):NCDB=NOBD=30°,又,：NCED=NBEO,BE=ED,：.ACDE冬AOBE.

.60兀X62/2、

••$阴=5扇诋=;而一=6几（6）

答：阴影部分的面枳为6nc“2.

20.（北雅）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,NBAC的角平分线AQ交BC边于。.以A8上某一点。

为圆心作O。，使OO经过点A和点D.

(1)判断直线BC与。0的位置关系，并说明理由;

(2)若AC=3,NB=30°.

①求。。的半径;

②设。。与AB边的另一个交点为E,求线段B。、8E与劣弧OE所围成的阴影部分的图形面积.(结果

保留根号和71)

【解答】解：(1)直线BC与。。相切;

连接。。，'：OA=OD,：.ZOAD=ZODA,

的角平分线交BC边于。，ZCAD=ZOAD,：.ZCAD=ZODA,

：.OD//AC,：.ZODB=ZC=90a,BPODLBC.又：直线CC过半径0。的外端,

...直线8c与。。相切.

(2)设OA=OO=r,在中，ZB=30°,：.0B=2r,在RtZVICB中，ZB=30°,

：.AB=2AC=6,；.3r=6,解得r=2.

⑶在RtZXACS中，NB=30。,.../8。。=60。•，S扇形，冗.

00UO

•.•/8=30°,OD1.BC,：.OB^2OD,：.AB^3OD,：AB=24C=6,：.0D=2,8£>=2«

S^BOD=—X。伊皿=2遥，所求图形面积为sAB0D-S扇形ODE=2E4加

乙O

21.如图，点C在以AB为直径的。0上，80平分/A8C交。。于点力，过。作8C的垂线，垂足为

E.

(1)求证：QE与。0相切；

(2)若AB=5,BE=4,求的长；

(3)请用线段A&BE表示CE的长，并说明理由.V一,

【解答】(1)证明：连接0C,：OD=OB,:.NODB=NOBD,平分NABC,：.NOBD=NCBD,

：.ZODB=ZCBD,：.0D//BE,'：BE1.DE,：.ODLDE,与。0相切；

(2)解：是。。的直径，.,.NA£)B=90°，,:BELDE,；.NADB=NBED=90°,平分NA8C,

:.NOBD=NCBD,：.AAHD^^DBE,A5=BD):.BD=2疾;

BDBEBD4

(3)解：结论CE=A8-8E,理由：过。作。，_LA8于H,；8。平分NA8C,DELBE,

：.DH=DE,在RtZXBEO与RtZXBHO中，1DE=DH,.•.为△BE。丝RtZ\B4£>(aZJ,

BD=BD

：.BH=BE,'：ZDCE+ZBCD=ZA+ZBCD=\^0°,：.ZDCE=ZA,"：ZDHA=ZDEC=WO,

：./\ADH^/^CDE(A4S),:.AH=CE,,：AB=AH+BH,：.AB^BE+CE,：.CE=AB-BE.

第川类：用全等证半径与直线的夹角等于90°

22.如图，在ABCE中，点A是边BE上一点，以48为直径的。。与CE相切于点。，AZ)〃OC,点F为

0C与。。的交点，连接4尺

(1)求证：CB是。。的切线；

(2)若/ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.

、___/【解答】(1)证明：连接0£>,与AF相交于点G,；CE与。0相切于点

：.0D±CE,：.ZCDO=90Q,'：AD//0C,：.ZADO=ZDOC,ZDAO=ZBOC,"：OA=OD,：.AADO

'co=co

=NDA0,：.ZDOC=ZBOC,在△COO和△C8。中，，ZD0C=ZB0C-:.△CDgXCBO,：.ZCBO

0D=0B

=NCOO=90°,

是。。的切线.

(2)VZECB=60o,CD,C8是。。的切线，：.ZOCB=ZOCD=30°,：NCOO=NCBO=90°,

：.ZDOC=ZBOC=6Q°,AZE0D=ZD0C=ZCOB=60°,AZDCO=ZBCO=Az£CB=30°,

2

:.NDOC=NBOC=60°,：.ZDOA=60°,,：OA=OD,，△OA。是等边三角形，：.AD=OD=OF,：

'/G0F=NADG

ZGOF=AADO,在△AQG和△FOG中，<NFGO=NAGD，；•△AOG也△尸。G,：.S^ADG=S^FOG,

AD=OF

2

60TC3

-：AB=6,二。。的半径r=3,：.Sm=SOPf^*=2TT.

3602

—23.如图，已知AB为。。的直径，AD,8。是。0的弦，8c是。。的切线,

切点为8,OC//AD,BA,CD的延长线相交于点E.

(1)求证：DC是。。的切线；

(2)若OO半径为4,NOCE=30°,求△OCE的面积.

----J，【解答】(1)证明：连接DO,如图

,'.'AD//OC,：.ZDAO=ZCOB,Z

ADO=ZCOD,又；。4=04，

fOD=OB

AZDAO=ZADO,：.ZCOD=ZCOB.在△C。。和△C08中.NCOD=NCOB二△COg△COB(SAS),

oc=oc

：.ZCDO=ZCBO.：8C是。。的切线，：.ZCBO=90°,：.ZCDO=90°,：.OD±CE,又,点。在

O。上，；.C。是。0的切线；

(2)解：由(1)可知NOCB=NOCQ=30°,：.ZDCB=60°，又BCLBE,.,.Z£=30°,在RtZXOCE

中，；tan/E=毁，:.DE=————=4«,同理。)O=4«,

DEtan300

・・・S/CE=L・OD・CE=AX4X8«=16y.

22

n.

24.(长郡)如图，AB是。0的直径，点P在。。上，且办=尸8,点M是

。。外一点，M8与。。相切于点B,连接。M，过点A作AC〃OM交。。于点C,连接8c交0M于

点D.

(1)求证：OD=LC；

2

(2)求证:MC是。。的切线;

(3)若M£>=8,BC=\2,连接PC,求PC的长.

-V【解答】解：(1)•.YC〃。忆.•.△■BOOSABAC,.•.皎=%=工...OZ)=X4C.

ACAB22

(2)连接OC,'：AC//OM,.".ZOAC=ZBOM,NACO=NCOM,'：OA=OC,：.ZOAC=ZACO

fOC=OB

:.NBOM=/COM,在.♦.△OCM与△oaw中，，ZBOM=ZCOM-.♦.△OCM咨△O5M；又•；MB是OO

0I=0M

的切线，；.NOCA/=NO8M=90°,...MC是。。的切线；

(3)是0。的直径，AC//OM,.*./AC8=NAPB=90°,ODA.BC,：.CD=BD^6,"：ZOCD+Z

MCO=NCMD+/M