2022年人教版新九年级暑期数学培优-第二十一讲 拱桥问题和运动中的抛物线（教师版）

第二十一讲拱桥问题和运动中的抛物线

【学习目标】

1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.

2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题.

3.能运用二次函数的图象与性质进行决策.

【新课讲解】

知识点1：利用二次函数解决实物抛物线形问题

建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤

(1)实际问题。

(2)建立二次函数模型。

(3)利用二次函数的图象和性质求解。

(4)确定实际问题的解。

【例题1】有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.如图所示的直角

坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；

【答案】见解析。

【解析】设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.

♦.•该抛物线过(10,-4),

.'.-4=100a,a=-0.04

y=-0.04x2-

知识点2：利用二次函数解决运动中抛物线型问题

【例题2】悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用

垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点

离桥面的高度为0.5in.

(1)若以桥面所在直线为X轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对

【解析】根据题意，得抛物线的顶点坐标为(0,0.5),

对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.

抛物线经过点(450,81.5),代入上式，得

81.5=a・450’+0.5.

解得

故所求表达式为

12

y=-------X"+0.5(-450<x<450)

-2500

(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.

解:当x=450-100=350(m)时，得

v=——x35O2+0.5=49.5(m)

-2500

当x=450-50=400(m)时,得

y=―--x4002+0.5=64.5(m)

2500

拱桥问题和运动中的抛物线过关检测

注意：满分100分，答题时间60分钟

1.（8分）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度

为多少米？

【答案】2n

【解析】建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为y=or?（aro）.

•••图象经过点（2,-2）,

:.-2=4a,

解得：u——.

2

.12

••V=—X.

-2

当y=-3时，％=±76.

答：当水面高度下降1米时，水面宽度为26米.

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关

键，难度一般.

2.（8分）抛物线形桥拱的跨度A8为6米，拱高为4米，求桥拱的函数关系式.

4,

【答案】y=--x2+4（答案不唯一）.

【解析】以A8所在直线为了轴，A3中点为原点建立直角坐标系，

VAB=6

，AO=3

.•.点A的坐标为（-3,0）

可设所求解析式为y=or?+t,

由抛物线过（一3,0）和（0,4）得:

0=9。+c

4=c

解得：y~9

c=4

.•.抛物线解析式为y=—§4/,+4（答案不唯一）.

【点睛】此题考查的是二次函数的应用，建立适当的坐标系，并利用待定系数法求二次函数解析式是解题

关键.

3.（10分）有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时A3宽20m,水位上升3m就达到警戒线

这时水面宽度为10m.

（1）在如图的坐标系中，求抛物线的解析式.

（2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2m的速度上升）

【答案】（1）），=一一X2：（2）再持续5h到达拱桥顶.

【解析】（1）设所求抛物线的解析式为y=

设。（5力），则3（10力一3）,

把。、8的坐标分别代入y=ax'

（2）'：b=-l,

：.D（5,-l）

二拱桥顶。到CD的距离为1,—=5（h）.

0.2v7

故再持续5h到达拱桥顶.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，将实际问题抽象成

二次函数的问题.

4.（10分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形

和抛物线构成，长方形的长4）=4加，宽=抛物线的最高点E到3c的距离为4加.

（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用丁=米2+机伏。（））表示，求该抛物线的函数表达式；

（2）现将A型活动板房改造为3型活动板房.如图②，在抛物线与AO之间的区域内加装一扇长方形窗户

FGMN,WG,M在AO上，点N,尸在抛物线上，窗户的成本为50元/m？.已知GM=2m,求每

个8型活动板房的成本是多少？（每个8型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN

的成本）

（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元,

每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价〃（元）

定为多少时，每月销售3型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？

1,

【答案】（I）丁=一一%+1（2）500（3）n=620时，w最大=19200元

4

【分析】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入丁=依2+〃7（%。0）即可求解；

（2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解;

(3)根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解.

【详解】(1)由题可知D(2,0),E(0,1)

代入到y=kx2W。)

得0宣=4%+加

U-1

解得，4

m=1

1

...抛物线的函数表达式为丁=一一犬9+1;

4

103

(2)由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=l代入y=--x2+l,得y=一

44

3

AN(1,-)

4

3

.♦.MN=-m,

4

33

.♦S四攻唱FGMN=GMXMN=2X—=一,

42

3

则一扇窗户的价格为二x50=75元

2

因此每个B型活动板的成本为425+75=500元；

(3)根据题意可得w=(n-500)(100+20X转=-2(n-600)2+20000,

•.,一个月最多生产160个，

650—〃

/.100+20X----------<160

10

解得n>620

V-2<0

.,.n>620时,w随n的增大而减小

:.当n=620时,w最大=19200元.

【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质.

5.(10分)如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米.现以O点为

原点，0M所在直线为x轴建立直角坐标系.

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;

(2)求这条抛物线的解析式.

【答案】⑴M(12,0),P(6,6)；(2)y^--x2+2x.

6

【分析】(1)利用现以。点为原点，抛物线最大高度为6米，底部宽度OM为12米，得出点M及抛物线

顶点P的坐标即可；

(2)利用顶点式将P点M点代入求I匕抛物线解析式即可.

【详解】(1)••.其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，

...点M及抛物线顶点P的坐标分别为：M(12,0),P(6,6).

(2)设抛物线解析式为：y=a(x—6>+6,

♦.•抛物线丁=。(》—6)2+6经过点(0,0),

0=<1(0—6)_+6>即u—,

6

1?19

抛物线解析式为：y=-一(X-6)2+6,即丁=-X2+2X.

66

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求二次函数解析式，利用数形结合得出抛物线解析

式是解题关键.

6.(10分)某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示.

(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函

数关系式；

(2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?并说明理由

19

【答案】(1)y=—x；(2)不能通过.

3

【分析】(1)根据图中数据假设适当的解析式，用待定系数法求解;

(2)车从中间过，即x=1.5,代入解析式求出y值后，比较即可.

【详解】

抛物线的顶点为原点，隧道宽6m,高5m,矩形的高为2m,

所以抛物线过点A(-3,-3),

代入得-3=9a,

解得a=-=,

3

所以函数关系式为

(2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，

将x=1.5代入抛物线方程，得y=-o.75,

此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25<45

从而此车不能通过此隧道.

【点睛】本题考查的是二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数

图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键.

7.(10分)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m,宽为6m,抛物线的最高点C

离地面AAi的距离为8m.

(1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式.

(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m,宽为4m,如果该隧道内设双向行车道，那么这辆贷车能否

安全通过？

【分析】(1)根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y=ax2+6,再有条件求出a的

值即可；

(2)隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可.

【详解】(1)根据题意得A(-8,0),B(-8,6),C(0,8),

设抛物线的解析式为y=ax2+8(a/0),把B(-8,6)代入

64a+8=6

解得：a=-工.

32

抛物线的解析式为y=-^x2+8.

(2)根据题意，把*=±4代入解析式，

得y=7.5m.

V7.5m>7m

，货运卡车能通过.

8.(10分)如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度.他先测出门的宽度AB

=8m,然后用一根长为4m的小竹竿CO竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC=1m.小强画出了如图

的草图，请你帮他算一算门的高度OE(精确到0.1m).

【答案】门的高度约为9.1m

【分析】根据所建坐标系，易求A、B、D的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解,

再求顶点坐标得高度OE长.

【详解】解:由题意得,抛物线过点A(T,O)、3(4,0)、0(—3,4),

设y=a(x+4)(x-4),

把。(一3,4)代入y=a(x+4)(x-4),

得4=〃(-3+4)(-3-4),

4

解得a=—>

7

4

••-y=--(x+4)(x-4).

令x=0得尸骨即叫)，

64

:.OE=—=9.\

7

，门的高度约为9.bn.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有

利于减小计算量.本题选取交点式较简便.

9.(12分)如图，是某市一条河上一座古拱挤的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正

常水位时水面宽AB为26m,当水位上涨\m时，抛物线拱桥的水面宽CD为24%现以水面AB所在直线

为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.

(1)求出抛物线的解析式；

(2)经过测算，水面离拱桥顶端15"时为警戒水位.某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10/71,

请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？

x

【答案】见解析。

【解析】(1)设抛物线的解析式为

y=cv?+bx+c(aWO),

:对称轴为y轴,

b„

产一元=°'

...b=0,

/.y=or+c,由题意得，抛物线过点（13,0）,(12,1),

把飞:F

代入得｛169a+c=0

144a+c=1

解得

169'

C=7F

・••抛物线的解析式为尸-扛+翳

（2）由题意得，把x=5代入）=一家+黑=尸一a25+甯=染,

144

；•点F的坐标为尸（5,—）,

25

16Q144

・・・M〃=0M-。”=詈-岩=1m,

Vb??<1.5mf

...此时水面超过警戒水位.

X

10.（12分）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知。4=12米，。8