1.2.1.5直线与平面平行的性质

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.3

直线与平面平行的性质1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，观察过书脊的每页纸和桌面的交线与书脊的位置．直线与平面平行的性质定理平行α∩β＝b

平行1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有 (

)A．0条 B．1条C．0或1条 D．无数条[解析]

a∥α，在平面α内，n条相交直线中与直线a平行的直线可能有1条，也可能没有．C

2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a、b、c…，那么这些交线的位置关系为 (

)A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点[解析]

因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A．A

3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于______．4．如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC、BD与α分别相交于点C、D.求证：AC＝BD．[解析]

如图所示，连接CD，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，又∵AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，∴AB∥CD．∴四边形ABDC是平行四边形．∴AC＝BD．互动探究学案命题方向1

⇨线面平行的性质定理

求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．[思路分析]

如何将线面平行转化为线线平行是本题关键．典例1[解析]

已知直线a、l，平面α、β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β．求证：a∥l．证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c．又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β．又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l．又∵a∥b，∴a∥l．『规律方法』

(1)已知线面平行，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过直线的平面与已知平面相交得交线．(2)要证线线平行，可把它们转化为线面平行．

〔跟踪练习1〕如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB的中点，过A、N、D三点的平面交PC于点M，求证：AD∥MN．[解析]

∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC，又AD⊂平面ADMN，平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴AD∥MN．命题方向2

⇨直线与平面平行的性质定理的应用

如右图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，如何作出过点A1、B、C1的平面与平面ABC的交线？并说明理由．典例2[思路分析]要作两平面的交线，只需两平面的两个公共点，而题目中只有一个公共点B，所以要利用线面平行的性质定理作出来，然后证明．[解析]

在平面ABC中，过点B作直线l，使l∥AC，则l即为平面BA1C1与平面ABC的交线．证明如下：在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，∴A1C1∥平面ABC．又A1C1⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l．又∵直线l过点B，且l⊂平面ABC．根据线面平行的性质定理，l即为所求．转化思想在立体几何线线与线面平行中的应用1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G、H分别为SB、BD上的点，若GH∥平面SCD，则(

)A．GH∥SA B．GH∥SDC．GH∥SC D．以上均有可能[解析]

∵GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD．B

2．对于直线m、n和平面α，下面叙述正确的是(

)A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n3．已知异面直线l、m，且l∥平面α，m⊂平面α，l⊂平面β，α∩β＝n，则直线m、n的位置关系是________．[解析]

由于l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝n，则l∥n.又直线l、m异面，则直线m、n相交．C

相交4．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F．求证：四边形BCFE是梯形．[解析]

∵四边形ABCD为矩形，∴