人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第27讲 3.1.2椭圆的简单几何性质（原卷版）

第02讲3.1.2椭圆的简单几何性质课程标准学习目标①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。知识点01：椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在SKIPIF1<0轴上焦点在SKIPIF1<0轴上图形标准方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴长短轴长＝SKIPIF1<0，长轴长＝SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0SKIPIF1<0焦距SKIPIF1<0对称性对称轴：SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴对称中心：原点离心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【即学即练1】（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的长轴长为.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】因为椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，椭圆焦点在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆的长轴长为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，椭圆焦点在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，满足题意，此时SKIPIF1<0，所以椭圆的长轴长为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.知识点02：椭圆的简单几何性质离心率：椭圆焦距与长轴长之比：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（SKIPIF1<0）当SKIPIF1<0越接近1时，SKIPIF1<0越接近SKIPIF1<0，椭圆越扁；当SKIPIF1<0越接近0时，SKIPIF1<0越接近0，椭圆越接近圆；当且仅当SKIPIF1<0时，图形为圆，方程为SKIPIF1<0【即学即练2】（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知椭圆E：SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，左顶点为SKIPIF1<0，若E上的点P满足SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，则E的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以E的离心率为SKIPIF1<0.故选：A知识点03：常用结论1、与椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0共焦点的椭圆方程可设为：SKIPIF1<0SKIPIF1<02、有相同离心率：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，焦点在SKIPIF1<0轴上）或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，焦点在SKIPIF1<0轴上）3、椭圆SKIPIF1<0的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；知识点04：直线与椭圆的位置关系1、直线与椭圆的位置关系将直线的方程SKIPIF1<0与椭圆的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0联立成方程组，消元转化为关于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的一元二次方程，其判别式为SKIPIF1<0.①SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线和椭圆相交SKIPIF1<0直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线和椭圆相切SKIPIF1<0直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线和椭圆相离SKIPIF1<0直线和椭圆无公共点．【即学即练3】（2023春·江西吉安·高二校考期中）直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【详解】联立SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以方程有两个不相等的实数根，所以直线与椭圆相交故选：C.2、直线与椭圆的相交弦直线与椭圆问题（韦达定理的运用）（1）弦长公式：若直线SKIPIF1<0与圆锥曲线相交与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0则：弦长SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0弦长SKIPIF1<0SKIPIF1<0这里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（2）结论1：已知弦SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的一条弦，中点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0运用点差法求SKIPIF1<0的斜率，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都在椭圆上，SKIPIF1<0两式相减得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0结论2：弦SKIPIF1<0的斜率与弦中心SKIPIF1<0和椭圆中心SKIPIF1<0的连线的斜率之积为定值：SKIPIF1<0（3）.已知椭圆方程SKIPIF1<0，长轴端点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆上一点，SKIPIF1<0．求：SKIPIF1<0的面积（用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示）．设SKIPIF1<0，由椭圆的对称性，不妨设SKIPIF1<0，由椭圆的对称性，不妨设SKIPIF1<0在第一象限．由余弦定理知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0·SKIPIF1<0①由椭圆定义知：SKIPIF1<0②，则SKIPIF1<0得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即学即练4】（2023·全国·高三对口高考）通过椭圆SKIPIF1<0的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．6【答案】B【详解】由题设，不妨设过焦点SKIPIF1<0且垂直于x轴的直线SKIPIF1<0，代入椭圆方程得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故被椭圆截得的弦长等于SKIPIF1<0.故选：B题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质【典例1】（2023春·上海杨浦·高二校考期中）椭圆SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的（

）A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知P点是椭圆SKIPIF1<0上的动点，A点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）椭圆SKIPIF1<0的长轴长、短轴长、离心率依次是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，下顶点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的任意一点，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的长轴长为（

）A．6 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【变式3】（2023秋·高二课时练习）椭圆SKIPIF1<0的焦距为4，则m的值为．题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程【典例1】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）过点SKIPIF1<0且与椭圆SKIPIF1<0有相同焦点的椭圆方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期末）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为SKIPIF1<0，长轴长为12，则椭圆方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知椭圆焦点在SKIPIF1<0轴，它与椭圆SKIPIF1<0有相同离心率且经过点SKIPIF1<0，则椭圆标准方程为.【变式1】（2022秋·高二课时练习）过点SKIPIF1<0且与椭圆SKIPIF1<0有相同焦点的椭圆的标准方程是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·陕西西安·长安一中校考二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆C的蒙日圆的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若椭圆SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，且与椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率相同，则椭圆SKIPIF1<0的一个标准方程为.题型03求椭圆的离心率的值【典例1】（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为SKIPIF1<0的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为SKIPIF1<0时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上关于SKIPIF1<0轴对称的两点.若直线SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过坐标原点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0位于第一象限，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0另交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例4】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）已知椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，椭圆上的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在第一，第二象限内，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积相等，且SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为.【变式1】（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过原点的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左，右焦点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右焦点，直线SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式4】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点，过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率为.题型04求椭圆的离心率的最值或范围【典例1】（2023春·湖南益阳·高二统考期末）若椭圆上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0到椭圆两个焦点的距离之比为SKIPIF1<0，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·上海青浦·高二统考期末）点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的右顶点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点（不与SKIPIF1<0重合），若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是坐标原点），则椭圆SKIPIF1<0的离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·陕西西安·统考一模）已知椭圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0，它关于原点的对称点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆右焦点，且满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率的取值范围是.【典例4】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）过原点作一条倾斜角为SKIPIF1<0的直线与椭圆SKIPIF1<0交于A，B两点，F为椭圆的左焦点，若SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率e的取值范围为．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知c是椭圆SKIPIF1<0）的半焦距，则SKIPIF1<0取最大值时椭圆的离心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的两点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点，点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率的取值范围为.【变式4】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上一点，椭圆SKIPIF1<0焦距为6，点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点在椭圆SKIPIF1<0上，则椭圆离心率的取值范围为．题型05根据椭圆离心率求参数【典例1】（2023秋·高二单元测试）设椭圆SKIPIF1<0的离心率分别为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）椭圆SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左、右焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，斜率为1的直线l过左焦点SKIPIF1<0，交C于A，B两点，且SKIPIF1<0的内切圆的面积是SKIPIF1<0，若椭圆C的离心率的取值范围为SKIPIF1<0，则线段AB的长度的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·全国·高二专题练习）椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别是SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0过左焦点SKIPIF1<0且交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的内切圆的周长是SKIPIF1<0，若椭圆的离心率为SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长度的取值范围是【变式1】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可能是（

）A．3 B．7 C．3或SKIPIF1<0 D．7或SKIPIF1<0【变式2】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）设SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是.【变式3】（2023·吉林长春·校联考一模）已知椭圆C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在椭圆C上，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若椭圆C的离心率SKIPIF1<0，则实数λ取值范围为.题型06直线与椭圆的位置关系【典例1】（2023·全国·高三对口高考）若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有且只有一公共点，那么SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则直线l与椭圆C的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【变式1】（2023·广东广州·统考模拟预测）已知以SKIPIF1<0为焦点的椭圆与直线SKIPIF1<0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0恒有公共点，则实数m的取值范围（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型07直线与椭圆相切【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0.过椭圆SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0作椭圆的切线SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0点且与直线SKIPIF1<0垂直的直线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为．【变式1】（2023·全国·高二专题练习）椭圆SKIPIF1<0上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·广西·统考一模）在平面直角坐标系中，动点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上运动，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最大值为．题型08弦长【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆SKIPIF1<0，过左焦点SKIPIF1<0作倾斜角为SKIPIF1<0的直线交椭圆于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，则弦SKIPIF1<0的长为．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0被椭圆C截得的弦长为SKIPIF1<0，求k的值．【典例3】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并且经过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0，过左焦点SKIPIF1<0的斜率为1的直线与椭圆分别交于A，B两点，求SKIPIF1<0．【变式2】（2023秋·青海西宁·高二期末）已知点SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右焦点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点．(1)求椭圆E的方程：(2)设过椭圆SKIPIF1<0的左焦点且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【变式3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点是双曲线SKIPIF1<0的顶点，SKIPIF1<0的焦点到SKIPIF1<0的渐近线的距离为SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于A，B两点，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0(2)若直线l与SKIPIF1<0相交于P，Q两点，求SKIPIF1<0的取值范围.题型09中点弦和点差法【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三对口高考）直线SKIPIF1<0截椭圆SKIPIF1<0所得弦的中点M与椭圆中心连线SKIPIF1<0的斜率为．【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知过点SKIPIF1<0的直线，与椭圆SKIPIF1<0相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是.【典例4】（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为SKIPIF1<0的椭圆被直线SKIPIF1<0截得弦的中点的横坐标为SKIPIF1<0，则椭圆的方程为．【变式1】（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）若椭圆SKIPIF1<0的弦AB被点SKIPIF1<0平分，则AB所在直线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0四个顶点构成的四边形的面积为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆C交于A，B两点，且线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则椭圆C的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆SKIPIF1<0交于A，B两点，已知直线SKIPIF1<0的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是．【变式4】（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）直线SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0轴重合，经过点SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0上存在两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为.题型10椭圆中三角形面积问题【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知经过椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，交椭圆于A、B两点，SKIPIF1<0是椭圆的左焦点，求SKIPIF1<0的周长和面积．【典例2】（2023春·北京·高二北京师大附中校考期中）已知椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，其左焦点为SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于不同的两点SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)求SKIPIF1<0的面积.【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的任意一点，点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)若过点SKIPIF1<0的直线交轨迹SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是坐标原点，记SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【变式1】（2023春·湖南衡阳·高二校联考期末）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左顶点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点（异于点SKIPIF1<0），当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)求SKIPIF1<0面积的取值范围．【变式2】（2023春·江西九江·高二江西省湖口中学校考期中）已知椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于不同的两点SKIPIF1<0，(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)椭圆左焦点为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【变式3】（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交曲线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），求直线SKIPIF1<0的方程．题型11椭圆的定点、定值、定直线问题【典例1】（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，A、B分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的上顶点，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0的斜率与直线SKIPIF1<0的斜率互为相反数，求证：直线SKIPIF1<0过定点.【典例2】（2023春·河南平顶山·高二统考期末）已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过点SKIPIF1<0，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.【典例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，A，B分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作斜率不为0的直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为SKIPIF1<0，BQ的斜率为SKIPIF1<0.求证：①SKIPIF1<0为定值；②点M在定直线上.【变式1】（2023·四川成都·校考一模）已知SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左，右顶点，SKIPIF1<0为其右焦点，SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0与以SKIPIF1<0为直径的圆交于SKIPIF1<0两点，证明：SKIPIF1<0为定值．【变式2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的SKIPIF1<0的顶点，SKIPIF1<0为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N,点SKIPIF1<0若直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.【变式3】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线SKIPIF1<0．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设SKIPIF1<0，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线SKIPIF1<0与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．题型12椭圆中的向量问题【典例1】（2023春·河南周口·高二校考开学考试）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0，长半轴长与短半轴长的比值为2．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的上顶点，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．【典例2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0经过椭圆SKIPIF1<0的右焦点，且与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．已知点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【变式1】（2023·全国·高三对口高考）若点O和点F分别是椭圆SKIPIF1<0的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．6 B．5 C．4 D．2【变式2】（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的坐标分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且以SKIPIF1<0为直径的圆过点SKIPIF1<0，求出直线SKIPIF1<0的所有方程.题型13新定义问题1．（2023·全国·高二专题练习）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星SKIPIF1<0看作一个质点，SKIPIF1<0绕太阳的运动轨迹近似成曲线SKIPIF1<0，行星SKIPIF1<0在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星SKIPIF1<0的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则SKIPIF1<0（

）A．39 B．52 C．86 D．972．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0过椭圆的下焦点，SKIPIF1<0米，桥塔最高点SKIPIF1<0距桥面SKIPIF1<0米，则此椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（多选）（2023·全国·高二专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为SKIPIF1<0，盘子的中心为SKIPIF1<0，筷子与大椭圆的两交点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0.给出下列四个命题其中正确的是（

）A．两椭圆的焦距长相等 B．两椭圆的离心率相等C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与小椭圆相切4．（多选）（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆SKIPIF1<0相切,则下列说法正确的是（

）A．椭圆C的离心率为SKIPIF1<0 B．椭圆C的蒙日圆方程为SKIPIF1<0C．椭圆C的蒙日圆方程为SKIPIF1<0 D．长方形R的面积最大值为18A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·高二课时练习）椭圆SKIPIF1<0的焦点坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长是短轴长的2倍，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）椭圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同4．（2023·河南·校联考模拟预测）关于椭圆C：SKIPIF1<0，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为SKIPIF1<0；丁：SKIPIF1<0．如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2023春·河南·高三阶段练习）已知SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，且SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的一点，则SKIPIF1<0的周长为（

）A．6 B．9 C．12 D．156．（2023春·福建福州·高二校联考期中）椭圆SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若SKIPIF1<0，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023秋·高二课时练习）过椭圆SKIPIF1<0的中心作直线与椭圆交于A、B两点，SKIPIF1<0为椭圆的左焦点，则SKIPIF1<0面积的最大值为（

）A．6 B．