2023年北京朝阳区八十中初三（上）10月月考数学试卷及答案

2023北京八十中初三10月月考数学（满分100分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.下列方程中，是一元二次方程的是（）2x2−3xy+4=0−3=0A.x2+2x−3B.D.x−6x−4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（1x2−=42C.x2.一元二次方程3xA.3，642）B.3，6，4C.36，−D.3，6，443.在下列方程中，没有实数根的是（A.xB.x）2+x=02C.x2−x+3=0D.x+2x+1=02y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）4.抛物线=+2−A.y=2(x+1)2+3B.yx3y=2(x−2−3D.y=2(x−1)2+3C.y=x2−6x+2化成yaxh=(−)2+k的形式为（）5.将二次函数x3=(−)2+2y=(x−3)2−7y=(x+3)2−7y=(x−6)D.2+2A.yB.C.y=2(x−2+2的图像，下列叙述正确的是（）6.对于(−2)A.开口方向向下B.顶点坐标为C.当x3时y随增大而增大xD.对称轴为x=3y=ax2+bx+c(a0)的图像如图所示，则下列结论正确的是（）7.若二次函数A.c0B.b0的周长之和为，设圆的半径为C.b2−40D.b=−2a，正方形的边长为ycm，阴影部8.如图，正方形ABCD和分的面积为cm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A.一次函数关系，一次函数关系C.二次函数关系，二次函数关系B.一次函数关系，二次函数关系D.二次函数关系，一次函数关系二、填空题（本题共分，每小题2分）(x−=2的根是________．29.一元二次方程x2+−=m3xm0有实数根，则的取值范围是________．10.若关于的一元二次方程xx+x−xx=已知x，x是一元二次方程2x2−3x+1=0的两根，则________．21212112.已知一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=1，请写出一个满足条件的二次函数的解析式_______．13.某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，计划在未来两个月内，将厨余垃圾的月加工处理量从现在的1000吨提高到1200吨，若加工处理量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x，可列方程为________．(−A1)，B(−y2)，()为二次函数y=−(x−2)2+k的图像上的三点，则C31y2y3，，14.若的大小关系是________＝-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x+2x+0的解215.已知二次函数为_____．y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a0）的y与x的部分应值如下表：216.已知二次函数−5−−2xy40266064下列结论：①a0；②当x=2时，函数最小值为6；(−y)()yy1y②若点，在二次函数图象上，则；212④方程ax2+bx+c=−5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是________三、解答题（本题共分，第题每小题4分，第18、、21题每题5分，第22、、24、25每题6分，第19、26、27题每题7分）17.解方程：（1）x2+6x−4=0；(x+2)=2x+4．2（2）(m1的值．+)(−)−(+)218.已知m是方程3x2−2x−5=0的一个根，求代数式2m12m113219.已知二次函数y=x−x−2．2（1）该二次函数化为顶点式为________；（2）该二次函数图像与x轴的交点坐标为________，与y轴的交点坐标为________；xOy（3）在所给平面直角坐标系（4）结合函数图像，直接写出：中，画出该二次函数的图像；0当时，x的取值范围为________；当1x2时，y的取值范围为________．2)0)．20.已知二次函数的顶点坐标为（1）求该二次函数的解析式；，且图像经过点y=x+b(2,m)，求m的值和直线的解析式．（2）若直线与该二次函数的图像交于点y=x+(m−4)x−4m．221.已知二次函数m（1）若图象经过原点，则的值为________；ym（2）若图象的对称轴为轴，则的值为________；xm（3）若图象的顶点落在轴上，则的值为________；（4）若当x1时，随的增大而减小，则的取值范围为________．yxm−(k+5)x+6+2k=0．x222.已知关于x的一元二次方程（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两根的差为2，求k的值．23.学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆24面的一边AB的长为米（要求xABCD的面积为S平方米．xx（1）求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积为36平方米，AB边的长应为多少米？1212y=3x2+1，y=−x2−|x|y=2x−3|x|−1，224.下面给出六个函数解析式：y=x，，2y=−x2+2|x|+1，y=−3x−|x|4．2小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质。下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：y=（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如_______，其中x量；y=−x+2|x|+1的部分图象，用描点法将这个函数2（2）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y②有些函数既有最大值，同时也有最小值x−m时，y随x的增大而减小x>m③存在某个函数，当（m为正数）时，y随x的增大而增大，当④函数图象与x轴公共点的个数只可能是02个或4个所有正确结论的序号是________；−x2+2|x|+1=−x+k有一个实数根为3，则该方程其（4）结合函数图象，解决问题：若关于x它的实数根为_______．y=x−tx+2．225.已知关于x的二次函数（1）求该抛物线的对称轴（用含tMt−m()，(+Ntn)（2）若点在抛物线上，则m_________n=”）（3）()，()是抛物线上的任意两个点，若对于−Qx,y112且=，都有Px,y3231y2，求t112的取值范围．26.如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE，过点A作AE的垂线交CD的延长线于点F，连接EF，取EF中点G，连接．（1）依意补全图形；用等式表示ADG与CDG的数量关系，并证明；（2）若=2，用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明．yM27.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y=−(x−+2是有上界函数，其上确界是2．2y=x2+2x+和②y=2xx2)−（1）函数①中是有上界函数的为________确界为________；y=−x+2(ax,ba)的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取（2）如果函数值范围；y=x−2ax+x是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值，并求出此时函数2（3）如果函数的最小值．参考答案一、选择题（本题共分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.【答案】Dax+bx+c=0(a0)的整式方程判断．2【分析】根据一元二次方程的定义即形如【详解】A.x+2x−3，不是方程，不符合题意；22−3xy+4=0，有两个未知数，不符合题意；B.C.2x1x2−=4，不是整式方程，不符合题意xD.x2−3=0，符合题意；故选D．ax+bx+c=0(a0)的整式方程，熟练掌握定义是解2【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即形如题的关键．2.【答案】D【分析】根据一元二次方程的一般式可直接进行求解．【详解】解：一元二次方程3x故选D．2−−=3646x40的二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，；【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．3.【答案】C【分析】利用根的判别式计算判断，小于零即可．a=b=c0=【详解】∵方程x2+x=0，，=b2−4ac1=2−410=0，∴x2+x=0有两个不相等的实数根；∵方程x2，a=b=c=1，=b2−4ac=0−41(−)=0，2∴x2有两个不相等的实数根；a=b=−c3=∵方程x2−x+3=0，，=b2−4ac=(−)2−413=−110∴，x2−x+3=0没有实数根；2x+1=0，a=b=c=1，∵方程x2+=b2−4ac2=2−411=0，∴2x+2x+1=0有两个相等的实数根；故选C．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式大于零，方程有两个不相等的实数根；判别式等于零，方程有两个相等的实数根；判别式小于零，方程没有实数根是解题的关键．4.【答案】B【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案．=(+2，再向下平移个单位可得y=2(x+)−3，2【详解】解：抛物线向左平移1个单位可得y2x13故选：B【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．5.【答案】B【分析】利用配方法将二次函数的一般式化成顶点式即可．y=x−6x+22【详解】解：=x−6x+9−9+22=(−)x3−72，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．6.【答案】C【分析】根据抛物线的性质判断解答即可．【详解】解：A．开口方向向上，不符合题意；2)B．顶点坐标为，不符合题意；C．当x3时随x增大而增大，符合题意；yD．对称轴为x=3，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．7.【答案】D【分析】由图像与y轴的交点可判断A，与x轴的交点数量可判断，由对称轴可判断B和D.【详解】解：由图可知，抛物线与y轴的交点处于y轴的负半轴，即c＜0，则A错误；抛物线与x轴有两b−2a个交点，即ac0，则C错误；由图可知，抛物线的对称轴为=1，且a＞＜0，0bb=−2a，则B错误，D正确.故选择D.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解其图像和表达式系数之间的关系是解题关键.8.【答案】B1y=−x+5S−=圆得到【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据2142S=−x−x+25，由此即可得到答案．2【详解】解：∵正方形ABCD和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为ycm，∴∴∵4y+x=20，1y=−x+5，2S=−圆，212142S=y2−x2=−x+5−x2=−x−x+25，2∴∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选B．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．二、填空题（本题共分，每小题2分）9.【答案】1=3+2,2=3−2【分析】直接开平方法求解即可．(x−=2，2【详解】∴x−3=2，∴x=3+2,x=3−2．12【点睛】本题考查了直接开平方法解方程，熟练掌握解法是解题的关键．910.【答案】m−4【分析】由方程根的情况，根据根的判别式，可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．【详解】解：∵一元二次方程x2+3x−m=0有实数根，0，∴即32+4m0，9m−解得，494m−故答案为：．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．【答案】1【分析】依据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．【详解】解：∵x，x是一元二次方程2x2−3x+1=0的两根，12312x+x=，xx=∴∴，1212231x+x−xx=−=1，121222故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．y=x2−2x（答案不唯一）12.【答案】b【分析】根据题意，写出a0，且−=1的一个二次函数解析式即可求解．2a【详解】解：依题意，一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=1的二次函数解析式为y=x2−2x，y=x2−2x（答案不唯一）故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．(+)=1200213.【答案】10001x【分析】根据平均增长率公式，结合题意即可得解．【详解】解：设月平均增长率为x，列方程为(+)=1200，210001x故答案为：10001x【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用平均增长率问题，理解并掌握平均增长率公式是解题的关键．(+)=1200．2yyy214.【答案】13y=−(x−2)+k得到抛物线开口向下，且对称轴为直线x=2，根据距离对称轴2【分析】根据二次函数越远，函数值越小计算判断．y=−(x−2)+k，2【详解】∵二次函数∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x=2，∴距离对称轴越远，函数值越小，2−(6−2−(4)，∵∴yyy．213yyy．2故答案为：13【点睛】本题考查了抛物线的增减性，对称轴，熟练掌握抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小是解题的关键．x=，x=−215.【答案】12y=−x+2x+m的部分图象经过点（40x=1，根据抛2【分析】根据图象可知，二次函数物性的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根．y=−x+2x+m的部分图象经过点（4，2【详解】解：根据图象可知，二次函数对称轴为x=1，y=−x+2x+m与x轴的另一个交点坐标为：(−0)2由抛物线的对称性可知：二次函数y=−x2+2x+m与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程−x+2x+m=0的根，即：2抛物线x=，x=−2；12x=，x=−2故答案为：．12【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．利用数形结合和函数的思想可以快速的解题．16.【答案】①④##④①【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质(−y)y)y=−5时，利用一元二次方程的y1y、即可③；当2可判断②；把点和点代入解析式求出12根的判别式即可判断④，进而可得答案．【详解】解：由抛物线过点(−6)、(6)、(−4)，可得：25a−b+c=6a=14a+b+c=6c=4b3=，解得：，c=4y=x+3x−4，2∴二次函数的解析式是∴a=10，故①正确；34x=−y−时，有最小值当，故②错误；2(−1)y)=136，y2=84，y若点，点，故③错误；2在二次函数图象上，则2yy∴当1y=−5时，方程x23x4+−=−5即x23x+1=0，+∵=32−4=50，∴方程ax2+bx+c=−5有两个不相等的实数根，故④正确；综上，正确的结论是：①④．故答案为：①④．【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．三、解答题（本题共分，第题每小题4分，第18、、21题每题5分，第22、、24、25每题6分，第19、26、27题每题7分）17.1）1=−−13，2=−3+133x=−22（2）1=0，）配方法求解可得；（2）因式分解法求解可得．【小问1解：x2+6x−4=0，xx2+6x=4，2+6x+9=13，(+)=13，2x3x+3=13，解得x=−3−13，x=−3+13；12【小问2(x+2)(x+2)2=2x+4，−2(x+2)=0，2x(x+2)=0，x=0或x+2=0，x=−22解得1=0，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18.【答案】3【分析】由题意可得：m行化简，然后整体代入求解即可．2x50的一个根可得2−2m50，即m22m5，根据完全平方公式和平方差公式对代数式进−=−=2−−=m2−2m−5=0，即m−2m=5，2【详解】解：由m是方程3x(+)(−)−(+)22m12m1m1(+2m+)=4m2−1−m2=4m22−1−m2−2m−1=m−2m−2将m2−2m5代入，可得原式=5−2=3=【点睛】此题考查了一元二次方程根的含义，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是理解一元二次方程根的含义，正确对代数式进行运算．119.1）y=(−)x12−2232（2）(0),(−1,0)；−＜−；−2y10（3）见解析（4）3或x）用配方法解答即可．12332y=0x2−−=0，令x=0，得xy=−（2）令，得，依次求解即可．2（3）利用列表，描点，连线画图即可．（4）利用数形结合思想求解即可．【小问11231231(x2−2x−=)(x−1−1−=x−1−2)2()2y=根据题意，得，2221=(−)x12−2．y故答案为：2【小问213y=x2−x−∵，2213y=0x2−−=x0，令，得22x=x=−1解得，12故二次函数图像与x轴的交点坐标为(0),(−1,0)，故答案为：(0),(−1,0)；13y=x−x−2∵，223令x=0，得y=−，23−故二次函数图像与y轴的交点坐标为，23−故答案为：．2【小问3列表如下：x−0130132−−2y0画图如下：【小问4根据函数图像，得03或＜−1，当时，x的取值范围为故答案为：3或＜−1；∵对称轴x=1在1x2中，函数的最小值为2，最大值为0，−∴当1x2时，y的取值范围为−2y0−2y0，故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握配方法求二次函数的对称轴与顶点坐标，描点法作二次函数的图像，利用数形结合的方法求自变量或函数值的范围是解答此题的关键．113220.1）y=−(x−2+2y=−x+x+或222312y=x−，（2）2y=a(x−2+2，把点0)代入确定a值即可．）设二次函数的解析式(2,m)（2）把代入抛物线解析式，确定m值和坐标，回代直线解析式求得b值即可．【小问12)∵二次函数的顶点坐标为，y=a(x−+2，2∴设二次函数的解析式0)∵图像经过点，0=a−2+2，∴1a=−解得，21132y=−(x−2+2y=−x+x+2∴二次函数的解析式或．22【小问21y=x+b(2,m)y=−(x−+2，2∵直线与该二次函数的图像交于点，二次函数的解析式213m=−(2−2+2=∴故∴，223(2,m)(2,)的坐标为，232=2+b，，12解得b=−12y=x−故直线的解析式为．【点睛】本题考查了顶点式求抛物线的解析式，抛物线与一次函数的交点问题，熟练掌握顶点式求解的基本思路，理解交点坐标的意义是解题的关键．21.1）0（2）4（3）4−（4）m2m）将原点坐标代入解析式，解之即可得的值；bm−4x=−=−=0，解方程，即可求解．（2）由对称轴为y轴，得到2a2xΔ=0，解方程即可求解．（3）顶点在轴上，则有4−m（4）当x1时，随的增大而减小，则对称轴yx1，解不等式，即可求解．2【小问1解：∵图象经过原点，∴，解得：m=0，故答案为：0．【小问2y∵图象的对称轴为轴，bm−4x=−=−=0∴2a2解得：m=4故答案为：4．【小问3x解：∵象的顶点落在轴上，=b2−4ac=(m−4)2−4(−4m)=m2−8m+16+16m=(m+4)=02∴解得：m=−4【小问4y=x2+(m−4)x−4m，a=10解：∵二次函数∴抛物线开口向上，4−mx=对称轴为直线，2当x1时，随的增大而减小，yx4−m1∴2解得：m2【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．22.1）见解析；（2）1或3）根据方程的系数结合根的判别式=2b−4ac，可得出，由偶次方的非负性可得出0，进而可证出方程总有两个实数根；（2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据两根之差为2的关系，分类讨论列方程解之即可．【小问1证明：∵，∴此方程总有两个实数根；【小问2解：由（1，(k∴x，22x=k+3x=2，∴，12∵若此方程的两根的差为2，∴k解得：k1或∴k的值为1或3．1）熟知“当或2，=k=3；0时，方程有两个实数bb−4ac22）牢记求根公式：x=．2a+24x(0x6)S=−3x223.1）（2）2米()米，由矩形的面积公式即可得出S与之间的函1）由题意得出AB=x米，BC=24−x数关系式，再根据求出自变量的取值范围；xS=36x代入（1）中的函数解析式得到关于的一元二次方程进行求解即可．（2）把【小问1(BC=24−)米，解：由题意得：AB=x米，S==(−)=−ABBCx243x3x2+24xD，=，0x24−3x，0x6，S=−3x+24x(0x6)；2Sx与之间的函数关系式为【小问2−3x+24x=362，解得：12，=x=62要想使矩形花圃ABCD的面积为36平方米，AB边的长应为2米．【点睛】本题考查了二次函数的应用，函数求值，根据题意准确列出函数关系式是解答本题的关键．ax2+b|x|+c（a≠02）12==−124.1））观察六个二次函数解析式的特点，可知：它们都具有共同的特点：一次项的x含有绝对值，即可；y=−x2+2|x|−x−2x+1，再用描点法，画出图象，即可.2（2）根据求绝对值法则，当x<0（3）结合六个二次函数的额图形和性质，逐一判断，即可；y=−x12+2|x|+1，y2=−+x1，在同一坐标系中，画出图象，根据两个函（4）先求出k的值，再令数图象的交点坐标，即可得到答案.）观察六个二次函数解析式的特点，可知：它们都具有共同的特点：一次项的x含有绝对值，+b|x|+c（a≠0，即：故答案是：（2）当x<0时，y=ax2ax2+b|x|+c（a≠y=−x+2|x|−x−2x+1，根据描点法，如图所示：2212y=x2y=3x+1，关于2y轴对称，（3）∵，1−x−x22−x(x0)121y=−x2−x=，图象关于y轴对称，2+x(x0)222−3x−x0)2x2xy=2x2−3x−，图象关于y轴对称，，图象关于y轴对称，+3x−x0)−2++x2xx0)y=−x2+2x+−x2−2x+x0)−22−−x4(x0)3xy=−3x2−x−4=，图象关于y轴对称．−3x+x−4(x0)∴①正确；1y=x2∵，有最小值，没有最大值，2y=3x2+1，有最小值，没有最大值，1y=−x2−|x|，有最大值，没有最小值，2y=2x2−3|x|−1，有最小值，没有最大值，+2|x|+1，有最大值，没有最小值，y=−x2y=−3x2−|x|4，有最大值，没有最小值，∴②错误；22−3x−x0)2x2xy=2x2−3x−∵，图象关于y轴对称，+3x−x0)3232xxx−y当时，y随的增大而增大，当时，随x的增大而减小，∴③正确；1y=x2∵的图象与x轴有1个公共点，2y=3x2+1的图象与x轴没有公共点，1y=−x2−|x|x的图象与轴有1个公共点，2y=2x2−3|x|−1的图象与x轴有2个公共点，+2|x|+1的图象与x轴有2个公共点，y=−x2y=−3x−|x|4的图象与x轴没有公共点，2∴④错误，故答案是：①③；−x2+2|x|+1=−x+k有一个实数根为，（4）∵关于x的方程2+|3|1=3+k，解得：k=1∴令3，y=−x2+2|x|+1，y2=−x+1，1函数图象如图所示：∴关于x−x+2|x|+1=−x+k的其他两个实数根为：x=x=−1，122x=x=−1故答案是：12【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据题意，画出二次函数图象，是解题的关键.25.1）xt2）＜（3）t≤1）根据对称轴的表达式直接求解即可；（2）利用抛物线的对称性和增减性进行判断即可；（3）根据二次函数的增减性进行判断解答即可．【小问1b−tx=−=−=t解：二次函数的对称轴为：2a2【小问2解：∵a＞，∴t时y随x的增大而减小，t，y随x的增大而增大根据抛物线的对称性可知：M点关于对称轴对称的点为：(t+m)，∵t+t+5∴＜n故答案为：【小问3113x=3yy，12解：若对于∴点P在Q点的左侧，且对称轴在P，Q中间∴对称轴一定在水平距离上距离x2更远或相等且，都有21+x21+x1+x=t，更远时2>t）∴∴2≥t（距离相等时x22223+3231−>t且≥t2∴3>t且1≥t∴t≤1．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟记二次函数对称轴的表达式，以及二次函数的增减性是解题的关键．26.1）=CDG，见解析=（2））根据基本作图，利用三角形全等证明猜想即可．（2）过点G作⊥CD于点N，利用等腰直角