2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第三十二讲函数的单调性和最大（小）值

第三十二讲：函数的单调性和最大（小）值【教学目标】图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念；2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念；；4.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；5.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值；6.会借助函数的单调性求最值.【基础知识】一、函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．注意点：①区间D可以是整个定义域I，也可以是定义域的真子集；②同区间性，即x1，x2∈D；③任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替；④有序性，即要规定x1，x2的大小；⑤“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一，但自变量和函数值的不等方向要一致，简称为“步调一致增(减)函数”；⑥单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．二、函数的最值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．注意点：①最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标；②并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R；③一个函数至多有一个最大(小)值；④研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性；⑤对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．【题型目录】考点一：根据函数图象写单调区间考点二：已知单调区间判断解析式考点三：根据解析式求解函数单调区间考点四：证明函数的单调性考点五：利用单调性求函数值考点六：利用单调性求解不等式考点七：已知单调区间求参（一次、二次函数）考点八：已知分段函数单调性求参【考点剖析】考点一：根据函数图象写单调区间例1．已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（） A． B．和 C． D．和【答案】B【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和.故选：B变式训练1．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为.故选：B变式训练2．函数，的图象如图所示，则的单调递增区间是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】根据图像易得单调增区间为，故选：C.变式训练3．（多选）如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递减的是（） A． B． C． D．【答案】BD【详解】结合图像易知，函数在区间、上单调递减，故选：BD考点二：已知单调区间判断解析式例2．（多选）下列函数中，在上单调递增的是（） A． B． C． D．【答案】AD【详解】画出函数图象如图所示，由图可得A，D中的函数在上单调递增，B，C中的函数在上不单调．故选:AD．变式训练1．（多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（） A． B． C． D．【答案】AC【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数，正确；对于B选项，当时，，该函数在区间上为减函数，错误.对于C选项，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，正确；对于D选项，函数在区间上为减函数，错误；故选：AC.变式训练2．（多选）下列函数在上是减函数的是（） A． B． C． D．【答案】BCD【详解】A选项，函数为在R上递增函数，故A错误；B选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；C选项，函数在，上单调递减，故C正确；D选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确.故选：BCD变式训练3．（多选）下列函数中满足在上单调递减的是（） A． B． C． D．【答案】BC【详解】对于A，反比例函数在上单调递增，错误；对于B，由于为减函数，在上单调递减，，正确；对于C，另，则，在为增函数，在为减函数，复合函数同增异减，所以在上单调递减，正确；对于D，，所以在上单调递增，错误.故选：BC.考点三：根据解析式求解函数单调区间求解单调区间时，首先要注意定义域的范围.例3．函数的单调递减区间为__________．【答案】【详解】令，解得，设，，外函数为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间，，对称轴为，其开口向下，故其减区间为.故答案为：.变式训练1．函数的单调递增区间是______【答案】【详解】因为，且的开口向上，故的单调递增区间是，故答案为：变式训练2．已知函数，则的单调递增区间为__________.【答案】【详解】当时，单调递减；当时，，在上单调递增，在单调递减；故答案为：变式训练3．函数的增区间为______．【答案】【详解】因为，所以，解得，设，函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递增.故答案为：.考点四：证明函数的单调性证明单调性的步骤：（1）取值；（2）作差；（3）化简；（4）定号；（5）下结论.例4．已知函数；判断在上的单调性，并用定义加以证明；【答案】单调递减，证明见解析【详解】在上的单调递减，证明如下：设，则，因为，所以，，，，即，所以，即，所以函数在上的单调递减；变式训练1．已知函数；判断函数在的单调性，并用定义证明.【答案】函数在上单调递增，证明见解析【详解】函数在上单调递增，证明如下：任取，且，因为，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增.变式训练2．根据定义证明函数在区间上单调递增.【答案】证明见解析【详解】，，且，有.由，，得，，所以，，又由，得，于是，即.所以，函数在区间上单调递增.变式训练3．已知函数；判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；【答案】在上单调递增；证明见解析【详解】在上单调递增．，且，则，，，且，，从而，又，，从而，在上单调递增．考点五：利用单调性求函数值例5．已知二次函数，，且.(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的值域．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，即．（2）因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．因为在递减，在递增，所以，因为，，所以，所以在上的值域为．变式训练1．已知函数，则在上的最大值为（） A．9 B．8 C．3 D．【答案】A【详解】函数的对称轴为，所以函数在上单调递减，.故选：A.变式训练2．若函数,则下列结论正确的是（） A．函数的最小值为 B．函数在区间上单调递减,在区间上单调递增 C．函数的最大值为 D．函数在区间上单调递增,在区间上单调递减【答案】B【详解】由题知,定义域为,因为,,故选项A,C错误,排除;且有,因为所以,即,故在区间上单调递减,且有,因为所以,即,故在区间上单调递增,故选项B正确.故选:B变式训练3．已知函数，且.(1)求实数m的值；(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数在上的最值.【答案】(1)4；(2)单调递增，证明见解析；(3)【详解】（1）根据题意得：，解得：；（2）在上的单调递增；理由如下：设，则∵，故，，∴，∴f（x）在上的单调递增；（3）根据题意，由（2）可知，在上单调递增，故，，∴函数在上的值域为.考点六：利用单调性求解不等式例6．已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，所以，解得.故选：D变式训练1．已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由函数是实数集上的减函数，又所以，解得故选：C变式训练2．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，又函数的定义域为，且在定义域内是增函数，所以有，解得.故选：C变式训练3．已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】函数是定义域为的减函数，因，故，解得，故选：C考点七：已知单调区间求参（一次、二次函数）例7．已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【详解】因为对任意，且，不等式恒成立，不妨设，则，故，即，所以在上是增函数，因为，当时，，显然在上是减函数，不满足题意；当时，的对称轴为，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：变式训练1．函数在上是减函数，则（） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数在上是减函数，所以.故选：D变式训练2．已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】的对称轴为，若在上单调递增，则，解得，若在上单调递减，则，解得，所以实数k的取值范围为.故选：D.变式训练3．已知，则“”是“函数在内单调递减”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若函数在内单调递减，当时，在内单调递减，符合题意.当时，的开口向上，对称轴为，则，解得.当时，的开口向下，对称轴为，则，解得.综上所述，若函数在内单调递减，则.所以“”是“函数在内单调递减”的充分不必要条件.故选：A考点八：已知分段函数单调性求参例8．若函数在上是单调函数，则的取值可以是（） A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】因为当时，函数为单调递增函数，又函数在上是单调函数，则需满足，解得，所以实数的范围为，所以满足范围的选项是选项B.故选：B．变式训练1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得；易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增；若满足函数在上单调递增，则分段端点处的函数值需满足，如下图所示：所以，解得；综上可得.故选：A变式训练2．已知函数在上单调递增，则（） A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】由题意可得：，解得或.故选：D.变式训练3．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可知，在上为增函数，则，函数在上为增函数，则，故，解得.故选：C【课堂小结】1．知识清单：(1)增函数、减函数的定义．(2)函数的单调区间．(3)函数的最大值、最小值定义．(4)求解函数最值的方法．2．方法归纳：数形结合法，配方法，分类讨论法，数形结合法．3．常见误区：(1)函数的单调区间不能用并集．(2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．(3)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域．(4)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论．【课后作业】1．函数单调减区间是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的图象是开口向上，且以直线为对称轴的抛物线，故函数的单调递减区间是.故选：C．2．下列函数在上不是增函数的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；对于B：在上单调递增，在上单调递减，故B错误；对于C：在定义域上单调递减，故C正确；对于D：，函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误；故选：C3．函数的单调递减区间是（） A． B．和 C． D．和【答案】B【详解】，则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；当，的单调递减区间为，故的单调递减区间是和.故选：B4．函数的单调增区间为（） A． B． C．和 D．【答案】C【详解】由可得且，因为开口向下，其对称轴为，所以的减区间为和所以的单调增区间为和故选：C5．下列四个函数中，在区间上为增函数的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】对A，一次函数在上为减函数，A错误；对B，二次函数在上为减函数，在上为增函数，B错误；对C，反比例函数在上为减函数，C错误；对D，二次函数在上为增函数，D正确.故选：D.6．（多选）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为【答案】ABC【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确；对于B，当时，，B正确；对于C，当时，，C正确；对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.故选：ABC.7．（多选）已知函数，则（） A． B．若，则或 C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为【答案】BD【详解】函数的图象如左图所示．，故A错误；当时，，此时方程无解；当时，或，故B正确；由图象可得，在上单调递增，故C错误；由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确．故选：BD．8．“函数在上为减函数”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【详解】若函数在上为减函数，则，解得，又因为，因此，“函数在上为减函数”是“”的必要不充分条件.故选：B.9．已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是（） A．或 B． C．或 D．【答案】A【详解】二次函数的对称轴为，欲使得时是单调的，则对称轴必须在区间之外，即或者；故选：A.10．（多选）若二次函数在区间上是增函数，则a可以是（） A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【详解】二次函数对称轴为，因为二次函数在区间上是增函数，所以，解得.故选：AB.11．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，，在中，函数单调递增，∴，解得：，故选：C.12．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】由在上单调递减，结合二次函数和一次函数解析式知：，解得.故选：D13．已知是上的增函数，那么a的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】是上的增函数，所以，故选：A14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________．【答案】【详解】由函数，因为在上单调递增，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.15．己知函数满足对任意，且，都有成立，则实数a的取值范围是__________．【答案】【详解】因为对任意，且，都有成立，所以在上单调递减.所以，解得.故答案为:.16．函数，对任意的，总存在，使得成立，则a的取值范围为_______