2022年冀教版八年级数学下册第二十二章四边形章节训练试题

八年级数学下册第二十二章四边形章节训练

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列说法不正确的是（）

A.矩形的对角线相等

B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D.菱形的对角线互相垂直

2、如图，在△48。中，AB=3,4C=4,BC=5,XABD,AACE,△仇产都是等边三角形，下列结论

中：①力心的②四边形1后叨是平行四边形；③/如A150°；④）S网皿AEFD=R.错误的个数是

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3、小明想判断家里的门框是否为矩形，他应该（)

A.测量三个角是否都是直角B.测量对角线是否互相平分

C.测量两组对边是否分别相等D.测量一组对角是否是直角

4、如图，正方形463的对角线相交于点。，以点。为顶点的正方形庞的两边应如分别交正方

形力的两边46,BC于点、M,N,记AAQW的面积为5，ACON的面积为S2,若正方形的边长

45=1（）,5,=16,则S,的大小为（）

A.6B.7C.8D.9

5、矩形力6面的对角线交于点0,//勿=120°,/33,则比的长度是（）

A.3B.36C.36D.6

6、六边形对角线的条数共有（）

A.9B.18C.27D.54

7、如图，平行四边形47（力的边6C上有一动点反连接应，以物为边作矩形质/且边网7过点

A.在点£从点6移动到点C的过程中，矩形"'6F的面积（）

A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变

8、下面性质中，平行四边形不一定具备的是（)

A.对角互补B.邻角互补

C.对角相等D.对角线互相平分

9、如图，在正方形/阅9中，AB=4,点£在对角线芯上，若SBE=5,则△碗1的面积为

()

A.3B.4C.5D.6

10、如图，五边形A88E中，Z4+ZB+ZE=320°,CP,ZW分别平分N3C£>,NCDE,则NCP£>=

()

A.60°B.72°C.70°D.78°

第n卷(非选择题70分)

二、填空题(5小题，每小题4分，共计20分)

1、在七中，ZACB=9O°,口是斜边46上的中线，已知AC=26,BC=2,则的周长

等于.

2、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形的花1的顶点/在x轴的正半轴上，且顶点6的坐标是

(1,2),如果以。为圆心，物长为半径画弧交x轴的正半轴于点R那么点尸的坐标是.

3、如图，在平行四边形力犯9中，对角线力G面交于点0,ACLAB,AB=下,且於：加=2：3,那

么〃'的长为

4、aABCD^,已知力8=切=4,BC=6,则当时，四边形力加”是平行四边形.

5、如图，/C是正五边形/比比1的对角线，则NAC。为_____度.

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、【问题情境】如图1,在用AABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为〃，我们可以得到如下正确结

论：①8?=A£>.8£>;②AC^ABAD;③BC°=AB-BD,这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得

在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”.

(1)请证明"射影定理”中的结论③5c2=A8.50.

(2)【结论运用】如图2,正方形A8CO的边长为6,点。是对角线AC、3£>的交点，点后在CD上,

过点。作CF_L8E,垂足为人连接。尸.

①求证：ABOFSABED.

②若CE=2,求OF的长.

2、⑴【发现证明】

如图1,在正方形ABC。中，点E,F分别是8C,CO边上的动点，且NE4F=45。，求证：

EpnOF+BE.小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至AAOG,使AB与AO重合时能够证

明，请你给出证明过程.

(2)【类比引申】

①如图2,在正方形ABCO中，如果点E,F分别是C8,0c延长线上的动点，且Z£4F=45。，贝I」

(1)中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF,BE,。尸之间的数量关系一__(不要求证明)

②如图3,如果点E,尸分别是BC,C。延长线上的动点，且ZE4F=45。，则EF,BE,OF之间的

数量关系是_____(不要求证明)

(3)【联想拓展】如图1,若正方形ABC。的边长为6,AE=35，求AF的长.

3、(1)【探究一】如图1,我们可以用不同的算法来计算图形的面积.

图1图2

①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为；

②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么

它的面积为；（写成关于a、6的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以

得到等式.

（2）【探究二】如图2,从一个顶点处引〃条射线，请你数一数共有多少个锐角呢？

①方法1：一路往下数，不回头数.

以力,为边的锐角有N4曲八…、ZA,OAn,共有（〃-1）个；

以3?为边的锐角有/4的八/4曲八…、NAM,共有（〃-2）个；

以期?为边的锐角有N4,七八…、ZAsOAn,共有（〃一3）个；

以小〃-为边的锐角有共有1个；

则图中锐角的总个数是；

②方法2：每一条边都能和除它以外的（〃-1）条边形成锐角，共有〃条边，可形成〃（/7-1）个锐

角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是;

用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式.

（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题.

①计算：19782+20222；

②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有

条对角线，〃边形共有条对角线.

4、如图，在菱形40中，点民尸分别是边切、6c的中点

(1)求证：四边形应应G是平行四边形；

⑵若菱形屈力的边长为13,对角线芯=24,求用的长.

5、如图，口ABCD中,£为6C边的中点，求证：DC=CF.

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

利用矩形的性质，直角三角形的性质，正方形的判定，菱形的性质依次判断可求解.

【详解】

解；矩形的对角线相等，故选项A不符合题意；

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故选项B不符合题意；

对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项C符合题意；

菱形的对角线互相垂直，故选项D不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问

题是本题的关键.

2、A

【解析】

【分析】

利用勾股定理逆定理证得△/花1是直角三角形，由此判断①；证明△/bz屋△火得到"'=/£1,同理

可证：△ABSAEFC,得到正=49,由此判断②；由②可判断③；过4作4G，加于G,求出即可

求出9AEFD,判断④.

【详解】

解：'：AB=S,AC=4,3442=52,

：.AB:+ACf=Bd,

...△48。是直角三角形，NBAC=90°,

：.ABLAC,故①正确；

■:AABD,△/四都是等边三角形，

:.NDAB=NEAC=6Q°,

：.ZDAE=150°,

XABD和AFBC都是等边三角形，

：.BD=BA,BF=BC,

：./DBF=/ABC,

在△46C与△幽"中，

AB=DB

■ZABC=NDBF,

BC=BF

:.AAB微ADBF(SAS),

:.AC=DF=AE=4,

同理可证：△46屋△麻C（必S）,

:.AB=EF=AD=3,

.••四边形"皿是平行四边形，故②正确；

：.4DFE=4DAE=150°,故③正确；

过/作'于G,如图所示：

则N4微=90°,

•.•四边形4分”是平行四边形，

，N曲=180°-NDFE=18G°-150°=30°,

；.4G=；4p=1,

22

3

:.«AEFD=DF・AG=4X-=6；故④错误；

...错误的个数是1个，

故选：A.

F

G♦^/T\\~~~>EI

【点睛】

此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及

性质，直角三角形的30度角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.

3、A

【解析】

【分析】

根据矩形的判定方法解题.

【详解】

解：A、•••三个角都是直角的四边形是矩形，

二选项A符合题意；

B、•••对角线互相平分的四边形是平行四边形，

:•选项B不符合题意，

C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

二选项C不符合题意；

D、・•・一组对角是直角的四边形不是矩形，

'''选项D不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查矩形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

4、D

【解析】

【分析】

由题意依据全等三角形的判定得出色进而根据正方形的性质即可得出邑的大小.

【详解】

解：：正方形ABCD的对角线力GBD交于点0,

：.OOOD=BO=AO,,ACYBD.

・・•/.欣妙•N6〃V=90°,许怕90°

:•/BO拒/CON,鱼OOOB,NABU/A®45°,

:.XBO恒XCON(ASA),S^S.BOM,

...S]+§2=S]+S4BOM=SJOB9

•：S.,\OB==S正方厚ABCD,正方形的边长AB=1(),5,=16,

4

.♦.S,=LS/方/ABCD-5产LX10X10-16=9.

44

故选：D.

【点睛】

本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题

的关键.

5、C

【解析】

【分析】

画出图形，由条件可求得△/仍为等边三角形，则可求得〃1的长，在打回中，由勾股定理可求

得回的长.

【详解】

解：如下图所示:

•.•四边形/奥是矩形，

.♦.N4给90。，OA=-AC,OB--BD,AC=BD,

22

・・・0A二OB,

yZAOD=120°,

：.ZAOB=60°,

・・.△力如是等边三角形，

：.0A=AB=2f

：.AC=2OA=4f

.,.^^^-^-36-9=27,

B俏3\/3•

故选：D.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形

是等边三角形是解决问题的关键.

6、A

【解析】

【分析】

〃边形对角线的总条数为：四尸（〃23,且〃为整数），由此可得出答案.

【详解】

解：六边形的对角线的条数=6K尸=9.

故选：A.

【点睛】

本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：〃边形对角线的总条数

为：笠士（〃23,且〃为整数）.

7、I）

【解析】

【分析】

连接的根据,…京矩•工展小aABCD，推出S矩形。卬产=aABCD，由此得到答案.

【详解】

解：连接力反

,\AOE=/S矩形0EGF，S.AOE=~aABCD，

.q-q

♦•°矩杉DEGF一°aABCD，

故选：D.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线力£是解题的关键.

8、A

【解析】

【分析】

直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可.

【详解】

解：A、平行四边形对角不一定互补，故符合题意;

B、平行四边形邻角互补正确，故不符合题意；

C、平行四边形对角相等正确，故不符合题意.

D、平行四边形的对角线互相平分正确，故不符合题意；

故选A.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键.

9、A

【解析】

【分析】

根据正方形的性质，全等三角形的性质和三角形的面积公式解答即可.

【详解】

,正方形ABCD,

：.A&=AD,ABAODAC,

"：AE=AE,:.XABE^XADE,

S&ABE=SAADE=5,同理△CBE^△CDE,

S©E=SaCDE，

S小BE=5,

。应的面积为：4x4产=3,

故选A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形的面积公式解答.

10、c

【解析】

【分析】

根据五边形的内角和等于540。，由NA+N3+NE=320。，可求ZBCD+NCDE的度数，再根据角平分线

的定义可得NPDC与NP8的角度和,进一步求得NCPD的度数.

【详解】

解：：五边形的内角和等于540。，ZA+ZB+Z£=320°,

ZBCD+Z.CDE=50°-320°=220°,

•:/BCD、ZCDE的平分线在五边形内相交于点0,

ZPDC+ZPCD=1(ZBCD+ZCDE)=110°,

Z.CPD=180°-110°=70°.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，解题的关键是熟记公式，注意整体思想的运

用.

二、填空题

1、4+26##2百+4

【解析】

【分析】

过点。作OE_LAC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OC=AD,根据等腰三角

形的三线合一可得A£=EC,中位线的性质求得DE,根据勾股定理求得AD,继而求得△ACO的周

长.

【详解】

解：如图，过点。作。

•••在应AABC中，ZACB=90°,切是斜边上的中线，

:.CD=-AB=AD=DB

2

■.■DEVAC

AE-EC=-AC=43

2

为AC的中点，

又。为A8的中点，则EO=gBC=l

在RrAAEO中，AD=〃炉+ED2=J（可+）=2

:.DC=AD=2

AAC£）的周长等于AO+DC+AC=4+26

故答案为：4+26

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，中位线的性质与判定，勾股定理,

掌握以上知识是解题的关键.

2、（石，0）

【解析】

【分析】

利用勾股定理求出加的长度，同圆的半径相等即可求解.

【详解】

由题意可得：OP=OB,0C=AB=2,BC=OA=\,

0B=yjBC2+OC2=Vl2+22=小，

：.0P=y/5,

，点户的坐标为（石,0）.

故答案为：（石，0）.

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方.

3、4

【解析】

【分析】

四边形A8CZ）是平行四边形，可得AO=CO=；AC,BO=DO=^BD,由AC:50=2:3,可知

AO:BO=2:3,由ACA8可知在向AABO中勾股定理求解A。的值，进而求解AC的值.

【详解】

解：•••四边形ABCO是平行四边形

AO=CO=-AC,BO=DO=>BD

22

■:AC:BD=2:3

：.AO:80=2:3

ACLAB

，AO2+AB2=BO2

・••设Ag2x,BO=3x

则（2x『+（石『=（3x）2

解得：

贝！JAO=2

故AC=4

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了勾股定理，平行四边形的性质等知识.解题的关键在于正确的求解.

4、6

【解析】

略

5、72

【解析】

【分析】

先根据正五边形的内角和求出它的每个内角的度数，再根据等腰三角形的性质可得ZACB的度数，然

后根据角的和差即可得.

【详解】

解：•••五边形ABCDE是正五边形,

180°x(5-2)

AB=BC,NB=NBCD=108°,

5

NACB=NCAB=-x(180°-108°)=36°,

2

:.ZACD=NBCD-ZACB=108°-36°=72°,

故答案为：72.

【点睛】

本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正多边形的性质是解题关键.

三、解答题

1、(1)见解析；

⑵①见解析；②OF=半.

【解析】

【分析】

(1)由加证明再由相似三角形对应边称比例得到CB:=继而解

题；

(2)①由“射影定理”分别解得=BC2=BFBE,整理出照=空，再结合

BEBD

ZOBF=NEBD即可证明MF^^BED；

②由勾股定理解得BE=2jiGO8=30,再根据V8OF:VBED得到旦=黑，代入数值解题即可.

DEBE

(1)

证明：\CDLAB

NBDC=90。

.•.ZACB=NBDC=90。

•;/CBD=ZABC

:.RNCBD:RtNABC

CB:AB=BD:BC

BC~=ABBD

(2)

①•・•四边形四口是正方形

・•.OC±BO,ZBCD=90°

：.BC2=BOBD

\CF±BE

BC?=BF•BE

:.BOBD=BFBE

.BOBF

・；/OBF=NEBD

:NBOF:YBED

②•.在RV3CE中，BC=6,CE=2

BE=yjBC2+CE2=2M

:.DE=BC-CE=4

在MAOBC,OB=—BC^3y/2

2

QVBOF:NBED

.OFBO

'~DE~~BE

.OF3a

~2V10

.•.*迪•

5

【点晴】

本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关

键.

2、(1)见解析；(2)①不成立，结论：EF=DF-BE;®BE=EF+DF,见解析；(3)2M

【解析】

【分析】

(1)证明AE4尸三AG4尸，可得出EF=FG,则结论得证；

(2)①将AABE绕点A顺时针旋转90°至AADM根据SAS可证明AEAF=AMAF,可得£F=,则

结论得证；②将凶。户绕点A逆时针旋转90。至A48N,证明AA正三AANE,可得出EF=EN,则结论

得证；

(3)求出QG=2,设E>F=x,则"'=FG=x+3,CF=6-x,在RtAEFC中，得出关于犬的方程，解

出x则可得解.

【详解】

(1)证明：把AA3E绕点A顺时针旋转90。至A4DG,如图1,

.・./BAE=/DAG,AE=AG,N8=ZA£)G=90。,

zSADF+ZADG=180°,

・・.F,D,G三点共线，

vZE4F=45°,

.\ZBAE+ZFAD=45°f

ZDAG+ZFAD=45°f

・•.ZEAF=ZFAG,

•,­AF=AF9

:.^EAF=AGAF(SAS),

：.EF=FG=DF+DG,

：,EF=DF+BE;

(2)①不成立，结论：EF=DF-BEx

证明：如图2,将AAB£绕点A顺时针旋转90。至

图2

:.ZEAB=ZMADfAE=AM9NE4"=90。，BE=DM,

Z/vAA/=45°=ZE4F,

•/AF=AF,

.\AE4F=AA^4F(SAS),

/.EF=FM=DF-DM=DF-BE；

②如图3,将MQb绕点A逆时针旋转90。至A4BN,

/.AN=AF9ZNAF=90°,

•・・ZE4F=45°,

"NAE=45。,

：.ZNAE=ZFAE,

-,-AE=AEf

:.^AFE=&ANE(SAS),

：.EF=EN,

:.BE=BN+NE=DF+EF.

BE=EF+DF.

故答案为：BE=EF+DF.

(3)解：由(1)可知AE=AG=3右,

图4

・••正方形A8C。的边长为6,

:.DC=BC=AD=6,

DG=y/AG2-AD2=«3布)2-62=3.

:.BE=DG=3,

.-.CE=BC-BE=6-3=3,

设。F=x,贝IJE尸=FG=x+3,CF=6-x,

在R/AEFC中，

.CF2+CE2^EF2,

(6-x)2+32=(X+3)2,

解得：x=2.

:.DF=2,

AF=^AEr+DF2=^62+22=2M.

【点晴】

本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股

定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导.

3、(1)①(a+b)-；+b2+2ab；(a+Z>)2=(z2+b2+2ab;(2)①(/?—1)+(〃—2)+(??—3)

+...+1；②耳/2("-1)；(z?—1)+(n—2)+(n—3)+....+1=—n(n—1)；(3)①8000968；

②119,1n(/T-3)

【解析】

【分析】

(1)①根据边长为(a+方)的正方形面积公式求解即可；

②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；

(2)①根据题中的数据求和即可；

②根据题意求解即可；

(3)①利用(1)的规律求解即可；

②根据〃边形从一个顶点出发可引出(厅3)条对角线.从〃个顶点出发引出(止3)条，而每条重复

一次，所以〃边形对角线的总条数为;〃(尸3)(〃23,且〃为整数)可得答案.

【详解】

解：(1)①大正方形的面积为(〃+力)2；

②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为+2"；

可以得到等式：(。+4=/+从+2灿；

故答案为：①(a+b)~;®a2+b2+2ab;(a+h)2=a2+b2+2ab;

(2)①图中锐角的总个数是：(〃-1)+(〃-2)+(77-3)+........+1；

②锐角的总个数是:〃(/7-1)；

可以得到等式为(〃-1)+(77-2)+(77-3)+……+1=!/?(〃一1)；

故答案为：①(〃-1)+(〃-2)+(/?—3)+.......+1；②(〃-1)；(〃-1)+(〃-2)+

—3)+.......+1=—n(/?—1)；

2

(3)①1978?+2022?=[2000+(-22)]2+(2000+22)2

=20002+(-22)2+2X2000X(-22)+20002+222+2X2000X22

=2X(20002+222)

=2X[4000000+(20+2)2]

=2X[4000000+(202+22+2X20X2)]=8000968；

②一个四边形共有2条对角线，即;X4X(4-3